десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системами счисления

Лекция 8

Системы счисления.

Переводы чисел из одной системы счисления в другую.

Система счисления – набор знаков, используемых для записи чисел и правила записи чисел.

Эти знаки называют цифрами.

Набор этих знаков называется алфавитом системы счисления.

Количество цифр в алфавите называется мощностью алфавита.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В позиционной системе счисления вес цифры (ее значение) зависит от положения цифры в числе, а в непозиционной – нет.

Если хотя бы для одного числа это правило не выполняется, система счисления называется непозиционной. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Римская непозиционная система счисления – самая распространенная из непозиционных СС. В качестве цифр в ней используются: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000)

К позиционным системам счисления относятся: двоичная (с основанием 2), десятичная (с основанием 10), восьмеричная (с основанием 8), шестнадцатеричная (с основанием 16).

В общем случае, система счисления с основанием N:– N-ичная.

Рассмотрим число 777,7 в десятичной системе счисления: первая семерка в нем означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 777,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 70 + 7 + 0,7 = 7•10² + 7•10¹ + 7•10⁰ + 7•10^-1 = 777,7 – развернутая форма записи числа

Количество цифр в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления. Именно во столько раз вес каждого разряда отличается от веса соседнего разряда.

Основание – основная характеристика позиционной системы счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем:

Место цифры в числе называют разрядом, а количество цифр в числе – его разрядностью.

Разряды целого числа нумеруют справа налево, начиная с нуля. Дробные разряды нумеруют слева направо, начиная с -1 (минус единицы).

 

Таблица соответствия между

десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системами счисления

10 - я	2 - я	8 - я	16 - я	10 - я	2 - я	8 - я	16 - я
							A
							B
							C
							D
							E
							F

Для перевода чисел из какой-либо системы счисления в десятичную необходимо:

1. Пронумеровать разряды числа справа налево, начиная с нуля

2. Умножить каждую цифру числа на основание его системы счисления, возведенную в степень, равную номеру этого разряда

3. Сложить полученные числа

Примеры:

Для перевода десятичного числа в другую систему счисления необходимо:

1. Делить нацело с остатком число на нужное основание системы счисления.

2. Продолжать деление до тех пор, пока частное не станет меньше делителя.

3. Выписать остатки в порядке, обратном их получению, начиная с частного.

 

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆.

Для перевода дробных чисел из десятичной в другую систему счисления необходимо:

1. Отдельно перевести целую часть по обычным правилам

2. Далее оставшуюся дробь умножить на основание нужной системы счисления, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на основание СС, отделяя после каждого умножения целую часть пpоизведения.

3. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей пpоизведения.

4. Действие 2 повторять до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или пока не будет достигнуто требуемое количество разрядов (точность).

 

Пример: перевести число 0, 35 в 2-ю, 8-ю и 16-ю системы счисления.

В двоичную В 8-ричную В 16-ричную

Ответ: 0,35₁₀ = 0,01011₂ = 0,263₈ = 0,59₁₆.

Две системы счисления называют родственными, если основание одной системы счисления равно степени основания другой. Например, 2 и 8, 2 и 16, 3 и 9.

Для произвольной пары систем счисления перевод из одной СС в другую осуществляется через 10-ю СС. В родственных СС переводы можно осуществлять напрямую.

Рассмотрим переводы между 2-й, 8-й и 16-й СС (наиболее распространённые).

Для перевода восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Например:

 

Сводная таблица переводов целых чисел

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: