для смешанно-составного уравнения
Бабаев Х. Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского Для смешанно-составного уравнения.
РЕФЕРАТ
В данной работе для смешанно-составного уравнения ставится и исследуется одна нелокальная краевая задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Единственность решения изучаемой задачи доказывается принципом максимума, а существование решения доказывается сведением изучаемой задачи к эквивалентному ей интегральному уравнению. Библиография 4 названия Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения В первые в работе [1] была поставлена и иcследована нелокальная краевая задача для элиптического уравнения, которая является обобщением задачи Дириxле. В данной работе иcследуется один из аналогов этой задачи для уравнения. Пусть: Д область ограниченная отрезками OB, BE, AE, OC, AC, прямыx x=0, y=1, x=1, x+y=0, x-y=1, где А, B, O, C, E точки с координатами (1;0), (0;1), (0;0), ( Задача. Найти регулярное в области Д/OА решение уравнения (1) довлетворяющее краевым
(3) (4) (5)
условиям и условиям склеивания Где Любое регулярное решение уравнения (1) в области
где z(X,У)-регулярное решение уравнения
W (y)-дважды непрерывно дифференцируемая функция. Без ограничения общности можно предположить, что W (0)=0б W (1)=0, сперва приводим доказательство единственности решения изучаемой задачи.
Теорема. Если Доказательство. На основании (2), (7) задача редуцируется к определению регулярного решения уравнения (8) при У>0 удовлетворяющего краевым условиям
где U(1,У)= φ(У), U( Из (6) следует Учитывая (3) и условие (9) получим: общее решение уравнения (1) в области Д реализуя условие (10) из (11) имеем или отсюда тогда из (11) получим U(X,Y)= Используя (4) (ψ дифференцируя выражение (13) имеем
разделяя на φ(x)+ предпологая имеем:φ(x)-L(x) φ(βx)=0 (15) функциональное уравнение (15) не имеет нетривиальных решений. Действительно применяя метод итерации находим φ(х)=L(х)φ(βx) φ(βx)=L(βx)·φ( φ(β из этих равенств имеем
φ(х)=L(x)L(βx)…L(β (0≤x≤1) из (16) следует, что при n→∞ функция φ(х)≡0
Следовательно из (12) получим U(X,Y)= - Отсюда Или Обозначим U(X,1)=ψ(X). тогда условие (5) примет вид U(x,y Следовательно из (7) теперь нетрудно убедиться, что функция Z(X,Y) не достигает максимума на линии У=1. Из условий следует, что Z(X,Y) не достигает максимума (минимума) и на отрезках OB и OA. Функция Z(Х,Y) не достигает максимума (минимум) и на отрезке АЕ. Действительно, если Z(X,Y) достигает максимума (минимума) на АЕ, то из условия Z(X Следует, что этот максимум (минимум) должен реализоваться и внутри области, что противоречит известным свойствам решений элиптических уравнений. Итак Z(X,Y) ≡ 0 в области Д Таким образом U(X,Y)≡0 в области Д. Теперь переходим к доказательству существования решения изучаемой задачи. Реализуя условие (3) имеем: тогда из (11) получим
используя условие (4) после простых преобразований приходим к функциональному уравнению. Φ(х)-L(x)φ(βx)=δx (19) Где δ(x)= Единственное решение функционального уравнения (19) можно найти применением метода итерации. Таким образом неизвестная функция φ(х) определена единственным образом. Из (18) найдём U Где известная функция регулярное в области Д
задается формулой [2]: Отсюда находим
исключая Заметим что V(x) содержит неизвестные функции ψ(Х), W(У). Подставляя значение V(Х) в формулу (21) и реализуя краевые условия .Для определения неизвестных функций ψ(Х), W(У) имеем систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которая однозначно разрешима. Литература.
1. Бицадзе А. И., Самарский А. А. о некоторых простейших обобщениях простейших линейных элиптических краевых задач. –Докл. АН СССР, 1969 Т 189, N4, -c.739-740.
2. Базаров Д. О некоторых нелокальных краевых задачах для модельных уравнений уравнений второго порядка. –изв. вузов. Математика, 1990, N3. 3. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979-238с 4. Салахидинов М. С., Толипов А. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной и двумя линиями вырождения. //Дифференциальные уравнения, 1972 г. Т. 8, №1 c 134-142
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|