III. Решение одной геометрической задачи несколькими способами.

Творческая работа по геометрии.

«Несколько способов решения одной геометрической задачи»

 

 

                                                                               ученика 11 класса

                                                                                        …………..

 

 

                                                                                Руководитель:

                                                                                учитель I

                                                                                категории                                                                                 

                                                                                Шмонина С.Ю.

 

 

2006 год.

Введение.

Общеизвестно, что учащиеся прочно усваивают только то, что прошло через их индивидуальные усилия. Проблема самостоятельности учащихся при обучении не является новой. Этому вопросу отводили исключительную роль ученые всех времен. Особенно четкие концепции о роли самостоятельности в приобретении знаний имеются в трудах К.Д.Ушинского, Д.И.Писарева и др. Эта проблема является актуальной и сейчас. Внимание к ней объясняется тем, что самостоятельность играет весьма важную роль не только при получении среднего образования, но и при продолжении обучения после школы, а также в дальнейшей трудовой жизни школьников.

В наше время, в условиях развития рыночной экономики, когда наблюдается небывалый рост объема информации, от каждого человека требуется высокий уровень профессионализма и такие деловые качества как предприимчивость, способность ориентироваться, быстро и безошибочно принимать решения, а это невозможно без умения работать творчески.

Математика является наиболее удобным предметом для развития творческих способностей учащихся. Этому способствует логическое построение предмета, четкая система упражнений для закрепления полученных знаний и абстрактный язык математики. Воспитание самостоятельности у учащихся постепенно в течение всего периода обучения и предусматривает способность полноценно аргументировать, выделять главное, существенное, умение рассуждать, доказывать, находить рациональные пути выполнения заданий, делать соответствующие выводы, обобщать и применять их при решение конкретных вопросов.

Сущность самостоятельной работы заключается в том, что она выполняется учеником без непосредственного участия учителя, но по его заданию и под его контролем. Существуют разные подходы к классификации самостоятельных работ. Подразделяют их на обучающие и контролирующие, творческие и репродуктивные, устные и письменные, на общие, групповые и индивидуальные, на классные и домашние.

Творческие самостоятельные работы, включающие возможность решение задач несколькими способами, составление задач и примеров самими учащимися и т.п. наиболее важны из всех видов самостоятельных работ. Они требуют от учащихся собственной инициативы, будят мысль, заставляют анализировать и осуществлять самостоятельные решения.

В своей работе я рассмотрел различные методы решения геометрических задач и применение данных методов к решению одной геометрической задачи. Во-первых, эта тема меня очень заинтересовала, когда мы проходили её на уроках геометрии, и я решил узнать больше о методах решения. Во-вторых, методы решения геометрических задач занимают особое место в математике, поскольку решение их вызывает определенные трудности у учеников и абитуриентов.

I.Методы решения геометрических задач.

Говоря о поисках решения геометрической задачи, приходится иметь ввиду, что существуютразличные методы её решения. Поэтому поиски прежде всего следует направить на выбор конкретного метода. Условно можно разбить на следующие группы:

 

§1. Традиционный метод.

Связан с использованием соотношений в треугольнике и круге, признаками равенства и подобия и др. Часто приходится проводить дополнительные построения, например, описанные окружности.

 

§2. Метод геометрических преобразований.

Связан с применением преобразований плоскости и пространства (параллельный перенос, симметрия, гомотетия и т.п.).

 

§3. Векторный метод.

Связан с использованием векторов, в частности скалярного и векторного произведений.

 

Тригонометрический метод.

Использует применение тригонометрии, теорем синусов и косинусов.

 

Переформулировка задачи.

Замена задачи другой, эквивалентной данной.

 

  

 Перечисленные методы могут пересекаться, в одном решении может применяться несколько методов. Например, можно заменить исходную задачу другой, которую решают с помощью векторов и преобразований.

При решении геометрических задач полезно показать, что рассматриваемую задачу можно решить различными методами, и если один способ не приводит к цели или слишком громоздок, то лучше обратиться к другому. «Лучше решить одну задачу несколькими методами, чем несколько задач - одним» (Д.Пойя).

 

 

II.Примеры решения задач данными методами.

 

Прежде чем перейти к рассмотрению выбранной мною задачи, хотелось бы показать, как происходит поиск решения на примере, используя некоторые из вышеперечисленных методов.

 

З а д а ч а. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ не имеют общих точек, кроме вершины С, и АСА₁ = ВСВ₁ = 90°, СА=СА₁, СВ=СВ₁. Доказать, что медиана С D треугольника АВС перпендикулярна прямой А₁В₁.

         

Рис.1

Заметим прежде всего те свойства фигуры, которые сразу бросаются в глаза:

1°. Треугольники АСА₁ и ВСВ₁ прямоугольные и равнобедренные.

2°. АСВ + А₁СВ₁ = 180°.

Рассмотрим различные способы использования этих свойств.

 

Р е ш е н и я.

 

1 способ. На рисунке присутствует несколько прямых углов с одной вершиной, поэтому напрашивается использование поворота на 90° вокруг точки С. Пусть при таком повороте треугольник А₁В₁С₁ переходит в треугольник А₂ВС. Тогда точки А, С и А₂ лежат на одной прямой и С – середина АА₂. Следовательно, СD есть средняя линия треугольника АВА₂ и поэтому СD  А₂В. Но А₂В  А₁В₁ по свойству повороту, значит, CD  A₁B₁.

 

II способ. Воспользуемся векторным произведением векторов.

А₁В₁∙ 2CD = (СВ₁ – СА₁)(СА + СВ) = СВ₁∙СА – СА₁∙СА + СВ₁∙СВ – СА₁∙СВ = СА ∙СВ₁∙cos ACB₁ – 0 + 0 - CA∙CB∙cos A₁CB = 0, так как АСВ₁ = А₁СВ = 90° + АСВ.

Вывод: CD  A₁B₁.

 

III способ (традиционный). Продолжим сторону АС до точки А₂ так, что АС = А₂С (рис. 1). Тогда из замеченного выше свойства 2° следует: А₂СВ =  А₁СВ₁, и треугольники А₂СВ и А₁СВ₁ равны. В треугольнике АВА₂ отрезок CD – средняя линия и поэтому CD А₂В. Из равенства треугольников получаем СВМ = СВ₁М. Значит, вокруг четырехугольника МСВВ₁ можно описать окружность с диаметром ВВ_1.  Отсюда угол ВМВ₁ опирается на диаметр и А₂В  А₁В₁ . Следовательно, CD  A₁B₁. 

 

IV способ (традиционный).  Достроим треугольник АВС до параллелограмма САКВ (рис.2).

         

 

Рис.2

 

Тогда ∆САК = ∆А₁СВ₁ по двум сторонам и углу между ними и, следовательно, СА₁В₁ = АСК = α. Продолжим прямую СК до пересечения с отрезком А₁В₁ в точке Е. Тогда А₁СЕ = 180° - 90° - α = 90° - α, откуда следует, что А₁ЕК = 90°.

  

 

III. Решение одной геометрической задачи несколькими способами.

Ниже предлагаются девять решений одной красивой геометрической задачи. Кроме вышеперечисленных методов, здесь используются и другие, с помощью которых также можно решить рассматриваемую мною задачу.

З а д а ч а. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат ABDE в той полуплоскости от прямой АВ, которой не принадлежит треугольник АВС. Найти расстояние от вершины С прямого угла до центра квадрата, если катеты ВС и АС имеют соответственно длины a и b.

                

Рис.3

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: