Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Представление информации в ЭВМ

0.8.1 Системы счисления (СС)

Основной СС является – двоичная, а вспомогательными – 8 и 16-ричные СС.

Под системой счисления (СС) понимается способ представления любого числа посредством некоторого алфавита символов, называемых цифрами.

В зависимости от способа изображения чисел, СС делятся на:

- позиционные (2013, 10010, 5F), количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции), которую она занимает в изображении числа.

- непозиционные (ХХ, XIV, CXXVI), для каждого числа используется специфическое сочетание символов.

Позиционные системы счисления характеризуются:

· основанием m системы счисления – количеством (n) различных символов, используемых для изображения чисел.

Значения этих символов лежат в пределах от 0 до m-1;

· разрядом – позицией, занимаемой отдельным символом в изображении числа.

Разряды нумеруются справа налево, начиная с 0;

· весом разряда – количественным значением одной единицы разряда. Численно вес разряда определяется через основание m системы счисления и номер n разряда: mⁿ.

m – основание системы счисления;

m = 10 в десятичной СС (0, 1, 2.. 9);

m = 2 в двоичной СС (0, 1);

3 2 1 0 номер разряда

m=10 2 0 1 5 десятичное число

10³10²10¹10⁰ вес разряда

4 3 2 1 0 номер разряда

m=2 1 0 0 1 0 двоичное число

2⁴ 2³2²2¹2⁰ вес разряда

Максимальное целое число, которое может быть представлено в n разрядах –

N_max = mⁿ -1.

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в s разрядах дробной части –

N_min = m ^- ^s.

Тогда, имея в целой части числа n, а в дробной s разрядов, можно представить mⁿ ⁺ ^s чисел

от 0 до mⁿ ⁺ ^s -1.

Запись числа в СС с основанием m:

X_nmⁿ + X_n-1m^n-1 + …+ X₁m¹ + X₀m⁰ + X_-1m^-1+ X_-2m^-2+ X_-sm^-s

Например,

256,47₁₀= 2×10² + 5×10¹ + 6×10⁰ + 4×10^-1 + 7×10^-2

101,11₂= 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 1×2^-1 + 1×2^-2

Запись десятичного числа N (с основанием 10) в 2-й СС:

N₁₀= X_n×2ⁿ + X_n_-1×2ⁿ^-1 + X_n_-2×2ⁿ^-2 + … + X₀×2⁰

Например,

10010 ® 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰= 16 + 2 = 18₁₀

_{4 0}

10110101® 1×2⁷ + 0×2⁶ + 1×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰=

_{7 5 4 2 0} 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 181₁₀

0.8.2 Формы представления чисел в ЭВМ

В ЭВМ применяются две формы представления двоичных чисел – естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой) и нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

С фиксированной запятой С плавающей запятой

- 10302,20265 - 0,1030220265×10⁵

+ 00821,35400 + 0,821354×10³

+ 00000,00237 + 0,237×10^-2

мантисса порядок

При Р=2, n=10 и s=6 диапазон чисел простирается

0,015<N<1024 (ф. з.) 10^-19<N<10¹⁹ (п. з.)

В естественной форме положение запятой, отделяющей целую часть числа от дробной части в разрядной сетке, постоянно для всех чисел.

Диапазон значащих чисел небольшой и при n-разрядной целой части и s-разрядной дробной части числа без учета знака составляет от P ^- ^S < N < P ⁿ - P ^- ^S.

Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл.

В нормальной форме каждое число представляется как

N = ± M × m ^±ⁿ,

где М – мантисса числа (|M|<1), n – порядок (целое число),

m – основание системы счисления.

Последовательность нескольких байтов называют полем данных.

В ПК могут обрабатываться поля постоянной и перемен ной длины.

Поля постоянной длины могут быть следующих размеров (форматов):

слово (4 байта), полуслово (2 байта),

полуторное слово (6 байт), двойное слово (8 байт),

расширенное слово (10 байт).

В полях постоянной длины числа с фиксированной запятой чаще всего имеют формат слова и полуслова и заполняют формат справа налево. Оставшиеся свободными старшие разряды формата заполняются нулями.

В крайнем левом разряде формата отображается знак числа, при этом знак «+» кодируется нулем, а знак «–» – единицей.

Например, запись числа – 195₁₀= – 11000011₂ с фиксированной запятой:

	Знак	Абсолютная величина числа
№ разряда	31	30	29	...	1	0
число	1	0	0	0 … 0 0 1 1 0 0 0 0	1	1

Числа с плавающей запятой чаще всего имеют формат двойного и расширенного слова. Порядок заполняет соответствующую часть формата справа налево, а мантисса – слева направо. Оставшиеся свободными младшие разряды мантиссы формата заполняются нулями.

Например, запись числа – 195₁₀= – 0,11000011×2¹⁰⁰⁰ с плавающей запятой:

	Порядок				Мантисса
	Знак	Абсолютная величина			Знак	Абсолютная величина
№ разряда	63	62	...	56	55	54	...	0
	0	0	0 0 1 0 0	0	1	1	1 0 0 0 0 1 1 0…	0

Поля переменной длины имеют размер от 0 до 256 байт и кратный 8.

При выполнении операций ввода-вывода и арифметических действий данные часто представляются в двоично-десятичной системе счисления – когда каждая цифра десятичного числа отображается 4-разрядным двоичным числом.

Двоично-десятичные числа представляются полями переменной длины в так называемых упакованном и распакованном форматах.

Пример, запись числа – 195₁₀в упакованном формате

0001

1001

0101

1101

1 9 5 Знак

Пример, запись числа – 195₁₀в распакованном формате

0011

0001

0011

1001

1101

0101

Зона Зона Знак

8.3 Арифметические и логические основы работы ЭВМ

8.3.1 Арифметические основы

Сложение Вычитание Умножение

0 + 0 = 0 0 – 0 = 0 0 × 0 = 0

0 + 1 = 1 1 – 0 = 1 1 × 0 = 0

1 + 0 = 1 1 – 1 = 0 0 × 1 = 0

1 + 1 = 10 10 – 1 = 1 1 × 1 = 1

Примеры:

13 0 1 1 0 1

+ 7 + 0 0 1 1 1

20₁₀ 1 0 1 0 0₂

. .. ...

55, 25 0 1 1 0 1 1 1. 0 1

+ 19, 50 + 0 0 1 0 0 1 1. 1 0

74, 75₁₀ 1 0 0 1 0 1 0. 1 1₂

7, 5 1 1 1. 1 множимое

* 5 1 0 1 множитель

37, 5 1 1 1 1 1-е частичное произведение

+ 0 0 0 0 2-е частичное произведение

1 1 1 1 3-е частичное произведение

1 0 0 1 0 1. 1₂

С целью упрощения реализации арифметических операций применяют специальные коды:

- прямой

- обратный

- дополнительный

Прямой: знак «+» кодируется 0, знак «–» кодируется 1,

старший разряд называется знаковым.

Например: + 5₁₀ = 0 1 0 1₂ – 5₁₀ = 1 1 0 1₂

Обратный: знаковый разряд кодируется как в прямом коде, для положительных чисел совпадает с прямым кодом, для отрицательных чисел значащие разряды инвертируются по отношению к прямому коду.

Например: 5₁₀ = 0 1 0 1₂– 5₁₀ = 1 0 1 0₂

Дополнительный: знаковый разряд кодируется как в прямом коде, для положительных чисел совпадает с прямым кодом, для отрицательных чисел значащие разряды инвертируются по отношению к прямому и к младшему разряду добавляется 1.

Например: + 5₁₀ = 0 1 0 1₂ – 5₁₀ = 1 0 1 0 + 1 = 1 0 1 1₂

+ 3₁₀ = 0 0 1 1₂ – 3₁₀ = 1 1 0 0 + 1 = 1 1 0 1₂

+ 5 – 3 = + 5 + (– 3) = 2 0 1 0 1 (+ 5) 0 0 1 1 (+3)

+ 3 – 5 = + 3 + (– 5) = – 2 + 1 1 0 1 (– 3) + 1 0 1 1 (– 5)

отбрасывается 1 0 0 1 0₂ (+ 2) 1 1 1 0₂ (– 2) доп. код

8.3.2 Логические основы

Для анализа и синтеза (создания) цифровых систем используется математический аппарат алгебры логики или булева алгебра.

Алгебра логики – это раздел математической логики, все элементы (функции и аргументы) которой могут принимать только два значения: 0 и 1, да и нет.

a, b, c... – высказывания или логические переменные.

Простейшие операции:

I. Операция отрицания (операция НЕ, инверсия)

у = а

II. Логическое умножение (операция И, конъюнкция)

у = a Ù b,

III. Логическое сложение (операция ИЛИ, дизъюнкция)

у = a Ú b.

Старшей является операция инверсии, более младшей – операция конъюнкции, самой младшей – дизъюнкция.

Законы алгебры логики:

- сочетательный закон:

a Ù (b Ù с) = (а Ù b) Ù с,

а Ú (b Ú с) = (а Ú b) Ú с,

- переместительный закон:

а Ù b = b Ù а,

а Ú b = b Ú а,

- распределительный закон:

а Ù (b Ú с) = (а Ù b) Ú (а Ù с),

а Ú (b Ù с) = (а Ú b) Ù (а Ú с),

- закон двойной инверсии: а = а;

- закон двойственности (правила де Моргана):

а Ú b = а Ù b,

а Ù b = а Ú b;

Аксиомы:

0 = 1 1 = 0

1 Ú 1 = 1 1 Ù 1 = 1

0 Ú 0 = 0 0 Ù 0 = 0

0 Ú 1 = 1 Ú 0 = 1 0 Ù 1 = 1 Ù 0 = 0

Тождества:

a Ú a = a a Ù a = a

a Ú a = 1 a Ù a = 0

a Ú 1 = 1 a Ù 1 = a

a Ú 0 = a a Ù 0 = 0

ФАЛ – алгебраическое выражение, содержащее элементы алгебры логики a,b,c…,связанные между собой операциями, определенными в этой алгебре.

Например: f (a, b, c) = a Ù b Ù c Ú a Ú a Ú c;

Элементарной называется ФАЛ одного или двух аргументов, в логическом выражении которой содержится не более одной логической операции.

Например:

Для двух чисел A и B выполнить следующие операции:

a Ú b a Ù b a Ú b a + b

a Ú b a Ù b a Ù b a – b и b – a

Допустим a = 13₁₀ и b = 21₁₀

Представим их значения в двоичной системе счисления:

a 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 13 ® 1101₂® 0 1101 a = 10010

b 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰® 10101₂ b = 01010

Операции a Ú b 0 1101 a Ú b 10010

10101 10101

11101 10111

a Ù b 01101 a Ù b 10010

10101 01010

00101 00010

a Ú b = 11101 = 00010

a Ù b = 00101 = 11010

a + b 0 1101

10101

100010

+ 13₁₀ = 0 0 1 1 0 1₂ – 13₁₀ = 1 1 0 0 1 0 + 1 = 1 1 0 0 1 1₂

+ 21₁₀ = 0 1 0 1 0 1₂ – 21₁₀ = 1 0 1 0 1 0 + 1 = 1 0 1 0 1 1₂

знак знак знак

b – a ₊ 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 1

0 0 1 0 0 0₂® + 8 (десятичное число)

отбрасывается

знак

a – b ₊ 0 0 1 1 0 1

1 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0₂ дополнительный код

1 0 0 1 1 1₂обратный код

+ 1

прямой код 1 0 1 0 0 0₂ ® – 8 (десятичное число)

Таблица условно графического обозначения логических элементов и операций

Операция	Логический элемент		Правило выполнения операции			Функция
Операция	УГО	Название	a	b	y	Функция
Отрицание (инверсия)		НЕ (инвертор)	0 1		1 0	у =
Дизъюнкция		ИЛИ	0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1	у = aÚb
Конъюнкция		И	0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	у = aÙb
Стрелка Пирса		ИЛИ-НЕ	0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 0	у = a¯b = aÚb
Штрих Шеффера		И-НЕ	0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 1 0	у = a \| b = aÙb
Сумма по модулю 2		Исключающее ИЛИ	0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 0	у = aÅ b = aÙb Ú aÙb
Равнозначность		Равнозначность	0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 1	у = a∾b = aÅ b = aÙb Ú aÙb

Примеры работы с другими системами счисления

Dec (10)	Bin (2)	Oct (8)	Hex (16)
0	0000	00	0
1	0001	01	1
2	0010	02	2
3	0011	03	3
4	0100	04	4
5	0101	05	5
6	0110	06	6
7	0111	07	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F