 |
Основные задачи вариационного исчисления и оптимального управления.
|
|
|
|
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
_________________А.Л.Толстик
_________________
Регистрационный № __________
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
Учебная программа учреждения высшего образования
для специальности:
1-31 03 03 Прикладная математика (по направлениям)
направление специальности
1-31 03 03-01 Прикладная математика (научно-производственная
деятельность)
2017 г.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Способы задания, исследования и приближения функциональных зависимостей.
Явное и неявное задание функций. Функции, задаваемые как сумма ряда, как предел функциональной последовательности, как интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о свойствах таких функций. Их исследование методами дифференциального исчисления. Представление функций степенными рядами, рядами Фурье. Задача о наилучшем приближении в линейных нормированных пространствах. Алгебраическое интерполирование. Сплайн-приближения. Другие способы приближенного представления функций.
Последовательности и ряды, их роль в прикладной математике.
Сходимость рядов и последовательностей. Представление функций степенными рядами и рядами Фурье. Использование рядов при решении дифференциальных и интегральных уравнений. Использование рядов и последовательностей в численных методах.
Интегралы, способы их нахождения.
Определение интеграла (по Риману, по Лебегу, по Стилтьесу). Интегралы на различных множествах. Вычисление интегралов. Несобственные интегралы. Примеры использования интегралов при решении технических, физических, экономических и других задач. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами. Интерполяционные квадратурные формулы. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности. Другие способы приближенного нахождения интегралов.
|
|
|
Системы линейных и нелинейных уравнений с численными неизвестными, методы решения.
Неоднородные системы. Критерий совместности линейных систем (теорема Кронекера-Капелли). Структура общего решения однородных и неоднородных систем. Точные и приближенные методы решения систем. Примеры прямых методов. Проблема плохой обусловленности. Итерационные методы. Сходимость. Принцип сжимающих отображений. Линеаризация по Ньютону.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные типы задач для них, способы решения.
Понятие дифференциального уравнения, его порядок и решение, постановка начальных и граничных задач. Начальные и граничные задачи механики. Построение решений обыкновенных дифференциальных уравнений: интегрирование линейных стационарных уравнений и систем, элементарные дифференциальные уравнения. Существование и единственность решения задачи Коши
(теорема Пикара-Линделефа). Устойчивость и асимптотическая устойчивость решений дифференциальных уравнений. Методы численного решения начальных задач. Одношаговые и многошаговые методы, их характеристики. Проблема жесткости. Основные типы методов решения граничных задач.
Дифференциальные уравнения с частными производными, примеры корректных задач, методы решения.
Дифференциальные уравнения с частными производными и их классификация. Основные уравнения математической физики и задачи для них. Корректная постановка задач. Задача Коши. Задача Гурса. Метод Даламбера. Метод Римана. Метод последовательных приближений. Метод Фурье. Методы функционального анализа. Граничные задачи для эллиптических уравнений. Метод Грина. Смешанные задачи для параболических и гиперболических уравнений. Специальные функции математической физики. Теория потенциала. Нелинейные уравнения математической физики. Основные способы численного моделирования корректных задач математической физики. Простейшие примеры численных методов, их характеристики.
|
|
|
Интегральные уравнения, их решение.
Принцип сжимающих отображений и его применение к интегральным уравнениям Фредгольма и Вольтерра. Решение интегральных уравнений с малыми ядрами. Метод резольвент. Альтернатива Фредгольма и ее применение к решению интегральных уравнений второго рода. Интегральные уравнения с симметричными ядрами. Основные подходы к конструированию численных методов решения интегральных уравнений, примеры методов.
Теория вероятностей
Основные понятия теории вероятностей. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Сходимость последовательностей случайных величин. Характеристическая функция. Предельные теоремы.
Математическая статистика
Выборки и точечные оценки. Методы построения точечных и интервальных оценок. Проверка статистических гипотез.
Случайные процессы
Основные понятия теории случайных процессов. Процессы с независимыми приращениями. Цепи Маркова. Стационарные случайные процессы. Стохастические интегралы Ито.
Задачи линейного и нелинейного программирования, методы решения.
Постановка задачи линейного программирования в канонической форме. Базис, базисный план. Невырожденность. Потенциалы. Оценки. Критерий оптимальности. Геометрическая интерпретация симплекс-метода как основного метода решения. Двойственные задачи. Физический смысл двойственных переменных. Постановка задачи нелинейного программирования со смешанными ограничениями. Регулярные планы. Классическое правило множителей Лагранжа для регулярных задач.
Основные задачи вариационного исчисления и оптимального управления.
Понятия допустимых кривых и допустимых вариаций. Постановка основной задачи вариационного исчисления. Сильная и слабая минимали. Условия Эйлера в дифференциальной форме. Условие Лежандра-Клебша. Присоединенная задача о минимуме. Условие Якоби. Достаточные условия слабой минимали. Постановка задачи терминального управления со свободным правым концом траектории. Принцип максимума Понтрягина как необходимое условие оптимальности. Достаточность принципа максимума.
|
|
|
