Интервалы выпуклости и вогнутости функции
Возрастание и убывание функции
Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа. Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.). Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной. Рассмотрим, как можно находить интервалы возрастания или убывания функции, то есть интервалы ее монотонности. Исходя из определения монотонно убывающей и возрастающей функции, можно сформулировать теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности. Теорема 1.1. Если функция y = f(x), дифференцируемая на интервале (a,b), монотонно возрастает на этом интервале, то в любой его точке Доказательство. Пусть функция y = f(x) монотонно возрастает на (a,b), значит, для любого достаточно малого f (x-
Рис. 1.1 Рассмотрим предел
Если
В обоих случаях выражение под знаком предела положительно, значит, и предел положителен, то есть
Теорема 1.2. Если функция y = f(x), непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема во всех его внутренних точках, и, кроме того,
Доказательство. Возьмем
Но
Экстремумы функции При исследовании поведения функции особую роль играют точки, которые отделяют друг от друга интервалы монотонного возрастания от интервалов ее монотонного убывания. Определение 2.1. Точка y = f(x), если для любого, сколь угодно малого Точки минимума и максимума имеют общее название точек экстремума. У кусочно-монотонной функции таких точек конечное число на конечном интервале (рис. 2.1). Рис. 2.1 Теорема 2.1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция имеет в точке Доказательство этой теоремы следует из теоремы Ролля, в которой было показано, что в точках минимума или максимума Из теоремы 2.1 вытекает, что если функция y = f(x) имеет производную во всех точках, то она может достигать экстремума в тех точках, где Однако данное условие не является достаточным, так как существуют функции, у которых указанное условие выполняется, но экстремума нет. Например, у функции y =
Определение 2.2. Точки, в которых производная функции обращается в ноль или терпит разрыв, называются критическими точками данной функции. Следовательно, теоремы 2.1 недостаточно для определения экстремальных точек. Теорема 2.2 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция y = f(x) непрерывна на интервале (a,b), который содержит ее критическую точку Доказательство. Если производная функции меняет свой знак при переходе точки Из вышесказанного следует схема исследования функции на экстремум: 1) находят область определения функции; 2) вычисляют производную; 3) находят критические точки; 4) по изменению знака первой производной определяют их характер. Не следует путать задачу исследования функции на экстремум с задачей определения минимального и максимального значения функции на отрезке. Во втором случае необходимо найти не только экстремальные точки на отрезке, но и сравнить их со значением функции на его концах. Интервалы выпуклости и вогнутости функции Еще одной характеристикой графика функции, которую можно определять с помощью производной, является его выпуклость или вогнутость. Определение 3.1. Функция y = f(x) называется выпуклой на промежутке (a,b), если ее график расположен ниже любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке, и наоборот, называется вогнутой, если ее график окажется выше любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке. Докажем теорему, позволяющую определять интервалы выпуклости и вогнутости функции.
Теорема 3.1. Если во всех точках интервала (a,b) вторая производная функции Доказательство проведем для интервала выпуклости функции. Возьмем произвольную точку Теорема будет доказана, если будет показано, что все точки кривой на промежутке (a,b) лежат под этой касательной. Иначе говоря, необходимо доказать, что для одних и тех же значений x ординаты кривой y = f(x) меньше, чем ординаты касательной, проведенной к ней в точке
Рис. 3.1 Для определенности обозначим уравнение кривой:
или
Составим разность
Применим к разности f(x) – f(
где Применим теперь теорему Лагранжа к выражению в квадратных скобках:
Как видно из рисунка, x > Перемножая эти три множителя, получим, что Определение 3.2. Точка, отделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости, называется точкой перегиба. Из определения 3.1 следует, что в данной точке касательная пересекает кривую, то есть с одной стороны кривая расположена ниже касательной, а с другой – выше. Теорема 3.2. Если в точке y = f(x) равна нулю или не существует, а при переходе через точку Доказательство данной теоремы следует из того, что знаки Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится по той же схеме, что и исследование на экстремум.
Асимптоты функции В предыдущих пунктах были рассмотрены методы исследования поведения функции с помощью производной. Однако среди вопросов, касающихся полного исследования функции, есть и такие, которые с производной не связаны. Так, например, необходимо знать, как ведет себя функция при бесконечном удалении точки ее графика от начала координат. Такая проблема может возникнуть в двух случаях: когда аргумент функции уходит на бесконечность и когда при разрыве второго рода в конечной точке уходит на бесконечность сама функция. В обоих этих случаях может возникнуть ситуация, когда функция будет стремиться к некоторой прямой, называемой ее асимптотой. Определение. Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Различают два типа асимптот: вертикальные и наклонные. К вертикальным асимптотам относятся прямые линии x = Очевидно, что здесь удовлетворяется требование указанного определения: расстояние от графика кривой до прямой x = Наклонные асимптоты описываются общим уравнением прямой линии на плоскости, то есть y = kx+b. Значит, в отличие от вертикальных асимптот, здесь необходимо определить числа k и b. Итак, пусть кривая Согласно определению,
Но |MN| вычисляется довольно сложно, гораздо проще найти |MN|=| Из треугольника MNP следует, что |MN|=|MP|cos так как Значит,
Итак,
Но выше было сказано, что
откуда следует, что
Вынесем x в данном выражении за скобки:
Так как по условию Здесь k =
Рис. 4.1 Зная k, рассмотрим снова предел: Таким образом, найдены k и b, а с ними и уравнение наклонной асимптоты. Если k = 0, то получаем частный случай горизонтальной асимптоты
y = b. При невозможности найти хотя бы один предел (при вычислении k или b) делается вывод, что наклонной асимптоты нет. Аналогично проводится исследование и при x
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|