 |
Задачи на точки максимума/минимума
|
|
|
|
Общая схема решения задач B14
Все задачи B14, которые встречаются в ЕГЭ по математике, делятся на два типа:
1. Задачи на поиск максимального или минимального значения функции на отрезке. Иногда отрезок не задан — в этом случае работаем на всей числовой прямой;
2. Задачи на точку максимума/минимума. Решаются чуть проще, зато функции здесь намного разнообразнее.
У каждого из них свои алгоритмы решения, которые будут рассмотрены ниже. Но в любом случае, чтобы решить задачу B14, учитесь считать производную — см. «Производная». Без производных здесь делать нечего.
Задачи на максимальное/минимальное значение
Если в задаче B14 требуется найти максимальное или минимальное значениефункции f (x) на отрезке [ a; b ], выполняем следующие действия:
1. Найти производную функции: f ′(x);
2. Решить уравнение f ′(x) = 0. Если корней нет, пропускаем третий шаг и переходим сразу к четвертому;
3. Из полученного набора корней вычеркнуть все, что лежит за пределами отрезка[ a; b ]. Оставшиеся числа обозначим x 1, x 2,..., xn — их, как правило, будет немного;
4. Подставим концы отрезка [ a; b ] и точки x 1, x 2,..., xn в исходную функцию. Получим набор чисел f (a), f (b), f (x 1), f (x 2),..., f (xn), из которого выбираем наибольше или наименьшее значение — это и будет ответ.
Небольшое пояснение по поводу вычеркивания корней, когда они совпадают с концами отрезка. Такое вполне может встретиться на настоящем экзамене. Эти точки можно вычеркнуть, поскольку на четвертом шаге концы отрезка все равно подставляются в функцию — даже если уравнение f ′(x) = 0 не имело решений.
Также следует внимательно читать условие задачи. Когда требуется найти значение функции (максимальное или минимальное), концы отрезка и точки x 1, x 2,..., xn подставляются именно в функцию, а не в ее производную.
|
|
|
Задача
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−5; 0]:
y = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7
Решение
Для начала найдем производную:
y ′ = (x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7)′ = 3 x 2 + 6 x − 9
Затем приравняем ее к нулю:
y ′ = 0;
3 x 2 + 6 x − 9 = 0;
...
x 1 = −3; x 2 = 1.
Вычеркиваем корень x = 1, поскольку он не принадлежит отрезку [−5; 0]. Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −3. Имеем:
y (−5) = (−5)3 + 4 · (−5)2 − 9 · (−5) − 7 = −12;
y (−3) = (−3)3 + 4 · (−3)2 − 9 · (−3) − 7 = 20;
y (0) = 03 + 4 · 02 − 9 · 0 − 7 = −7.
Очевидно, что наибольшее значение равно 20 — оно достигается в точке x = −3.
Ответ
Задачи на точки максимума/минимума
Теперь рассмотрим случай, когда требуется найти точку максимума или минимумафункции f (x) на отрезке [ a; b ]. Если отрезок не задан, функция рассматривается на своей области определения. В любом случае, схема решения такова:
1. Найти производную функции: f ′(x);
2. Решить уравнение f ′(x) = 0. Если производная — дробно-рациональная функция, дополнительно выясняем, когда ее знаменатель равен нулю. Полученные корни обозначим x 1, x 2,..., xn;
3. Отметить x 1, x 2,..., xn на координатной прямой и расставить знаки, которые принимает производная между этими числами. Если задан отрезок [ a; b ], отмечаем его и вычеркиваем все, что лежит за его пределами;
4. Среди оставшихся точек ищем ту, где знак производной меняется с минуса на плюс (это точка минимума) или с плюса на минус (точка минимума). Такая точка должна быть только одна — это и будет ответ.
В целом, задачи на точки максимума/минимума считаются даже проще, чем задачи на поиск наименьшего/наибольшего значения. Это происходит хотя бы из-за того, что здесь не надо считать значение функции в конкретных точках. Статистика свидетельствует, что именно на этом шаге ученики допускают больше всего ошибок.
|
|
|
Вдумчивый читатель наверняка заметит, что для некоторых функций этот алгоритм не работает. Действительно, существует целый класс функций, для которых нахождение точек экстремума требует более сложных выкладок. Однако такие функции в ЕГЭ по математике не встречаются.
Внимательно отнеситесь к расстановке знаков между точками x 1, x 2,..., xn. Помните: при переходе через корень четной кратности знак производной не меняется. Когда ищутся точки экстремума, знаки читают слева направо, т.е. по направлениючисловой оси.
Задача
Найдите точку максимума функции на отрезке [−10; −1]:
Решение
Найдем производную:
Поскольку это дробно-рациональная функция, приравниваем к нулю числитель:
y ′ = 0;
x 2 − 25 = 0;
...
x 1 = 5; x 2 = −5.
Получили два корня. Теперь приравниваем к нулю знаменатель:
x 2 = 0;
x = 0.
Получили x = 0 — корень второй кратности. При переходе через него знак производной не меняется. Осталось отметить точки x = −5; x = 0; x = 5 на координатной прямой, а затем расставить знаки и границы. Имеем:
Очевидно, что внутри отрезка останется лишь одна точка x = −5, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Это и есть точка максимума.
Ответ
−5
Еще раз поясню, чем отличаются точка экстремума от самого экстремума.Точка экстремума — это значение переменной, при которой
функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Экстремум — это значение самой функции, максимальное или минимальное в некоторой окрестности.
|
|
|
