Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Найдите параметр С и математическое ожидание.

В урне 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны случайным образом вынимают сразу 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Число N всевозможных исходов – выбор 2 шаров из 4+7=11 шаров – равно числу сочетаний из 11 по 2:

Число n исходов, благоприятствующих наступлению события А – из урны извлечено 2 белых шара, – это число сочетаний из 4 по 2:

Вероятность события А:

Прибор состоит из 5-ти последовательно соединённых блоков. Надёжность каждого блока равна 0,7. Найдите надежность всего прибора.

Обозначим: событие А – прибор работает, событие А_i – работает i -ый блок.

Так как блоки соединены последовательно, то выход из строя каждого блока влечет за собой отказ прибора. Следовательно, надежность прибора, т.е. вероятность его безотказной работы, равна вероятности безотказной работы всех 5-ти блоков:

Р (А) = Р (А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ А ₅)

Вероятность совместного появления 5-ти независимых событий по теореме умножения вероятностей равна:

Р (А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ А ₅) = Р (А ₁)· Р (А ₂)· Р (А ₃)· Р (А ₄)· Р (А ₅) = 0,7⁵ = 0,168

Таким образом Р (А) = 0,168

3.18. Партия транзисторов, среди которых 10% брака, поступила на проверку.

Схема проверки такова, что с вероятностью 0.95 обнаруживается дефект, а с вероятностью 0,03 исправный транзистор может быть признан бракованным. Какова вероятность того, что случайным образом выбранный из партии транзистор будет признанбракованным?

Событие А – случайным образом выбранный транзистор будет признан бракованным.

По поводу исправности транзистора можно выдвинуть 2 гипотезы:

Н ₁ – транзистор был неисправным;

Н ₂ – транзистор был исправным.

Так как в партии транзисторов 10% брака, то вероятности этих гипотез составляют:

Р (Н ₁) = 0,1 и Р (Н ₂) = 0,9

Контроль: 0,1 + 0,9 = 1

По условию задачи условные вероятности признания транзистора неисправным составляют:

Тогда вероятность наступления события А – случайным образом выбранный транзис-тор будет признан бракованным – вычисляется по формуле полной вероятности:

На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа из строя выйдут 2 автомата?

По локальной теореме Лапласа вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна:

Здесь: n = 1000, k = 2, р = 0,004, q = 1–0,004 = 0,996

Вычисляем величину х и по таблице находим значение функции φ (х).

Так как функция φ (х) – четная, то φ (-1) = φ (1) = 0,2420

Искомая вероятность:

В партии из 20 телевизоров, шесть - с дефектом. Купили 2 телевизора. Написать закон распределения исправных телевизоров среди купленных. Построить многоугольник распределения.

Случайная величина Х – число исправных телевизоров среди 2 купленных – может принимать значения 0, 1 и 2. Вычислим соответствующие им вероятности.

Число N всевозможных исходов – выбор 2 изделий из 20 – это число сочетаний из 20 по 2:

1) Х =0. Выбрать 2 телевизора из 6-ти неисправных можно способами. Тогда:

2) Х =1. Выбрать 1 исправный телевизор из 20–6=14 можно 14 способами; выбрать 1 неисправный телевизор из 6-ти можно 6 способами. Тогда:

3) Х =2. Выбрать 2 исправных телевизора из 14 можно способами. Тогда:

Контроль: 0,08+0,44+0,48 = 1

Закон распределения случайной величины X – числа исправных телевизоров среди 2 купленных:

Х
р_i	0,08	0,44	0,48

Многоугольник распределения строим, откладывая по оси абсцисс возможные значе-ния случайной величины Х, а по оси ординат – соответствующие им вероятности.

На миллиметровке

Случайная величина X задана плотностью распределения

Найдите параметр С и математическое ожидание.

Параметр С находим из свойства плотности распределения:

Применяем метод интегрирования по частям:

При вычислении предела применяли правило Лопиталя.

Таким образом, плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

Математическое ожидание вычисляется по формуле:

Так как все возможные значения Х принадлежат интервалу (1; ∞), то

Применяем метод интегрирования по частям:

7.18. Найти линейную среднюю квадратическую регрессию случайной величины Y на случайную величину X на основе заданного закона распределения двумерной случайной величины.

Х Y
	0,11	0,13	0,26
	0,21	0,06	0,23

Линейная средняя квадратическая регрессия Y на X имеет вид:

где m_x=M (X) – математическое ожидание Х, m_y=M (Y) – математическое ожидание Y, – среднее квадратическое отклонение X, – среднее квадрати-ческое отклонение Y, r = µ_xy / (σ _x σ _y) – коэффициент корреляции величин X и Y,