 |
Теория с примерами (кратко)
|
|
|
|
1. Однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка, в котором все 3 фактора 
ортогональны, имеет вид
. (1)
2. Ортогонализирующий коэффициент 
для ортогонализации квадратичного фактора 
рассчитывается по формуле (
– число опытов)
. для РСП (2)
3. Для расчета ортогонализирующего коэффициента , коэффициентов уравнения регрессии 
и их доверительных интервалов 
для РСП можно использовать формулы:
, (3)
. (4)
. (5)
4. Натуральные значения фактора 
заданы на отрезке 
. Взаимосвязь нормированных значений фактора Х 1 с натуральными х 1 определяется следующими формулами:
; (6)
; (7)
; (8)
, (9)
где 
– основной уровень, интервал варьирования, максимальное и минимальное натуральные значения фактора х 1, соответственно. Из уравнений (6) – (9) следует, что если 
, то 
.
5. Матрица планирования (МП) – таблица для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка, состоящая из N опытов с числом дублей n в каждом опыте, включает в себя столбцы: 
. Значения 
(значение параметра Y в j -ом опыте и в i -ом дубле) позволяют провести предварительную обработку экспериментальных данных: расчет выборочных средних 
и выборочных дисперсий 
в каждом опыте, проверку выборочных дисперсий на однородность по критерию Кохрена, расчёт дисперсии воспроизводимости 
и её числа степеней свободы 
. Число опытов должно быть больше числа коэффициентов уравнения регрессии. Число опытов 
позволяет рассчитать все 3 коэффициента однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка и обеспечивает надежную проверку уравнения регрессии на адекватность.
Для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка будем создавать МП на базе равномерного симметричного плана (РСП), в котором натуральные значения варьируются на равноотстоящих друг от друга уровнях:
|
|
|
, 
. (10)
С учётом уравнений (6) – (9) нормированные значения фактора 
на базе РСП имеют следующие значения:
, . (11)
NB! Нормированные значения фактора 
зависят только от числа опытов N и не зависят от интервала варьирования натурального значения фактора 
5.1. Предварительная обработка экспериментальных данных в МП на базе РСП для N ‑ опытов 
и n – дублей в каждом опыте 
.
5.1.1 Расчёт выборочных параметров:
‑ выборочное среднее 
в каждом опыте
, ; (12)
‑ выборочная дисперсия в каждом опыте
, . (13)
5.1.2. Проверка выборочных дисперсий на однородность по критерию Кохрена при условии, что объём всех выборок одинаковый 
:
‑ экспериментальное значение критерия Кохрена 
равно
; (14)
‑ табличное значение критерия Кохрена 
, в котором на первом месте стоит число степеней свободы 
максимальной дисперсии, а на втором ‑ число степеней свободы 
, равное числу всех дисперсий при доверительной вероятности, 
выбирается из таблицы приложения 5;
‑ выборочные дисперсии 
с вероятностью однородны, если
; (15)
‑ выборочные дисперсии неоднородны, если
. (16)
5.1.3. Если число дублей 
, то проверку случайных значений выборки на промах и на принадлежность их к нормальному закону распределения можно не производить.
5.1.4. Если все выборочные дисперсии однородны, то дисперсия воспроизводимости и ее число степеней свободы рассчитывают по формулам:
; (17)
. (18)
6. Матрица моделирования (ММ) – таблицадля построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка, состоящая из N опытов () с числом дублей n (
), включает в себя столбцы 
, 
, значения которых позволяют провести окончательную обработку экспериментальных данных: расчет коэффициентов уравнения регрессии 
и их доверительных интервалов 
, расчёт дисперсии адекватности 
и её числа степеней свободы 
, проверку уравнения регрессии на адекватность, расчет абсолютной ошибки прогнозирования изучаемого параметра. Столбец нормированного фактора 
состоит из элементов 
. Столбец нормированных значений фактора в ММ переносятся из МП.
|
|
|
6.1. Так как уравнение регрессии должно состоять только из ортогональных факторов, то прежде чем рассчитывать коэффициенты регрессии и их доверительные интервалы, необходимо убедиться в том, что факторы 
взаимно ортогональны (доказать самостоятельно при решении задачи своего варианта).
Определение: факторы ортогональны, если выполняются равенства:
. (19)
6.2. Коэффициенты однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка 
, с учётом того, что факторы ортогональны, рассчитывают по формулам:
; (20)
. (21)
. (22)
Для расчета коэффициентов , используя вспомогательные столбцы ММ 
, 
, 
, рассчитывают сумма 
, 
, 
. Суммы квадратов факторов 
, 
, 
можно получить прямым подсчетом соответствующих столбцов ММ или по формулам (3) – (5).
6.3. Проверка коэффициентов однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка на значимость. Дисперсии значимости коэффициентов однофакторного ортогонализированного уравнении регрессии второго порядка при условии, что факторы ортогональны, рассчитывают по формулам:
; (23)
. (24)
. (25)
6.4. Доверительные интервалы коэффициентов однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по критерию Стьюдента:
; (26)
; (27)
; (28)
где 
– табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы 
и доверительной вероятности выбирается из таблицы приложения 2.
6.5. Коэффициенты однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка значимы, если выполняются следующие неравенства:
; (29)
; (30)
. (31)
Регрессионный коэффициент, для которого указанное неравенство не выполняется, следует исключить из полученного уравнения регрессии.
6.6. Проверка однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка на адекватность.
Дисперсия адекватности и её число степеней свободы для однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по формулам:
|
|
|
; (32)
; (33)
; (34)
где 
– остаточная сумма квадратов; N – число опытов; n – число дублей в каждом опыте; 
() – расчётные значения параметра Y по однофакторному ортогонализированного уравнению регрессии второго порядка 
, в котором только значимые коэффициенты; В – число значимых коэффициентов однофакторного уравнения регрессии второго порядка.
Проверка однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии любого порядка на адекватность сводится к проверке дисперсий 
на однородность по критерию Фишера:
‑ экспериментальное значение критерия Фишера 
(отношение бËльшей дисперсии к мÁньшей)
; (35)
‑ табличное значение критерия Фишера 
, в котором на первом месте стоит число степени свободы 
бËльшей дисперсии, а на втором ‑ число степени свободы 
мÁньшей дисперсии, при доверительной вероятности и выбирается из таблицы приложения 4;
‑ однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии любого порядка адекватно, если
; (36)
‑ однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии любого порядка неадекватно, если
. (37)
7. Если полученное однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка адекватно, то абсолютная погрешность 
для параметра 
, рассчитанного по уравнению регрессии , равна:
, (38)
где – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности выбирается из таблицы приложения 2.
8. Параметр Y, описываемый однофакторным ортогонализированным уравнением регрессии второго порядка всегда имеет экстремум: максимум при 
, или минимум при 
. Необходимое условие максимума (минимума) – равенство нулю первой производной – 
, Продифференцировав однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка 
по фактору X 1 и приравняв к нулю первую производную , получим следующее уравнение для расчета оптимального значения фактора X 1
, (39)
откуда
. (40)
Соответствующее натуральное значение фактора 
рассчитывается по уравнению (7)
|
|
|
. (41)
Максимум (минимум) параметра 
и предельная абсолютная погрешность 
рассчитываются по уравнениям (1) и (40)
; (42)
. (43)
Типовая задача
Цель: освоить методы моделирования и оптимизации однофакторных технических систем, описываемых стохастическими закономерностями.
Формулировка задачи. Зерно, собранное комбайном, имеет влажность» 30 %. На току оно подсыхает до влажности» 20 %. Для долгосрочного хранения на элеваторе зерно должно иметь влажность 14 %. Для сушки зерна до указанной влажности используют специальные сушила, теплоносителем в которых является горячий воздух. Важнейшим параметром, характеризующим эффективность работы сушила, является удельный расход энергии (параметр Y, кВт×ч/т).При прочих равных условиях удельный расход энергии зависит от температуры теплоносителя (фактор х 1, °С). Необходимо изучить зависимость удельного расхода энергии Y от температуры теплоносителя х 1, варьируемого в интервале 
и определить оптимальный режим функционирования сушила.
Математическая формулировка задачи: 1) построить адекватное уравнение регрессии, отражающее зависимость удельного расхода энергии(Y, кВтч/т) от температуры воздуха (х 1, ° С); 2) рассчитать оптимальное значение фактора х 1(° С), при котором удельный расход энергии Y будет минимальным.
Решение задачи начнем с построения однофакторного уравнения регрессии второго порядка на базе РСП с числом опытов 
и числом дублей 
. Результаты эксперимента приведены в таблице 1.
Таблица 1. – Экспериментальные данные для РСП
| N | х 1 j, °С | Yj1, кВтч/т | Yj2, кВтч/т | Yj3, кВтч/т | Yj4, кВтч/т |
| 73,5 | 75,3 | 73,5 | 74,1 | ||
| 60,4 | 60,2 | 63,7 | 61,5 | ||
| 55,4 | 59,0 | 58,8 | 54,8 | ||
| 54,8 | 55,5 | 54,3 | 51,9 | ||
| 59,7 | 62,5 | 57,9 | 57,8 |
План решения задачи
1. Внимательно прочитать условия задачи.
2. Написать формулы взаимосвязи натуральных значений фактора х 1 с нормированными Х 1.
3. Создать МП для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка и выполнить предварительную обработку экспериментальных данных.
4. Создать ММ для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка и выполнить окончательную обработку экспериментальных данных.
5. В случае адекватности однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка провести оптимизацию изучаемого объекта: рассчитать оптимальные значения факторов 
и , значение 
, а также абсолютную ошибку 
.
6. По результатам моделирования и оптимизации изучаемой технической системы сделать вывод.
|
|
|
NB! Все промежуточные расчеты проводить с точностью не менее 4-х значащих цифр.
Решение задачи по плану
1. Пункт 1 выполнить самостоятельно.
2. Уровни и интервал варьирования фактора, а также формулы перевода натуральных x 1 в нормированные X 1 и обратно приведены в таблице 2 (см. уравнения (6) ‑ (9)).
Таблица 2. – Уровни и интервалs варьирования факторов x 1 и X 1
| Факторы | x 1, °С | X 1 |
| Верхний уровень | x 1 max = 120 | + 1 |
| Нижний уровень | x 1 min = 60 | ‑ 1 |
| Основной уровень | x 10 = 90 | |
| Интервал варьирования | D x 1 = 30 | ‑ |
| Формулы взаимосвязи натуральных значений фактора x 1 с нормированными X 1 |  ; 
|
3. Создадим МП для построения однофакторного уравнения регрессии второго порядка, которая состоит из столбцов: N, 
, 
, 
(из таблицы 1), 
, (таблица 3).
Рассчитаем нормированные значения фактора (см. уравнения (11)). Например, для 
;
для 
;
Значения факторов для 
рассчитайте самостоятельно и внесите в таблицу 3..
Таблица 3. МП для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго
порядка на базе РСП с числом опытов 
. Результаты предварительной обработки экспериментальных данных
| N | 
| 
| Yj1, кВтч/т | Yj2, кВтч/т | Yj3, кВтч/т | Yj4, кВтч/т | 
| 
|
| ‑ 1,0 | 73,5 | 75,3 | 73,5 | 74,1 | 74,10 | 0,7200 | ||
| ‑ 0,5 | 60,4 | 60,2 | 63,7 | 61,5 | 61,45 | 2,5767 | ||
| 55,4 | 59,0 | 58,8 | 54,8 | 57,00 | 4,8800 | |||
| 0,5 | 54,8 | 55,5 | 54,3 | 51,9 | 54,13 | 2,4425 | ||
| 1,0 | 59,7 | 62,5 | 57,9 | 57,8 | 59,48 | 4,8292 | ||
| 
|  , 
| 
|
3.1. Методика эксперимента. Для повышения точности эксперимента температура воздуха в сушиле поддерживалась на требуемом уровне с точностью 
. Все остальные факторы (объёмный расход, влажность воздуха и линейная скорость обдува зерна) поддерживались на фиксированных, одинаковых уровнях для всех опытов. Зерно сушилось до влажности 
. Если влажность зерна на выходе из сушила превышала 14 %, то скорость конвейерной ленты уменьшалась, если влажность зерна становилась меньше 14 %, то скорость конвейерной ленты увеличивалась. Каждые 2 ч по счетчику электроэнергии с относительной погрешностью 0,1 % определялась величина электроэнергии, затраченной на работу сушила (энергия на подогрев воздуха, энергия на работу компрессора для обдува зерна, энергия двигателя на движение конвейерной ленты). За тот же период измерялась масса высушенного зерна с относительной погрешностью 0,1 %. Параметр 
при заданной температуре теплоносителя определялся как отношение величины затраченной электроэнергии (кВт×ч) за 2 часа к массе высушенного зерна (т) за этот же период. За смену (8 ч) при заданной температуре теплоносителя параметр определялся 4 раза 
. Полностью изучение зависимости параметра от температуры теплоносителя осуществлялась в течение 5 дней (число опытов ) при температурах 60, 75, 90, 105 и 120 °С.
3.2. Проведем предварительную обработку экспериментальных данных (результаты расчета внесены в таблицу 3):
3.2.1.выборочное среднее в каждом опыте (см. уравнение (12)). Например, выборочное среднее в третьем опыте 
(
) равно
.
3.2.2. выборочная дисперсия в каждом опыте 
(см. уравнение (13)). Например, выборочная дисперсия в третьем опыте 
() равна
.
3.2.3. однородность выборочных дисперсий по критерию Кохрена:
‑ экспериментальное значение критерия Кохрена G э (см. уравнения (14))
;
‑ табличное значение критерия Кохрена при числах степеней свободы 
, 
при доверительной вероятности выбирается из таблицы приложения 5
.
Вывод: выборочные дисперсии однородны, так как 
(см. уравнение (15)).
Так какчисло дублей , то проверку случайных значений каждого опыта на промах и на принадлежность их к нормальному закону распределения проводить не будем (см. пункт 5.3).
3.2.4. Дисперсия воспроизводимости и её число степеней свободы (см. уравнения (17), (18))
;
.
4. Создадим ММ для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка на базе РСП с числом опытов (см. таблицу 3).
4.1. Создадим ММ (таблица 4) для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка . ММ содержит столбцы 
, 
(см. таблицу 3). Ортогонализирующий коэффициент 
(см. уравнение 2).
Таблица 4. – ММ для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго
порядка на базе РСП с числом опытов . Результаты окончательной обработки экспериментальных данных
| N | X 0 j | X 1 j | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| – 1,0 | 0,50 | 74,10 | 74,10 | – 74,10 | 37,05 | 73,92 | 0,0324 | ||
| – 0,5 | ‑ 0,25 | 61,45 | 61,45 | – 30,725 | ‑ 15,36 | 62,21 | 0,5776 | ||
| ‑ 0,50 | 57,00 | 57,00 | 0,00 | ‑ 28,50 | 55,87 | 1,2769 | |||
| 0,5 | ‑ 0,25 | 54,13 | 54,13 | 27,065 | ‑ 13,53 | 54,90 | 0,5929 | ||
| 1,0 | 0,50 | 59,48 | 59,48 | 59,48 | 29,74 | 59,30 | 0,0324 | ||
| 2,5 | 0,875 | 
| 306,2 | ‑ 18,28 | 9,395 | 
| ||
| 
| 61,24 | ‑ 7,312 | 10,74 |  , 
|
4.2. Проверим факторы на ортогональность (см. уравнение (19))
;
;
4.3. Рассчитаем коэффициенты однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка 
(результаты расчета внести в таблицу 4).
Образуем столбцы 
и рассчитаем их суммы:
;
;
.
Суммы квадратов 
, 
, 
рассчитаем по формулам (3) – (5).
4.4. Рассчитаем коэффициенты однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка (см. уравнения (20) ‑ (21))
;
;
.
4.5. Проверим коэффициенты однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка на значимость по критерию Стьюдента:
‑ дисперсии значимости коэффициентов регрессии 
(см. уравнения (23) – (25))
;
;
;
;
;
;
‑ доверительные интервалы коэффициентов однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка (см. уравнения (26) – (28):
;
;
.
где – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы 
и доверительной вероятности выбирается из таблицы приложения 2
;
‑ регрессионные коэффициента значимы, так как (см. уравнения (29) – (31))
;
;
Вывод: однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка, в котором все коэффициенты значимы, имеет вид
.
4.6. Проверим однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка на адекватность по критерию Фишера:
‑ расчетное значение в каждом опыте определяется по однофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка 
. Например, для
;
‑ образуем столбец 
и рассчитаем его значения. Например, для
;
‑ остаточная сумма квадратов рассчитывается по уравнению (34)
;
‑ дисперсия адекватности и её число степеней свободы (см. уравнения (32), (33))
;
;
‑ экспериментальное значение критерия Фишера F э (см. уравнение (35))
, так как 
;
‑ табличное значение критерия Фишера 
, в котором на первом месте стоит число степени свободы 
бËльшей дисперсии, а на втором ‑ число степени свободы 
мÁньшей дисперсии, при доверительной вероятности выбирается из таблицы приложения 4
.
6. Оптимизация изучаемой технической системы.
6.1. Параметр имеет минимум, так как 
:
‑ оптимальное значение фактора 
(см. уравнение (40))
.
Оптимальное значение фактора (см. уравнение (41) и данные таблицы 2))
.
‑ минимальное значение параметра Y min (см. уравнение (42)):
6.2. Абсолютная погрешность параметра , значение которого рассчитывается по однофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка 
, определим по уравнению (43)
кВт·ч/т.
С учетом полученных значений 
корректно оформим результаты расчета (раздел 1.1, п. 3):
;
;
;
7. Окончательный вывод. О днофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка со значимыми регрессионными коэффициентами 
адекватно описывает процесс сушки зерна. Минимальные энергозатраты при сушке зерна при температ
|
|
|
