Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
 МегаЛекции

Правила введения и удаления логических связок

ВВЕДЕНИЕ

Родоначальником науки о логике является греческий философ Аристотель (384-322 г. до н.э.). Он, используя законы человеческого мышления, формализовал известные до него правила рассуждений. Лишь в конце XVII века немецкий математик Г. Лейбниц предложил математизировать формальные рассуждения Аристотеля, вводя символьное обозначение для основных понятий и используя особые правила, близкие к вычислениям. Лейбниц утверждал, что “мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления”.

Применение математики в логике определило новую науку – математическую логику. Математическое описание рассуждений позволило получить точные утверждения и эффективные процедуры в решении конкретных задач логики. Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы описания процесса, явления или события и формального преобразования этого описания. Такой процесс называют выводом заключения Иногда математическое описание рассуждений называют логико-математическим моделированием.

Основными объектами при изучения математической логики являются формальный язык логики и правила вывода. Формальный язык необходим для символьного описания процессов, явлений или событий и логических связей между ними. Правила вывода необходимы для формирования процедуры рассуждения. Для обеспечения вывода вводится система аксиом, формализующая весь механизм вывода заключения.

Математическое описание логики следует воспринимать, как некую формальную систему, оперирующую с символами по определенным правилам, об­легчающим интерпретацию в реальном мире.

Выделяют несколько типов математических моделей формальной логики. Среди них можно выделить Логику высказываний, Логику предикатов, Логику нечетких множеств и отношений, Реляционную логику и др.

Логика высказываний (prepositional calculus)есть модель формальной системы, предметом которой являются высказывания или повествовательные предложения, взятые целиком без учета их внутренней структуры.

Логика предикатов (predicate calculus) есть модель формальной сис­темы, предметом которой являются повествовательные предложения с учетом их внутренних состава и струк­туры.

Логика нечетких множеств и отношений (fuzzi calculus ) есть модель формальной системы, предметом кото­рой являются повествовательные предложения с учетом их внутреннеих состава и структуры и при нечетком (размытом) задании характер­ных признаков отдельных элементов или отношений между ними.

Логика реляционная (relation calculus ) есть модель формальной системы, предметом кото­рой являются отношения в виде множества однородных повествовательных предложений, существенно расширяющие логику предикатов.

Учебное пособие состоит из четырех частей, знакомящих студента с методами рассуждения и вывода заключения в четырех вышеуказанных логиках. По каждому разделу студент выполняет индивидуальное задание в виде расчетно-графической работы.

 

Исчисление высказываний

Определение исчисления высказываний, как и любой формальной системы, следует начинать с задания множества аксиом и правил вывода, обеспечивающих пос­ледовательное их использование при доказательстве истинности заключения.

Доказательством называют конечную последовательность высказываний, каждое из которых является либо аксиомой, либо выводится из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по правилам вывода.

Определение минимально возможного множества аксиом определяет семантическую полноту исчисления, а определение правил, обеспечивающих последовательное использование аксиом и промежуточных высказываний в процессе формирования заключения – метод дедуктивного вывода.

 

Аксиомы исчисления высказываний

Как уже отмечалось множество формул, удовлетворяющих условиям тождественной истинности, бесконечно. Однако в качестве аксиом всегда выбирают только такие, которые при истинности посылок обеспечивают дедуктивный вывод истинности заключения. При этом стремятся создать такую систему аксиом, которая содержала бы минимальное число формул для заданного набора логических связок. Так известна система, которая для логических связок импликации и отрицания содержит только три аксиомы, а для логических связок импликации и дизъюнкции только пять аксиом. Для полного набора логических связок: импликация, отрицание, конъюнкция и дизъюнкция система содержит десять аксиом. В силу полноты систем, использующих логические связки а) импликации и отрицания, б) импликации и дизъюнкции, в) импликации, отрицания, конъюнкции и дизъюнкции можно использовать в процессе дедуктивного вывода любую из указанных систем.

Ниже приведена одна из систем аксиом:

А1. F1®(F2®F1);

А2. (F1®F2)®((F2®F3))®(F1®F3));

А3. (F1& F2)®F1;

А4. (F1& F2)®F2;

А5. F1®(F2®(F1&F2));

А6. F1®(F1ÚF2);

А7. F2®(F1ÚF2);

А8. (F1®F3)®((F2®F3)®((F1ÚF2)®F3));

А9. (F1®F2)®((F1®ù F2)®ù F1);

A10. (F1®F2)®((F1&F3)®(F2&F3));

A11. (F1® F2)®((F1ÚF3)®(F2ÚF3));

А12. ùù F1 ® F1.

 

Правила введения и удаления логических связок

При выводе заключения удобно правила введения и удаления логических связок представить также как и правила вывода:

1) если посылки F 1 и F 2 имеют значение “и”, то истинной является их конъюнкция, т.е.

F 1; F 2

(F 1& F 2).

Эта запись при истинности посылок F 1 и F 2 предусматривает возможность введения в заключение логической связки конъюнкции; это правило тождественно аксиоме А5;

2) если (F 1& F 2) имеет значение “и”, то истинными являются подформулы F 1 и F 2, т.е. (F 1& F 2) (F 1& F 2)

F и F 2.

Эта запись при истинности (F 1&F2) предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать истинные значения подформул F1 и F 2; это правило тождественно аксиомам А3 и А4;

3) если F 1 имеет значение “и”, а (F 1& F 2) – “л”, то ложной является подформулы F 2, т.е.

F 1;ù(F 1& F 2)

ù F 2.

Эта запись при ложности (F 1& F 2) и истинности одной из подформул предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать ложным значение второй подформулы;

4) если истинна хотя бы одна посылка F 1 или F 2, то истинной является их дизъюнкция, т.е.

F 1 F 2

(F 1 ÚF 2) или (F 1 Ú F2).

Эта запись при истинности хотя бы одной подформулы F 1 или F 2 предусматривает возможность введения в заключение логической связки дизъюнкции; это правило тождественно аксиомам А6 и А7;

5) если (F 1 ÚF 2) имеет значение “и” и одна из подформул F 1 или F 2 имеет значение “л”, то истинной является вторая подформулаы F 2 или F1, т.е.

(F 1 ÚF 2); ù F 1 (F 1 ÚF 2);ù F 2

F 2 или F 1.

Эта запись при истинности (F 1 Ú F2) предусматривает возможность удаления в заключении логической связки дизъюнкции и рассматривать истинные значения подформул F 1 или F 2;

6) если подформула F 2 имеет значение “и”, то истинной является формула (F 1® F 2) при любом значении подформулы F 1, т.е

F 2

(F 1® F 2).

Эта запись при истинном значении F 2 предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы F 1 (“истина из чего угодно”); это правило тождественно аксиоме 1;

7) если подформула F 1 имеет значение “л”, то истинной является формула (F 1® F 2) при любом значении подформулы F 2, т.е

ù F 1

(F 1® F 2).

Эта запись при ложном значении F 1 предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы F 2 (“ из ложного что угодно”);

8) если формула (F 1® F 2) имеет значение “и”, то истинной является формула (ù F 2®ù F 1), т.е

(F 1® F 2)

(ù F 2®ù F 1).

Эта запись при истинном значении (F 1® F 2) определяет возможность замены местами полюсов импликации при одновременном изменении их значений; это- закон контрапозиции;

9) если формула (F 1® F 2) имеет значение “и”, то истинной является формула ((F 1 ÚF 3)®(F 2 ÚF 3) при любом значении F 3, т.е

(F 1® F 2)

((F 1 ÚF 3)®(F 2 ÚF 3).

Эта запись при истинном значении (F 1® F 2) определяет возможность выполнить операцию дизъюнкции при любом значении формулы F 3 над каждым полюсом импликации; это правило тождественно аксиоме А11.

10) если формула (F 1® F 2) имеет значение “и”, то истинной является формула ((F 1& F 3)®(F 2& F 3) при любом значении F 3, т.е

(F 1® F 2)

((F 1& F 3)®(F 2& F 3).

Эта запись при истинном значении (F 1® F 2) определяет возможность выполнить операцию конъюнкции при любом значении формулы F 3 над каждым полюсом импликации; это правило тождественно аксиоме А10.

11) если формулы (F 1® F 2) и (F 2®F3) имеют значение “и”, то истинной является формула (F 1®F3), т.е

(F 1® F 2); (F 2® F 3)

(F 1® F 3).

Эта запись при истинном значении (F 1® F 2) и (F 2® F 3) предусматривает возможность формирования импликации (F 1® F 3) (закон силлогизма);

это правило тождественно аксиоме А2;

12) если формулы F 1 и (F 1® F 2) имеют значение “и”, то истинной является формула F 2, т.е

F 1; (F 1® F 2)

F 2.

Эта запись при истинном значении посылки F 1 и импликации (F 1® F 2) позволяет удалить логическую связку импликации и определить истинное значение заключения F 2;

13) если формулы ù F 2 и (F 1® F 2) имеют значение “и”, то истинной является формула ù F 1, т.е

ù F 2; (F 1® F 2)

ù F 1.

Эта запись при истинном значении посылки ù F 2 и импликации (F 1® F 2) позволяет удалить логическую связку импликации и определить истинное значение заключения ù F 1;

14) если формулы (F 1® F 2) и (F 2® F 1) имеют значение “и”, то истинной является формула (F 1«F 2), т.е

(F 1® F 2); (F 2® F 1)

(F 1«F 2).

Эта запись при истинном значении (F 1® F 2) и (F2® F 1) позволяет ввести логическую связку эквиваленции и определить значение формулы (F 1«F 2);

15) если формула (F 1«F 2) имеет значение “и”, то истинными являются формулы (F 1® F 2) и (F 2® F 1), т.е

(F 1«F 2) (F 1«F 2)

(F 1® F 2) и (F 2® F 1).

Эта запись при истинном значении (F 1«F 2) позволяет удалить логическую связку эквиваленции и определить истинное значение формул (F 1® F 2) и (F 2® F 1).


 

Вариант первый

 

Что следует из

Пример. "Если Петров говорит неправду (A), то он заблуждается (В) или сознательно вводит в заблуждение других (С). Петров говорит неправду и явно не заблуждается.

 

Следовательно, он сознательно вводит в заблуждение других" [2]

 

2.Следует ли, что "Петров он сознательно вводит в заблуждение других"из следующих посылок:

"Если Петров говорит неправду (A), то он заблуждается (В) или сознательно вводит в заблуждение других (С). Петров говорит неправду и явно не заблуждается.

 

3. Почему "Петров сознательно вводит в заблуждение других"

"Если Петров говорит неправду (A), то он заблуждается (В) или сознательно вводит в заблуждение других (С). Петров говорит неправду и явно не заблуждается.

4. Когда "Петров сознательно вводит в заблуждение других"

2.Следует ли, что "Петров сознательно вводит в заблуждение других"из следующих посылок:

"Если Петров говорит неправду (A), то он заблуждается (В) или сознательно вводит в заблуждение других (С). Петров говорит неправду и явно не заблуждается.

Решение задачи:

А®(ВÚС); A&ùB

С

1) F1= А®(ВÚС) - посылка;
2) F2= A&ùB - посылка;
3) F3= A - заключение по формуле F2 и правилу 2);
4) F4= ùB - заключение по формуле F2 и правилу 2);
5) F5= (ВÚС) - заключение по формулам F1, F3 и правилу m. p.;
6) F6= C - заключение по формулам F4, F5 и правилу 5).

Так доказано, что Петров сознательно вводит в заблуждение других.

 
Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...