 |
Глава II. Свойства метризуемых пространств
|
|
|
|
Метризуемость топологических пространств
Выполнила
студентка 5 курса
математического факультета
Побединская Татьяна Викторовна
_______________________________
(подпись)
Научный руководитель
к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна
_______________________________
(подпись)
Рецензент
_______________________________
(подпись)
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
КИРОВ
2004
Содержание
Введение. 3
Глава I. Основные понятия и теоремы.. 4
Глава II. Свойства метризуемых пространств. 10
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. 21
Библиографический список. 24
Введение
Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».
В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.
Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:
1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
2. Метризуемое пространство нормально.
3. В метризуемом пространстве 
выполняется первая аксиома счетности.
|
|
|
4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:
1) сепарабельно,
2) имеет счетную базу,
3) финально компактно.
6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.
Глава I. Основные понятия и теоремы
Определение. Метрическим пространством называется пара 
, состоящая из некоторого множества (пространства) элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции 
, определенной для любых 
и 
из и удовлетворяющей трем условиям:
1) 
(аксиома тождества);
2) 
(аксиома симметрии);
3) 
(аксиома треугольника).
Определение. Пусть – некоторое множество. Топологией в 
называется любая система 
его подмножеств 
, удовлетворяющая двум требованиям:
1. Само множество и пустое множество принадлежат .
2. Объединение 
любого (конечного или бесконечного) и пересечение 
любого конечного числа множеств из принадлежат .
Множество с заданной в нем топологией , то есть пара 
, называется топологическим пространством.
Множества, принадлежащие системе , называются открытыми.
Множества 
, дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства .
Определение. Совокупность 
открытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства , если всякое открытое множество в может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из 
.
Теорема 1. Всякая база в топологическом пространстве обладает следующими двумя свойствами:
1) любая точка 
содержится хотя бы в одном 
;
2) если содержится в пересечении двух множеств 
и 
из 
, то существует такое 
, что 
.
|
|
|
Определение. Открытым шаром или окрестностью точки 
радиуса 
в метрическом пространстве 
называется совокупность точек 
, удовлетворяющих условию 
. При этом 
– центр шара, – радиус шара.
Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса 
, включенная в -окрестность точки .
Доказательство. Выберем в качестве : 
.
Достаточно доказать для произвольного 
импликацию 
. Действительно, если 
, то 
Получаем, что 
, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.
Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).
· Свойство первое очевидно, так как для любого выполняется 
для любого 
.
· Проверим второе свойство.
Пусть 
, 
и 
, тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое 
, что 
Теорема доказана.
Определение. Топологическое пространство 
метризуемо, если существует такая метрика 
на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .
Аксиомы отделимости
Аксиома 
. Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.
Аксиома 
. Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.
Предложение. является - пространством тогда и только тогда, когда для любого 
множество 
замкнуто.
Доказательство.
Необходимость. Пусть 
. Так как является -пространством, то существует окрестность 
, не содержащая .
Рассмотрим 
Докажем, что 
. Применим метод двойного включения:
· Очевидно, что 
по построению множества 
.
· 
.
Пусть 
отсюда для любого 
отличного от 
существует окрестность 
, значит 
, тогда 
.
Множество 
- открыто, как объединение открытых множеств.
Тогда множество 
- замкнуто, как дополнение открытого множества.
Достаточность. Рассмотрим 
. По условию 
замкнутые множества. Так как 
, то 
. Множество 
-открыто как дополнение замкнутого и не содержит 
. Аналогично доказывается существование окрестности точки 
, не содержащей точку
Что и требовалось доказать.
Аксиома 
(аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.
|
|
|
Аксиома 
. Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
Определение. Пространства, удовлетворяющие аксиомам 
(
) называются -пространствами ( -пространства называют также хаусдорфовыми пространствами).
Определение. Пространство называется нормальным или 
-пространством, если оно удовлетворяет аксиоме 
, и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.
Определение. Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки 
, если для любой окрестности 
точки найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в 
.
Определение. Если точка топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.
Определение. Две метрики 
и 
на множестве 
называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.
Пример. На плоскости 
для точек 
и 
определим расстояние тремя различными способами:
1. 
,
2. 
,
3. 
.
· Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.
1. 1) 
2) так как 
и 
, то вторая аксиома очевидна: 
3) рассмотрим точки , , 
и докажем следующее неравенство:
Возведем это неравенство в квадрат:
.
Так как 
и 
(поскольку 
) и выражение 
есть величина неотрицательная, то неравенство является верным.
2. 1) 
2) так как 
и 
, то вторая аксиома очевидна: 
.
3) рассмотрим точки , , и докажем следующее неравенство: 
.
Тогда и 
.
3. 1) 
2) так как 
и 
, то вторая аксиома очевидна:
.
3) рассмотрим точки , , .
Неравенство: 
- очевидно.
· Введенные метрики 
и 
эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.
Пусть метрика 
порождает топологию 
, - топологию 
и 
- топологию 
. Достаточно показать два равенства.
|
|
|
Покажем, что 
.
Рассмотрим множество, 
открытое в 
и покажем, что 
открыто в 
. Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда открыто и в .
Аналогично доказывается, что 
. А тогда и 
.
Глава II. Свойства метризуемых пространств
Свойство 1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
Доказательство. Пусть 
. Возьмем 
. Докажем, что 
.
Предположим, что 
, тогда существует 
, т.е. 
и 
. Тогда, 
. Получили противоречие. Следовательно, 
.
Следствие. Метризуемое пространство является 
- пространством.
Определение. Расстоянием от точки 
до множества 
в метрическом пространстве называется 
.
Утверждение 2. Пусть множество 
фиксировано; тогда функция 
, сопоставляющая каждой точке 
расстояние 
, непрерывна на пространстве 
.
Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функция 
называется непрерывной в точке 
, если 
.
Из неравенства 
, где 
, получаем 
. Аналогично 
. Из полученных неравенств следует 
.
Для произвольного 
возьмем 
. Тогда из неравенства 
следует 
. Непрерывность доказана.
Лемма. 
– замкнутое множество в метрическом пространстве 
. Для любого 
расстояние от 
до множества положительно.
Доказательство.
Множество замкнуто, отсюда следует, что множество 
- открыто. Так как точка 
принадлежит открытому множеству 
, то существует такое 
, что 
. Так как 
, то 
для некоторого 
. Поэтому 
для любого . Следовательно, 
, что и требовалось доказать.
Свойство 2. Метризуемое пространство нормально.
Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является
-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества и 
имеют непересекающиеся окрестности.
Так как 
и множество замкнуто по условию, то для любого 
по лемме 
.
Обозначим 
и 
для произвольных 
и 
.
Множества 
и 
открыты как объединения открытых шаров в и содержат соответственно множества и .
Следовательно, - окрестность множества , 
- окрестность множества 
.
Докажем, что 
.
Предположим, что 
, то есть 
. Тогда из условия 
следует, что 
для некоторого 
. Отсюда 
.
Аналогично получаем 
для некоторого 
. Для определенности пусть 
. Тогда 
.
Получаем 
, для некоторой точки 
, что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.
Следовательно 
. Таким образом, является 
-пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.
Свойство 3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.
|
|
|
Доказательство. Пусть - произвольное открытое множество, содержащее точку 
. Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то содержится в вместе с некоторым открытым шаром, то есть 
для некоторых 
и . По утверждению 1 найдется такое 
, что 
.
Возьмем 
, для которого 
. Тогда 
. Таким образом открытые шары 
, образуют определяющую систему окрестностей точки 
. Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.
Определение. Множеством типа 
или просто - множеством пространства называется всякое множество 
, являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.
Определение. Множеством типа 
или просто - множеством пространства называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых (в ) множеств.
Очевидно, что множества типа и являются взаимно дополнительными друг для друга.
Определение. Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа , называется совершенно нормальным.
Утверждение 3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа .
Свойство 4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
Доказательство. Пусть 
- непустое замкнутое множество в . Тогда 
для непрерывной функции 
(непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим 
, множества 
открыты в как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что 
.
Пусть 
, тогда 
. Так как 
для любого 
, то 
для любого . Отсюда 
.
Обратно. Пусть , тогда для любого 
. Отсюда 
для любого , поэтому 
для любого , тогда 
, значит 
. Таким образом множество является множеством типа 
.
Определение. Множество 
всюду плотно в , если любое непустое открытое в множество содержит точки из .
Определение. Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.
Определение. Семейство γ открытых в множеств образуют покрытие пространства , если содержится в объединении множеств этого семейства.
Определение. Топологическое пространство называется финально компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие.
Свойство 5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:
1) сепарабельно,
2) имеет счетную базу,
3) финально компактно.
Доказательство. 
Пусть 
- счетное всюду плотное множество в , - метрика в . Множество окрестностей 
счетно. Докажем, что 
- база топологии в . Пусть - произвольное открытое в множество, 
. Тогда для некоторого 
. Рассмотрим рациональное число 
, для которого 
и точку 
, для которой 
.
Докажем, что 
. Пусть 
. Так как 
, то 
. Тогда 
. Таким образом, для произвольного 
и открытого множества нашелся элемент из 
, такой, что 
. Следовательно 
- база топологии.
Пусть 
- счетная база в . Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества 
, 
- открыты для любого 
(
- индексное множество). Для любого 
существует 
, для которого 
. Так как - база, то найдется такое 
, что 
. Тогда 
. Поскольку база счетна, то покрывается счетным числом соответствующих множеств 
. Таким образом, - финально компактно.
Для каждой точки рассмотрим окрестности 
, которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактности из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие 
. В каждом из этих множеств выберем точку 
. Множество точек 
счетно, докажем, что оно плотно в 
. Пусть - произвольное открытое множество в 
, 
, тогда 
для некоторого 
. Существует элемент подпокрытия 
. Тогда 
, то есть любое непустое открытое множество в содержит точ
|
|
|
