Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Меншікті ішкі жиын.

4 анықтама. Егер А жиынының ішкі жиыны А жиынынан өзгеше және бос емес жиын болса, онда ол А жиынының меншікті ішкі жиын деп аталады. Анықтамадан Æ және берілген А жиынының өзі меншіксіз ішкі жиындар болып табылады.

Мысал. A = {a, b, c}

A жиынының 2 меншіксіз ішкі жиындары: Æ, A және 6 меншікті ішкі жиындары бар: {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}.

Жиындардың берілу тәсілдері

1) Жиын оның барлық элементтерін санау арқылы беріледі (тек қана ақырлы жиындар үшін қолданылады, оның өзінде бәріне емес).

A={x , x ,¼, x }

2) Жиынның элементтерінің сипаттамалық қасиеттерін көрсету арқылы:

2 Жиындарға қолданылатын амалдар.

5 анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп, элементтері А және В жиындарының кем дегенде біреуіне тиісті болатын жиынды атайды.

Белгіленуі: AÈB={x çxÎA немесе xÎB}.

Мысал. A={1,2,3} B={2,3,4}; AÈB={1,2,3,4}

Көрнекілік үшін Эйлера-Венн диаграммасын қолдану ыңғайлы.

6 анықтама. А және В жиындарының қиылысуы деп, элементтері бір мезгілде А және В жиындарына тиісті болатын жиынды атайды.

Белгіленуі: А ∩ В = {х | х ÎA және хÎB}

Мысал: А = {1, 2, 3} В = {1, 2, 3} А ∩ В = {2, 3}

А ∩ В

Ç, È амалдарының қасиеттері:

3. Коммутативті: А È В = B È A; А Ç В = B Ç A

2. Ассоциативті: (А È В) È С = А È (В È С);

(А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С).

3. Дистрибутивті: А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)

А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С).

4. Идемпотентті: А È A = A; А Ç A = A

5. А È Æ = A; А Ç Æ = Æ;

А È U = U; A Ç U = A.

3 қасиетті диаграмма арқылы көрсетейік.

B A

C B

A Ç (BÈC) (AÇB) È (AÇC)

7 анықтама. А және В жиындарының айырмасы деп, элементтері А жиынына тиісті, ал В жиынына тиісті емес жиынды атайды.

Белгіленуі: А \ В = {x | x Î A және x Ï B}.

Мысал: А = {1, 2, 3} В = {2, 3, 4}

А \ В = {1} В \ А = {4}

Бұл мысалдан азайту амалының коммутативті емес екендігі көрінеді.

A U

A\B B\A

8 анықтама. B Í A жағдйына аса нзар аударайық.

Егер B Í A болса, онда A \ B = _а айырмасы В жиынын А жиынына дейін толықтыру деп аталады.

Мысал: В = {1, 3, 5} А = {1, 2,3,4,5}

_а= {2, 4} _в = Æ

Жиі жағдайда А жиыны ретінде универсал U жиыны қарастырылады.

Белгіленуі: _и =

Азайту және толықтауыш амалдарының қасиеттері

6. А \ Æ = A; Æ \ А = Æ

7. Æ = U; = Æ

8. А Ç = Æ; А È = U

9. Де Морган заңдары: = Ç ; = È

10. Инволюция заңы(екі рет терістеу): = А.

Әдебиет: 1, 19-23 бет, 17, 69-83 бет, 3, 44-48 бет

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар:

1. Жиынның канторлық анықтамасын беріңіз және мысал келтіріңіз.

2. Қандай жиын бос, универсал деп аталады?

3. Қандай екі жиын өзара тең деп аталады?

4. Ішкі жиын дегеніміз не? Меншікті ішкі жиынды көрсету керек.

5. Жиындардың қандай берілу тәсілдері білесіз?

6. Жиындарға қолданылатын қандай амалдарды білесіз?

7. Жиындарға қолданылатын амалдардың қандай қасиеттері бар.

2 тақырып

Тура (декартты) көбейтінді. Бейнелеулер

Мақсаты:

1. Декартты көбейтінді түсінігін енгізу.

2. Бейнелеулер, бейнелеудің мәндер жиыны түсініктерін енгізу.

3. Бейнелеудің түрлерін анықтау дағдысын қалыптастыру,

бейнелеудің композициясын таба білу.

Жоспары:

1. Жиындардың тура (декартты) көбейтіндісі.

2. Бейнелеулер, бейнелеудің түрлері, бейнелеудің композициясы.

1 Жиындардың тура (декартты) көбейтіндісі

Біз жиындарға қолданылатын төрт амалды қарастырдық. Енді тағы да бір амал – жиындардың тура көбейтіндісін қарастырамыз.

А және В жиындары берілсін. <a,b> түріндегі барлық реттелген қостар жиынтығын қарастырамыз, мұндағы aЄA, bЄB. Белгілі бір ретте алынған екі элементті жиын реттелген қос деп аталады.

‹a, b› ≠ ‹b, a›

‹a, b› = ‹b, a›, егер a = b.

Қасиеті: ‹a, b› = ‹с, d› ↔ a = c, b = d

(Геометрияда: жазықтықтың кез келген нүктесі ‹x, y› - нүктенің координатасы деп аталатын екі сан арқылы бірмәнді анықталады, мұндағы бірінші сан х – абсцисса деп, ал екінші сан y – ордината деп аталады.)

1 анықтама. ‹x, y› түріндегі барлық реттелген қостар жиыны, мұндағы

xЄ A, y Є B жиындардың тура (декартты) көбейтіндісі деп аталады.

Жазылу түрі: А´В = {‹x,y› | x Є A ^ y Є B}

Кез келген көрсетілген ретте алынған А және В жиындары үшін, олардың жалғыз түрде тура көбейтіндісі табылады: A´B=Ø <=> А=Ø ν B = Ø.

Егер A және B – ақырлы жиындар болса, онда A´B – ақырлы болады.

Мысал. А={-2,0,5} B={3,5}, A´B={(-2,3),(-2,5),(0,3),(0,5),(5,3),(5,5)}

Яғни А´B көбейтіндісінде 6 элемент бар.

Декартты көбейтінді түсінігінің геометриялық мағынасын қарастырайық.

A´B жиынының геометриялық моделі.

B´A={(3,-2),(3,0),(3,5),(5,-2),(5,0),(5,5)} табайық, яғни А´В ≠ B´A.

Осы мысалдан жиындардың тура көбейтіндісінің коммутативті емес екендігі көрінеді.

|A| арқылы ақырлы жиындағы элементтер санын белгілейік,

онда |А´В|=6.

Егер A – а₁, … а_n әртүрлі n элементтерден тұратын ақырлы жиын, ал В – b₁,... b_m әртүрлі m элементтерден тұратын ақырлы жиын болса, онда A´B жиынының құрамында (a₁,b₁),(a₁,b₂),..., (a_n,b_m),..., (a_n,b_m) m*n әртүрлі элементтер бар=› |A´B|=|A|´|B|

Егер А және В жиындары өзара тең болса, онда А жиынын өзіне-өзін көбейту тура енемесе декартты квадрат деп аталады және A´A=А² түрінде белгіленеді.

Анықталған ретте алынған үш элементтен тұратын жиын реттелген үштік деп аталады.

Үш жиынның тура көбейтіндісі ұғымын келесі түрде енгіземіз: A´B´С = {‹x, y, z› | x Є A, y Є B, z Є C}

Енді жазықтықтағы нүктелер жиынын R´R=R²(нақты сандар жиыны) түріндегі тура көбейтінді ретінде көрсетеміз, ал кеңістіктегі нүктелер жиынын R´R´R=R³түрінде көрсетеміз.

A₁,A₂,...,A_n n жиындар берілсін (әр түрлі болуы міндетті емес).

Реттелген қос түсінігінің жалпылауы n элементтен тұратын кортеж болады; ‹a₁,a₂,..., a_n› түрінде белгіленеді және ұзындығы n – ге тең кортеж деп аталады.

2 анықтама. (a₁,a₂,..., a_n), а_i Є A_i (i=1,..., n) түріндегі барлық реттелген кортеждер жиыны n жиынның тура көбейтіндісі деп аталады және келесі түрде белгіленеді A₁´A₂´..´A_n.

Сонымен: А₁´A₂´...´A_n= {‹a₁,¼, a_n› | a₁ЄA₁,..., a_nЄA_n}.

Егер барлық А_i өзара тең болса, онда n-жиынның тура көбейтіндісі. А´A´…´A=Аⁿ белгіленеді және А жиынының n дәрежесі деп аталады.

Егер А – ақырлы жиын және оның элементтерінің саны m – ге тең болса, яғни |A| = m болса, онда Аⁿ жиынындағы элементтер саны mⁿ болады. Дәлелдеуі:

|Аⁿ| = |A´...´A| = |А|ⁿ= mⁿ

Бейнелеулер

3 анықтама. Қандай да бір А жиынның әрбір элементін В жиынының тек қана бір элементімен салыстыратын f сәйкестігі A жиынын B жиынына бейнелеу деп аталады немесе В-дан мәндер қабылдайтын А анықталу облысы бар функция деп аталады.

Жазылу түрі: f: А®В

x®у = f (x), у – х элеметінің бейнесі,

х – у элементінің түпкі бейнесі.

f арқылы осы сәйкестік орнатылатын бейнелеуді (ережені) белгілейді.

Венн диграммасы арқылы сәйкестік келесі түрде бейнеленеді.

Сонымен, бейнелеуді (функцияны) үш жиын арқылы көрсетуге болады:

А, В және < x, y> A´B дан алынған барлық реттелген қостар жиыны, н мұндағы у = f (x).

3^/анықтама. Бейнелеу (функция) деп

<A,B,S > үштігі аталады, мұндағы S = {<x, y> Î A´B, y = f (x)}.

A – жиыны бейнелеудің анықталу облысы,

B – мәндер жиыны,

S – берілген бейнелеудің графигі.

Бейнелеудің түрлері

4 анықтама. Егер В жиынының әрбір элементі А жиынындағы бір ғана элементтің бейнесі болса, онда А жиынын В жиынына бейнелеу инъективті деп аталады.

Мысалы: х₁¹х₂ Þ f (х₁) ¹ f (х₂) " х₁, х₂ÎA.

5 анықтама. Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының кем дегенде бір элемнтінің бейнесі болса, онда А жиынын В жиынына бейнелеу сюръективті деп аталады.

Инъекция Сюръекция

6 анықтама. Бір мезгілде сюръективті және инъективті болатын бейнелеу биективті бейнелеу немесе өзара бірмәнді сәйкестік деп аталады.

f бейнелеуі биективті деп аталады,егер кез-келген " bÎB А жиынындағы элементтің жалғыз бейнесі болса.

Бейнелеу емес. Бейнелеу емес.

инъекция, сюръекция емес жай бейнелеу

(инъекция емес, сюръекция емес)

Бейнелеу биекция

(сюръекция, инъекция емес)

7 анықтама. j:A®B, y:B®C бейнелеулері берілсін. f (x) = y (j (x)) формуласымен анықталған f:A®С бейнелеуі j, y бейнелеулерінің суперпозициясы (немесе композициясы) деп аталады.

Белгіленуі: y o j.

Кей-кезде суперпозиция көбейтінді деп аталады.

1) Бейнелеулердің суперпозиция операциясы ассоциативті:

j: А®В; y: B®C; f: A®C болсын

f o (y o j) = (f o j) o j

2) Бейнелеулердің суперпозиция операциясы коммутативті емес, яғни $ f, j: f o y ¹ y o f

j y

A B C

y o j

Әдебиет: 1, 38-39 бет; 152 бет; 2, 266 бет.

Бақылау сұрақтары:

1. Реттелген қос қалай анықталады?

2. Жиындардың тура (декартты) көбейтіндісі дегеніміз не?

3. Декартты квадрат қалай анықталады?

4. Жиындарды бейнелеу дегеніміз не?

5. Бейнелеудің қандай түрлерін білесіз?

6. Бейнелеудің композициясының анықтамасын айтыңыз.

6. тақырып

Бинарлық қатынастар. Фактор-жиын

Мақсаты:

1. Бинарлық қатынастар түсінігін енгізу және бинарлық

қатынастардың қасиеттерін қарастыру.

2. Эквивалентті және реттік қатынастар түсінігін енгізу.

3. Фактор-жиын түсінігін енгізу.

Жоспар:

1.Бинарлық қатынастар.Бинарлық қатынастардың негізгі қасиеттері.

2.Эквивалентті қатынас және кластарға бөлшектеу.

3. Реттік қатынас. Фактор-жиын.

1 Бинарлық қатынастар. Бинарлық қатынастардың негізгі қасиеттері

Математикада берілген жиынның элементтері арасындағы әртүрлі қатынастар зерттеледі. А жиынының әртүрлі қос элементтерін байланыстыратын қатынастарға тоқталамыз.

1 анықтама. Кез келген А және В жиындары үшін α А´Вішкі жиыныА және В жиындарының элементтері арасындағы бинарлық қатынас деп аталады.

Егер А=В, онда α А² А жиынында берілген бинарлық қатынас деп аталады.

Егер реттелген қосы <а, в> α болса, онда а және в α қатынасы арқылы байланысқан деп атайды, немесе, а элементі в элементімен α қатынасында деп айтады және а α в деп жазылады.

Мысал. А<в, а в, М нүктесі а түзуіне тиісті.

2 анықтама. Α бинарлық қкатынасының элементтерінің барлық бірінші координаталарының жиыны α қатынасының анықталу облысы деп аталады және деп белгіленеді. Ал барлық екінші координаталарының жиыны α қатынасының мәндер жиыны деп аталады және деп белгіленеді.

А жиыны- нақты сандар жиыны болған жағдайға аса назар аударамыз. Яғни А- R² – кәдімгі жазықтық. Кез келген бинарлық қатынатар жазықтықтағы нүктелердің ішкі жиыны ретінде қарастырылады. Бұл сәйкес қатынастың көрнекі геометриялық сипаттамасын береді.

Мысал. Х<у қатынасы үшін орындалатын реттелген қостар жиыны у=х түзуінің жоғарғы бөлігінде орналасқан нүктелер жиыны.

Жиындағы бинарлық қатынастардың қасиеттері

3 анықтама. А жиынындағы б инарлық қатынас:

а) рефлексивті деп аталады, егер А жиынының әрбір элементі өзімен - өзі қатынаста болса.

- рефлексивті ó а А а а.

Мысалдар: =, қатынастары

б) симметриялы деп аталады, егер А жиынына тиісті кез келген а,в элементтері үшін а в=>в а орындалса.

- симметриялы ó а, в А а в=>в а.

Мысалдар: =, қатынастары

в) транзитивт деп аталадыі, егер А жиынына тиісті кез келген а,в,с элементтері үшін а в в с => а с

- транзитивті ó а, в, с А а в в с => а с.

Мысалдар: <, қатынастары

г) антирефлексивті деп аталады, егер А жиынындағы бірде бір элемент өзімен-өзі қатынасында болмаса.

- антирефлексивті ó а А а а.

д) антисимметриялы деп аталады, егер А жиынына бірмезгілде <а, в> және <в, а> қостары тиісті болмаса.

- антисимметриялы ó а,в А а в в а => а = в немесе а в а в => в а.

Мысалдар: қатынастары

е) Байланысты деп аталады,егерА жиынының құрамына, әртүрлі а және в элементтері үшін немесе <а, в> қосы <в, а> болса.

- байланысты ó а,в А а в => а в в а.

Мысалдар: <, қатынастары

3 Эквивалентті қатынас және кластарға бөлшектеу

4 анықтама. А жиынында берілген бинарлық қатынас рефлексивті, симметриялы және транзитивті болса, онда қатынасы А жиынында эквивалентті қатынас деп аталады.

Белгіленуі ~.

Мысалдар: =,

Кез келген жиында эквивалентті қатынастың берілуі кластарға бөлшектеу түсінігімен байланысты.

6. анықтама. А жиыныда оның А_i ішкі жиындарына бөлшектеу берілген дейміз, егер

1) барлық ішкі жиындар бос емес жиындар болса: А_iØ _i I;

2) Әртүрлі екі ішкі жиын қиылыспаса

А_iA_j => A_i A_j = Ø _i,_j I;

3) Барлық осындай ішкі жиындардың бірігуі А жиынын берсе:

UA_i = A, _i I.

- А жиынындағы бинарлық қатынас болсын.

{х | а х} = ā жиыны а элеметі тудыратын эквивалентті класс деп аталады.

Мысалдар. А – үшбұрыштар жиыны, .

5 анықтама. - А жиынындағы эквивалентті қатынас болсын, онда - ға қатысты барлық эквивалентті кластар жиыны А жиынының қатынасы бойынша фактор жиыны деп аталады және А/ деп белгіленеді.

Әдебиет: 1, 34, 44 бет;

Бақылау сұрақтары:

1.Жиындағы бинарлық қатынас дегеніміз не?

2. Бинарлық қатынаста\ың қандай қасиеттері бар?

3. Бинарлық қатынастың мысалдарын келтіріңіз.

4. Эквивалентті қатынастың және кластарға бөлшектеудің анықтамасын беріңіз.

5. Реттік қатынас дегеніміз не?

6. Фактор-жиын қалай анықталады?

4. тақырып

Комбинаториканың элементтері.

Орын ауыстырулар

Мақсаты:

1. Комбинаторика түсінігін енгізу.

2. Комбинаториканың негізгі ережелерін қарастыру.

3. Орын ауыстыру түсінігін енгізу.

Жоспар:

1. Комбинаторика дискретті математиканың бөлімі.

2. Қосу және көбейту ережесі.

3. Қайталанатын және қайталанбайтын орын ауыстырулар.

5. Комбинаторика дискретті математиканың бөлімі.

Комбинаторика деп берілген шарт бойынша берілген объектілерден қанша әртүрлі комбинациялар құрауға болады деген сұрақты оқытатын математиканың бір бөлімі.

Көптеген практикалық жағдайларда анықталған шартты қанағаттандыратын объектілердің мүмкін болатын комбинациялар санын анықтау қажеттігі туады. Осындай есептер комбинаторлық деп аталады.

Комбинаторика 16 ғасырда пайда болды. Алғашқы кезде комбинаторика тек қана ойындарда қолданылып жүрді.

Комбинатормкалық есептер ықтималдықтар теориясында, математикалық логикада, сандар теориясында, есептеу техникасында, кибернетикада, экономикада, лингвистикада және т.б. қолданылады.

Комбинаторика – ықтималдық теориясында, математикалық логикада, комбинаторикада, есептеу техникасында, сандар теориясында қолданылуына байланысты маңызды орын алатын дискретті математиканың бір бөлімі.

6. Қосу және көбейту ережелері.

Комбинаторика есептерінің түрі әр типте болады. Көптеген есептер негізгі екі ереженің көмегі арқылы шешіледі. – қосынды және көбейту ережесі.

Мысал. Егер кітап сөресінің бірінші сөресінде 30 әртүрлі кітап болса, ал екіншісінде 40 әртүрлі кітап болса, онда бір кітапты таңдап алу 30+40=70 әдіс болады.

Қосу ережесі. Егер қандай да бір А объектіні m әдіспен таңдап алуға болса, ал B объектіні n әдіспен таңдап алуға болса, онда «немесе А, немесе В» таңдауын m+n әдіспен жүргізуге болады.

Мысал. Командир орнына 3 үміткер, ал бортмеханик орнына 2 үміткер бар. Қанша тәсілмен құрамында командир мен бортмеханик бар экипажды құруға болады?

Шешуі: Кемедегі командирді 3 тәсімен таңдап аплуға болады, командирді таңдағаннан соң ғана бортинженерді екі тәсілмен таңдауға болады. Жалпы тәсілдер саны көбейту ережесі бойынша 3*2=6 тең.

Экипажи К₁, Б₁

Осындай сызба ағаш деп аталады.

Көбейту ережесі. Егер қандай да бір А объектіні m әдіспен таңдап алуға болса және осындай таңдаудан кейін ғана В объектісін n әдіспен таңдап алуға болса, онда (А, В) қосын көрсетілген ретте mn әдіспен таңдауға болады.

1 есеп. А қаласынан Б қаласына 2 жол бар, А қаласынан Г қаласына 4 жол бар, Б қаласынан В қаласына 3 жол бар, Г қаласынан В қаласына 5 жол бар.

А) А қаласынан Б қаласы арқылы В қаласына баратын қанша жол бар?

Б) А қаласынан В қаласына баратын қанша әртүрлі жол бар?

Шешуі:

а) Көбейту ережесі бойынша 2*3=6

б) 1 жағдай: Б арқылы: 6 жол

2 жағдай: Г арқылы: 4*5=20 жол

Қосынды ережесі бойынша 20+6=26 жол екенін аламыз.

2 есеп. 28 сүйектен тұратын доминодан қанша әдіспен екі сүйекті бір-біріне жалғап қоюға болатындай етіп, яғни екі сүйектегі ұпайлар саны бірдей етіп таңдауға болады.

Шешуі: алдымен бір сүйекті таңдап аламыз. Оны 28 әдіспен жүргізуге болады. 7 жағдайда сүйектердегі ұпайлар 00,11,22,33,44,55,66 болады. Ал 21 сүйектегі ұпайлар саны әртүрлі.

1 жағдай: екінші сүйекті 6 тәсілмен таңдауға болады, көбейту ережесі бойынша: 7*6=42 әдіс

2 жағдай: 2 сүйекті 12 әдіспен таңдауға болады және көбейту ережесі бойынша: 21*12=252 әдіс.

Қосу ережесі бойынша: 42+252=294 әдіс болады.

3 Қайталанатын және қайталанбайтын орын ауыстырулар.

{a₁,…,a_n} n әртүрлі элементтерден тұратын жиын берілсін.

1 анықтама. К көлемді таңдау деп құрамында алғашқы элементтер бар {a_i1,…,a_ik} жиыны аталады.

2 анықтама. Орналасу реті маңызды, ал элементтері бірдей болуы мүмкін болатын таңдаулар қайталанатын орынауыстыру деп аталады.

Белгіленуі: А_n^k

A_n^k=n^k

Теорема.

^7. анықтама. Барлық элементтері әртүрлі, орналасу реті маңызды болатын таңдаулар қайталанбайтын орын ауыстыру деп аталады. Белгіленуі: A_n^k

A_n^k=n(n-1)…(n-k+1)

Теорема.

1 ден n-ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісі n! Деп белгіленеді, яғни n!=1.2…n

Анықтама бойынша егер k>n болса, A_n⁰=1; A_n^k=0 деп есептеледі.

Әдебиет: 1, 134-136бет; 20; 10,9-21 бет

Бақылау сұрақтары:

1. Комбинаторика нені оқытады?

2. Комбинаториканың қандай негізгі ережелерін білесіз?

3. Қайталанатын орын ауыстыру қалай анықталады?

4. Қайталанбайтын орын ауыстыру қалай анықталады?

5. Оларды табу формулаларын жазыңыз.

5 тақырып

Алмастырулар және терулер

Мақсаты:

1. Қайталанатын және қайталанбайтын алмастырулар түсінігін енгізу.

2. Қайталанатын және қайталанбайтын терулер түсінігін енгізу.

Жоспар:

1. Қайталанатын және қайталанбайтын алмастырулар.

2. Қайталанатын және қайталанбайтын терулер.

1 Қайталанатын және қайталанбайтын алмастырулар

1 анықтама. k=n болғандағы қайталанбайтын орын ауыстыру алмастыру деп аталады. (Мұндай таңдаулар тек қана элементтеріның реті бойынша ажыратылады).

Белгіленуі: P_n

P_n=n!

Теорема.

Дәлелдеуі: P_n=A_nⁿ= n (n-1)…(n-(к-1))=n!

0! =1 деп есептеледі.

Мысал. Морзе әліппесінің әріптері нүктелер тізбегі және тире арқылы құрылады. 5 символдан тұратын код арқылы қанша әртүрлі әріптер құруға болады?

Шешуі: Берілген жиын 2 элементтен тұрады: нүкте, тире. 5 символ қолданылады, сондықтан таңдауда қайталануы мүмкін 5 элемент бар. Демек, таңдаулар саны 2⁵=32=А₂⁵

Мысал. 11 адамнан тұратын футбол командассымен қанша тәсілмен капитанды және қақпашыны таңдап алуға болады?

Шешуі: 11 футболисттің әрқайсысы капитан бола алады. Оны таңдағаннан кейін қақпашының орнына қалған 10 адам болуы мүмкін. Ендеше 11*10=110=А₁₁² таңдаудың әртүрлі саны.

Мысал. Бір қатарға неше тәсілмен қызыл, қара, көк және жасыл шарларды қоюға болады?

Шешуі. 1-ші орынға 4 шардың кез келгенін қоюға, 2-ші орынға қалған 3 шардың кез келгенін, ал 3-ші –қалған 2-ң кез ккелгенін, 4-ші орынға– соңғы қалған шарды қоюға болады.

4!=24=P₄

2 Қайталанатын және қайталанбайтын терулер

элементі рет, - , - рет кіретін А= { , ,…, } жиынынан келесі таңдауларды қарастырамыз. Онда жалпы таңдау көлемі: m= + + …+ .

(,…, ) натурал сандар жиынтығын таңдаудың құрамы деп атайды.

2 анықтама. Бір құрамның әртүрлі таңдаулар саны m элементтен тұратын ,…, қайталау саны берілген алмастыру деп аталады.

Мысал. Бұл сан мынау формуламен есептеледі: .

Дәлелдеуі:Расында да, егер барлық m элементтер әртүрлі болса, онда алмастырулар саны m! болар еді. элементі рет кіргендіктен, онда осы элементті алмастыру жаңа алмастыру бермейді => әртүрлі алмастырулар саны және т.с.с.

Есеп. «МАТАМАТИКА» сөзінің әріптерінен қанша әртүрлі сөздер құруға болады?

3 анықтама. Барлық элементтері әр түрлі, ал орналасу реті маңызды емес таңдаулар n элементтен k бойынша алынған терулер (қайталанбайтын) деп аталады.(Осындай таңдаулар ретімен емес, тек қана құрамы бойынша ажыратылады)

Теорема. = .

Дәлелдеуі:әрбір теруден k! Алмастыру құруға болады, ал осындай терулер саны және көбейту ережесі бойынша

k!· = болады.

Есеп. Елде әрбір екеуі авиажол арқылы 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

Шешуі. Әрбір авиажол 2 қаланы байланыстырады. 1-ші қала ретінде 20 қаланың кез келгнін алуға болады (А қаласы), ал 2-ші қала ретінде қалған 19-дың кез келгенін алуға (В қаласы). Осы сандарды көбейтіп 20·19=380 аламыз. Бірақ әрбір санауда авиажол екі рет қайталанады. Ендеше авиажолдар саны 380:2=190= .

4 анықтама. Бірдей элементті k топтан құрылған құрамы әртүрлі n көлемді таңдаудың саны. k элемент бойынша n- нқұрылған теру (қайталанатын) деп аталады.

Әдебиет: 1, 136-142 бет; 15-20 бет; 10, 31-51 бет

Бақылау сұрақтары:

1. Қайталанатын және қайталанбайтын алмастырулардың анықтамасын беріңіз.

2. Қайталанатын және қайталанбайтын терулердің анықтамасын беріңіз.

3. Оларды табу формулаларын жазыңыз.

6 тақырып

Z сақинасындағы бөлінгіштік қатынасы

Мақсаты:

1. Z сақинасындағы бөлінгіштік қатынасын қарастыру.

2. ЕҮОБ және ЕКОЕ түсініктерін енгізу, олардың арасындағы байланыс.

3. Практикалық есептер шығарудағы біліктілік пен дағдыны қалыптастыру.

Жоспар:

1. Бөлінгіштік қатынасы, оның қарапайым қасиеттері.

2. ЕҮОБ. Евклид алгоритмі. ЕКОЕ.

3. Жай сандар.

Сандар теориясы бүтін сандардың қасиеттерін қарастырады.

1 Бөлінгіштік қатынасы, оның қарапайым қасиеттері

1 аны0тама. Егер a=b*q шартын қанағаттандыратын бүтін q саны табылса, онда а бүтін саны b бүтін санына бөлінеді дейміз.

а – бөлінгіш, b – бөлгіш, q – бөлінді.

Бөлінгіштік қатынасының қасиеттері.

1⁰ бөлінгіштік қатынасы рефлективті. (так как а=а*1, 1 Z).

2⁰ бөлінгіштік қатынасы транзитивті.

( ).

3⁰ Кез-келген а сыны 1-ге бөлінеді. (а=1*а).

4⁰ Егер , онда , және . Бөлінгіштің де, бөлгіштің де таңбалары өзгергенде бөлінгіштік қатынасы сақталады.

, мұндағы .

5⁰

( )

6⁰

, мұндағы (ассоциативті, коммутативті болғандықтан).

7⁰ (5⁰,6⁰қасиеттерден шығады) , .

8⁰ Егер болса, онда 0* =а шартын қанағаттандыратын саны табылмайды.

Қысқаша айтқанда, нөлге бөлуге болмайды.

9⁰

(, ).

10⁰ (9⁰қасиеттің салдары)

( болғанда, дербес жағдай).

11⁰ , , себебі .

12⁰ (11⁰ қасиеттің салдары) немесе

немесе

Қалдықпен бөлу.

Анықтама. Егер келесі екі шарт орындалатындай , , және сандары табылса, онда а бүтін саны бүтін санына қалдықпен бөлінеді дейміз. - бөлінді, - қалдық.