Сборник примеров и задач по метрологии

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА В г. ТАГАНРОГЕ

Кафедра автоматизированных систем научных исследований и экспериментов

 

 

Сборник примеров и задач по метрологии

 

 

Таганрог 2007 г.

Введение

Данное учебное пособие содержит краткие теоретические сведения по основным разделам метрологии: международная система единиц, погрешности результатов и средств измерений, случайные погрешности и обработка результатов измерения, оценка погрешности косвенных измерений, методы нормирования погрешностей средств измерений. Приводятся основные определения и формулы, необходимые для решения задач. Типовые задачи снабжены пояснениями и развернутыми решениями; остальные задачи снабжены ответами для контроля правильности решения. Все физические величины задаются в международной системе единиц (СИ).

При решении задач необходимо выписывать формулы в буквенном выражении, подставлять в них числовые значения и после вычислений привести окончательный результат с указанием погрешности и единиц измерения.

Учебное пособие предназначено для проведения практических занятий по курсу «Метрология» и других дисциплин, содержащих разделы метрологического обеспечения.

1. Международная система единиц (СИ)

1.1. Основные сведения

С 1 января 1982 года в нашей стране введен в действие ГОСТ 8.417-81 «ГСИ. Единицы физических величин», в соответствии с которым осуществлен переход на Международную систему единиц (СИ) во всех областях науки, техники, народного хозяйства, а также в учебном процессе во всех учебных заведениях.

Международная система СИ содержит семь основных единиц для измерения следующих величин:

- длинна: метр (м),

- масса: килограмм (кг),

- время: секунда (с),

- сила электрического тока: ампер (А),

- термодинамическая температура: кельвин (К),

- сила света: кандела (кд),

- количество вещества: моль (моль).

Производные единицы системы СИ (в количестве более 130) образуются с помощью простейших уравнений между величинами (определяющих уравнений), в которых числовые коэффициенты равны единице. Наряду с основными и производными единицами система СИ допускает использование десятичных кратных и дольных единиц, образованных умножением исходных единиц СИ на число 10ⁿ, где n может быть положительным или отрицательным целым числом.

1.2. Задачи и примеры

1.2.1. Как выразится единица электрического напряжения (вольт, В) через основные единицы системы СИ? [9]

Решение. Воспользуемся следующим уравнением для напряжения , где Р – мощность, выделяющаяся на участке цепи при протекании в ней тока I. Следовательно, 1 В – это электрическое напряжение, вызывающее в электрической цепи постоянный ток силой в 1 А при мощности в 1 Вт. Дальнейшие преобразования:

Таким образом получим соотношение, в котором все величины выражаются через основные единицы системы СИ. Следовательно, .

1.2.2. Как выражается единица электрической емкости (фарад, Ф) через основные единицы системы СИ?

Ответ:

1.2.3. Как выражается единица электрической проводимости (сименс, См) через основные единицы системы СИ?

Ответ:

1.2.4. Как выражается единица измерения удельного электрического сопротивления () через основные единицы системы СИ?

Ответ:

1.2.5. Как выражается единица измерения электрической индуктивности (генри, Гн) через основные единицы системы СИ?

Ответ:

1.2.6. Как выражается единица магнитной индукции (тесла, Тл) через основные единицы системы СИ?

Ответ: 1Тл = 1кг

1.2.7. Размерность физической величины Х записана в виде формулы размерности через прописные буквы L, M, T, I согласно международного стандарта [10]. Запишите выражение единиц этой величины через основные единицы системы СИ, укажите ее наименование и физическую величину, которая в ней измеряется.

Решение. При решении этой задачи удобно перейти от обозначений размерности к обозначениям физических величин в виде: длина. l, масса , время . Тогда .

Следовательно, данная физическая величина является давлением, единица измерения которой паскаль (Па).

1.2.8. Решите задачу, аналогичную 1.2.7., если .

Ответ: работа, энергия, джоуль (Дж).

1.2.9. Решите задачу, аналогичную 1.2.7., если .

Ответ: электрическое сопротивление, Ом.

1.2.10. 1.2.9. Решите задачу, аналогичную 1.2.7., если .

Ответ: магнитный поток, вебер (Вб).

1.2.11. 1.2.9. Решите задачу, аналогичную 1.2.7., если

Ответ: напряженность электрического поля, вольт на метр (В/м).

1.2.12. Заданные физические величины, выраженные во внесистемных единицах, запишите через основные единицы системы СИ: 16 суток, 5 угловых градусов, 20 С, 212 F (Фаренгейта).

Ответ: 1382400 с; 0,087 рад; 293,15 К; 373 К.

2. Виды измерений

2.1. Основные сведения

По способу получения числового значения измеряемой величины все измерения делят на прямые, косвенные, совокупные и совместные. [3]

Прямым называют измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных.

Косвенным измерением называют измерение, результат которого определяют на основании прямых измерений величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью.

Совокупными называют измерения, при которых проводятся одновременно измерения нескольких одноименных величин с определением искомой величины путем решения системы уравнений.

Совместными называют измерения, при которых одновременно проводятся измерения не одноименных физических величин с целью нахождения зависимости между ними.

2.2. Задачи и примеры

2.2.1. Отрезок проволоки длиной l = 1м и диаметром d = 0,1мм имеет электрическое сопротивление R = 51 Ом. Из какого материала сделана проволока и к какому виду относятся эти измерения?

Решение. Сопротивление отрезка проволоки определяется соотношением , где - удельное электрическое сопротивление (постоянная для данного материала величина), l – длина проволоки, S – площадь поперечного сечения. Следовательно, для идентификации материала можно использовать значение его удельного сопротивления.

Определим площадь поперечного сечения:

Тогда удельное сопротивление будет равно:

.

Материал с таким значением удельного электрического сопротивления является манганин. Исходные параметры отрезка проволоки были измерены с помощью прямых измерений, а неизвестная величина – с помощью известной функциональной зависимости. Следовательно, в этом случае применялся косвенный вид измерений.

2.2.2. Для идентификации материала, из которого сделан цилиндр, штангенциркулем измерим его диаметр d = 1 см и высоту h = 5 см. Из какого материала сделан цилиндр, если его масса, определенная взвешиванием, оказалась равной m = 0,0349 кг? К какому виду относятся эти измерения?

Ответ: , медь.

2.2.3. Для определения коэффициента взаимоиндуктивности М двух катушек была измерена индуктивность при согласном L c=25мГн и встречном включении L в = 1 мГн катушек. Чему равен коэффициент взаимоиндуктивности и к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: М = 6 мГн.

2.2.4. Для определения сопротивления обмоток электродвигателя, включенных звездой (рис. 2.1), были измерены сопротивления между зажимами обмоток .

Рис. 2.1

Чему равны сопротивления обмоток и к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: .

2.2.5. Для определения емкостей конденсаторов С₁ и С₂ они были включены последовательно, потом – параллельно. При последовательном включении был получен результат С_пос = 2 мкФ, при параллельном – С_пар = 8 мкФ. Чему равны емкости конденсаторов С₁ и С₂ и к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: С₁ = С₂ = 4 мкФ.

2.2.6. Для определения сопротивления R₁ и R₂ измерили сопротивление при их последовательном R_пос = 10 кОм и при параллельном R_пар = 2,5 кОм включении. Чему равны сопротивления R₁ и R₂ и к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: R₁ = R₂ = 5 кОм.

2.2.7. При нагревании сопротивление металлического резистора определяется соотношением , где R ₀ – сопротивление при , - температурный коэффициент сопротивления. Сопротивление резистора было измерено при двух температурах: - и получены значения сопротивлений резистора Ом, Ом. Определите параметры резистора R ₀ и , установите материал, из которого изготовлен резистор, и укажите, к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: R ₀ = 50 Ом; ; медь.

2.2.8. ТермоЭДС, возникающая в спае медь-свинец, определяется соотношением: , где - температура нагретого спая (свободные концы находятся при температуре С). Для определения коэффициентов А и В были измерены термоЭДС при двух температурах: С и С, - и получены значения е₁ = 57,6 мкВ, е₂ = 336 мкВ. Чему равны коэффициенты А и В и к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: А = 2,76 мкв/ С; В = мкВ/ С²

2.2.9. Решите задачу, аналогичную 2.2.8. при следующих условиях: спай – цинк-свинец, е₁ = 29,5 мкВ при С и е₂ = 180 мкВ при С.

Ответ: А = 3,05 мкв/ С; В = -0,01 мкВ/ С².

2.2.10. При нагревании сопротивление термистора изменяется по закону , где А и В – постоянные коэффициенты, Т – абсолютная температура, К. Было измерено сопротивление термистора: при температуре С R ₁ = 5 кОм и при температуре С R ₂ = 0,676 кОм. Определите параметры термистора А и В и на основании их установить его тип. К какому виду относятся эти изменения?

Ответ: А = 293 мкОм; В = 4880 К; КМТ – 8.

2.2.11. Решите задачу, аналогичную 2.2.10. при значениях R ₁ = 100 Ом при С, R ₂ = 11,2 Ом при С.

Ответ: А = 3,69 мОм; В = 2991 К; ММТ-9.

3. Погрешность измерений

3.1. Основные сведения

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины (МИ 2247-93). Погрешности измерений определяются, главным образом, погрешностями средств измерений (СрИз), но это понятия не идентичные [2].

По месту возникновения различают инструментальные погрешности и методические. Инструментальными погрешностями СрИз называют такие, которые принадлежат данному средству измерений и возникают вследствие недостаточно высокого качества его элементов. Методические погрешности связаны не с самим средством измерений, а с методом проведения измерений. Причинами появления методических погрешностей являются также неточности соотношений, используемых для нахождения оценки измеряемой величины [3].

Статические и динамические погрешности, присущие как средствам, так и методам измерений, различают по их зависимости от скорости изменения измеряемой величины во времени. Погрешности, не зависящие от этой скорости, называются статическими. Погрешности же отсутствующие, когда эта скорость близка к нулю, и возрастающие при ее отклонении от нуля, называются динамическими. Динамической погрешностью средства измерения является разность между погрешностью средства измерения в динамических условиях и его статической погрешностью, соответствующей значению величины в данный момент времени.

В зависимости от характера изменения, возможностей устранения и причин возникновения различают систематические, прогрессивные и случайные погрешности.

Систематическими называют погрешности измерений, остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при повторных измерениях одной и той же величины.

Прогрессивными называются погрешности, медленно изменяющиеся во времени.

Случайными называются погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. При этом процесс появления случайных погрешностей средств и результатов измерений за вычетом систематических и прогрессивных погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс.

В зависимости от формы выражения различают абсолютную и относительную погрешности измерений.

Абсолютной погрешностью () называют разность между измеренным и истинным (действительным) значением измеряемой величины.

, (3.1)

где Х – результат измерения;

Х _ист – истинное значение измеряемой величины;

Х _Д – действительное значение измеряемой величины.

Относительная погрешность измерения () представляет собой отношение абсолютной погрешности измерения к истинному (действительному) значению измеряемой величины и выражается в процентах или долях измеряемой величины.

(3.2)

3.2. Задачи и примеры

3.2.1. Для измерения ЭДС Е = 2,5 В источника с внутренним сопротивлением R ₀ = 10 Ом использован вольтметр с внутренним сопротивлением R _v = 1000 Ом. Определите абсолютную и относительную погрешности метода измерения.

Рис. 3.1

Решение. Показания вольтметра, согласно рис. 3.1, равны . Следовательно, при этом возникает методическая погрешность, абсолютное значение которой согласно формуле (3.1) равно:

Относительная погрешность метода из формулы (3.2):

3.2.2. Определите относительную погрешность метода измерения ЭДС датчика рН-метра электронным вольтметром постоянного тока с входным сопротивлением R _V = 10 Мом. Датчик представляет собой генератор ЭДС с внутренним сопротивлением R ₀= 2 МОм.

Ответ: .

3.2.3. Электрическая цепь состоит из последовательного включенных источника ЭДС Е = 100 мВ и резистора с сопротивлением R = 100 Ом. Для измерения тока в цепь включены миллиамперметр с внутренним сопротивлением R _A = 7,5 Ом. Определите относительную и абсолютную погрешности метода измерения, вызванную включением миллиамперметра. Нарисуйте схему измерения.

Ответ: мА; .

3.2.4. При косвенном измерении сопротивления R_x постоянному току (рис. 3.2) получены показания амперметра I _А = 130,4 мА и вольтметра U _V = 52,3 В. Определите относительную и абсолютную погрешности метода,

Рис. 3.2 Рис. 3.3

если вольтметр имеет входное сопротивление R _V = 10 кОм.

Ответ: ; Ом.

3.2.5. При косвенном измерении сопротивления постоянному току R_x (рис. 3.3) показания амперметра и вольтметра соответственно равны I_А = 345 мА, U_v = 5,45 В. Определите абсолютную и относительную погрешности метода, если амперметр имеет сопротивление R_A = 0,35 Ом.

Ответ: ; Ом.

3.2.6. При косвенном измерении мощности P _x, потребляемой нагрузкой R _x на постоянном токе, используется схема рис. 3.2. Показания приборов, полученные при измерении: U _V = 34,5 В, I _A = 210 мА. Определите абсолютную и относительную погрешности метода, если сопротивления приборов соответственно равны: вольтметра R _V= 4000 Ом, амперметра R _A = 2,5 Ом.

Решение. Приближенное значение потребляемой мощности будет равно

Вт

Этот результат будет содержать методическую погрешность, вызванную потреблением мощности вольтметром, абсолютное значение которой будет равно

, где

Следовательно,

Вт.

Относительное значение методической погрешности будет равно

.

3.2.7. Решите задачу, аналогичную 3.2.6. при условии, что для измерения используется схема рис. 3.3.

Ответ: ; Вт.

3.2.8. Необходимо измерить сопротивление R_Х = 10 Ом с помощью вольтметра с сопротивлением R _V = 100 Ом и амперметра с сопротивлением R _A = 1 Ом. Какую схему (рис. 3.2, рис. 3.3) нужно выбрать, чтобы получить меньшую погрешность метода?

Ответ: схему рис. 3.2.

3.2.9. Сопротивление R измеряется косвенным методом с помощью ваттметра и вольтметра в соответствии с зависимостью (рис. 3.4).

Рис. 3.4 Рис. 3.5

Определите погрешность метода и исключите ее, если показание вольтметра P _w = 100 Вт, вольтметра U _v = 150 В, входное сопротивление вольтметра R _v = 2000 Ом. Сопротивление токовой катушки вольтметра , катушки напряжения .

Ответ: ; Ом; R_x = 250 Ом.

3.2.10. Сопротивление R измеряется косвенным методом с помощью вольтметра и амперметра (рис. 3.5) в соответствии с зависимостью . Определите погрешность метода и исключите ее, если показание вольтметра P_W = 100 Вт, амперметра I _A = 1 A, сопротивление амперметра R _A = 1 Ом. Сопротивление токовой катушки вольтметра , катушки напряжения .

Ответ: ; Ом; R_x = 99 Ом

3.2.11. Измерительный преобразователь представляет собой апериодическое звено. Какую он должен иметь постоянную времени Т, чтобы через время установления t _уст = 2,3 с относительное значение динамической погрешности было не более ?

Ответ: Т = 1 с.

3.2.12. После включения измерительного генератора гармонических колебаний в сеть, частота его колебаний измеряется по закону , где кГц – номинальное значение частоты генератора, считываемое с его шкалы; кГц – значение частоты в момент включения; Т = 5 мин – тепловая постоянная времени. Определите необходимое время прогрева, если допустимая погрешность установки частоты .

Ответ: мин

4. Случайные погрешности и обработка результатов измерений

4.1. Основные сведения

4.1.1. При выполнении измерений случайные и систематические погрешности появляются одновременно, поэтому погрешность измерения следует рассматривать как случайную величину, где систематическая погрешность есть математическое ожидание этой величины, а случайная погрешность - центрированная случайная величина [1].

4.1.2. Полным описанием случайных погрешностей являются законы их распределения: интегральный и дифференциальный , связь между которыми имеет следующий вид:

и

4.1.3. Числовые характеристики (моменты) закона распределения – это математическое ожидание M [ ] и дисперсия D [ ], которые определяются по формулам:

, (4.1)

(4.2)

Средняя квадратическая погрешность определяется по формуле

(4.3)

Вероятность попадания погрешности в интервал () определяется по формулам

(4.4)

4.1.4. На практике наиболее часто встречаются следующие законы распределения: закон равномерной плотности, треугольный закон, нормальный закон и распределение Стьюдента.

Закон равномерной плотности имеет следующие числовые характеристики:

(4.5)

Числовые характеристики треугольного закона распределения:

(4.6)

В формулах (4.5), (4.6) и - границы закона распределения.

Нормальный закон распределения описывается формулой (4.7).

(4.7)

Для практического применения нормального закона необходимо принять какое-то значение измеряемой величин за истинное. В качестве такого значения принимается среднее арифметическое значение ряда измерений величины Х, полученное из формулы

, (4.8)

где - среднее арифметическое ряда измерений (математическое ожидание), X_i – i -й результат измеряемой величины из ряда (выборки) X ₁, X ₂,…, X_n, n – число измерений в ряде (объем выборки).

Тогда средняя квадратическая погрешность (СКП) измерения определяется формулой Бесселя

, (4.9)

где - остаточная погршеность.

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического

(4.10)

Оценки , , называются точечными.

На практике обычно используются интервальные оценки в виде доверительной вероятности и доверительных границ погрешности (доверительного интервала). Для нормального закона доверительная вероятность P(t) определяется с помощью интеграла вероятности Ф(t) (4.11) (функция табулизирована)

, (4.11)

где - кратность случайной погрешности, - доверительный интервал.

Зная доверительные границы и , можно определить доверительную вероятность

(4.12)

Если доверительные границы и симметричны, т.е. , то и .

(4.13)

При малом числе измерений в ряде () используется распределение Стьюдента.

Плотность вероятности зависит от значения случайной погрешности и числа измерений в ряде n, т.е. . Доверительные границы Е в этом случае определяются

, (4.14)

где - коэффициент Стьюдента (определяется из таблицы III приложения).

Доверительная граница и доверительная вероятность также зависит от числа измерений.

4.1.5. При статистической обработке результатов наблюдений выполняются следующие операции.

1. Исключение систематических погрешностей, введение поправок.

2. Вычисление среднего арифметического исправленных результатов наблюдений, которое принимается за оценку истинного значения измеряемой величины (формула 4.8).

3. Вычисление оценки СКП измерений () и среднего арифметического измерения () (формулы 4.9, 4.10).

4. Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов наблюдений.

5. Вычисление доверительных границ случайной погрешности результата измерения при доверительной вероятности 0,95 или 0,99 (формула 4.14).

6. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерений.

7. Вычисление доверительных границ погрешности результата измерения.

8. Запись результата измерений.

4.1.6. Проверка гипотезы о нормальности распределения осуществляется по критерию (Пирсона) или (Мизеса-Смирнова), если ; по составному критерию, если . При нормальность распределения не проверяется.

Если результаты наблюдений распределены нормально, то определяется наличие промахов. В таблице IV приложения указаны предельные значения коэффициента для различных значений теоретической вероятности появления большой ошибки, которую обычно называют уровнем значимости , при определенном объеме выборки. Процедура обнаружения промахов заключается в следующем. Строится вариационный ряд из результатов наблюдений . Определяется среднее арифметическое выборки () и СКП выборки (). Затем вычисляют коэффициенты

(4.15)

Полученные значения и сравнивают с для заданного уровня значимости q при заданном объеме выборки. Если или , то данный результат является промахом и должен быть отброшен.

4.1.7. Проверка согласия экспериментального распределения нормальному с помощью составного критерия осуществляется следующим образом. Выбирается уровень значимости q в пределах от 0,02 до 0,1.

Критерий 1. Производится сравнение вычисляемой по опытным данным величины d с теоретическими точками распределения и (приведены в таблице V приложения) и соответствующие нормальному закону распределения при заданном уровне значимости q ₁ критерия 1.

Вычисление величины d производится по формуле

, (4.16)

где

Гипотеза о принадлежности данного ряда результатов наблюдений к нормальному закону распределений верна, если вычисленная величина d лежит в пределах

(4.17)

Критерий 2. Оценка по критерию 2 заключается в определении числа отклонений m_э экспериментальных значений t_эi от теоретического значения t _т для заданного уровня значимости q ₂. Для этого при заданных q ₂ и n находится параметр по данным из таблицы VI приложения.

Далее находится квантиль интегральной функции нормированного нормального распределения , которая определяется из таблицы II приложения для значения . Затем вычисляются экспериментальные значения

параметра по формуле (4.18)

Вычисленное значение сравнивается с теоретическим значением и подсчитывается число отклонений , для которых удовлетворяется неравенство . Значение сравнивается с теоретическим числом отклонений , которое находится из таблицы VI приложения. Если , то распределение данного ряда наблюдений не противоречит нормальному.

Если соблюдаются оба критерия, то данный ряд подчиняется нормальному распределению. При этом уровень значимости составного критерия принимается равным .

4.1.8. Определение границ неисключенной систематической погрешности осуществляется по формуле [8]

, (4.19)

где - граница i -й неисключенной систематической погрешности; - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью; при Р = 0,95 = 1,1.

В качестве границ неисключенной систематической погрешности можно принимать пределы допускаемых основной и дополнительной погрешностей средств измерений.

4.1.9. При вычислении доверительной границы погрешности результата определяют отношение . Если , то пренебрегают случайной погрешностью и принимают, что . Если , то границу погрешности находят путем суммирования случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины:

,

где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешности;

- оценка СКП среднего арифметического.

, (4.20)

Границы случайной и систематической погрешностей нужно выбирать при одной и той же доверительной вероятности.

4.1.10. Результат измерения записывается в виде .

4.2. Задачи и примеры

4.2.1. Погрешность результата измерения напряжения распределена равномерно в интервале от В до В.

Рис. 4.1

Найдите систематическую погрешность результата измерения, среднюю квадратическую погрешность и вероятность того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от В до В (рис. 4.1).

Решение. Систематическая погрешность равна математическому ожиданию, которое для равномерного закона распределения определяется формулами (4.1, 4.5).

В.

Средняя квадратическая погрешность определяется формулами (4.2, 4.3, 4.5).

В.

Вероятность попадания погрешности в заданный интервал определяется из соотношения (4.4).

,

где - высота закона распределений.

Следовательно, .

4.2.2. Погрешность результата измерения тока распределена равномерно с параметрами мА, мА. Определите границы интервала погрешности и (рис. 4.1).

Ответ: