Б. Параболическая аппроксимация.
РЕГРИССИОННЫЙ АНАЛИЗ (АППРОКСИМАЦИЯ РАЗЛИЧНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ)
Одной из областей практического приложения статистических методов расчета является аппроксимация различных зависимостей, задаваемых числами. Обычно с этой целью график искомой зависимости y=f (х) строят в линейном, логарифмическом или ином масштабе, что по его виду позволяет оценить закон изменения величины у (х). Такой процесс трудоемок, а главное, не обеспечивает предельно высокой точности аппроксимации. Согласно известному методу наименьших квадратов условие максимальной приближенности реальной зависимости Y = f (X), заданной числами, к аппроксимирующей ее функции, заданной аналитически, совпадает с условием минимума суммы квадратов погрешностей для всех дискретных значений уп = f (xn). Формулы, позволяющие найти параметры аппроксимирующей зависимости по ряду ее приближенных дискретных значений Yп =f(Xn) полученные на основе метода наименьших квадратов, даны в математической литературе. Рассмотрим реализацию таких расчетов в электронных таблицах при любом числе дискретных значений хп и уп. А. Линейная аппроксимация. Пусть дано N пар точек хп, уп, приближенно представляющих линейную зависимость у = b0 + b1X, (1) где bо — отрезок, отсекаемый прямой у = f (х) на оси у; b1 — угловой коэффициент этой прямой. Тогда bо и b1 определяются следующим образом – Рис. 1. К линейной регрессии в облаке точек Xi, Yi плоскости х-у (рис. 5.4) требуется провести прямую так, чтобы величина всех отклонений отвечала условию
где Y(Xi) – зависимость (1). Для этого нужно приравнять к нулю частные производные:
что дает для определения неизвестных коэффициентов b0 и b1 систему линейных уравнений. Решение этой системы дает искомые коэффициенты аппроксимации:
Рассмотрим практический пример. Пусть преобразователь напряжения U в частоту F имеет зависимость F (U), заданную значениями: Тогд а в соответствии с формулами (2) следует рассчитать следующие суммы: Расчет дает bо = 4,75 кГц; b1= 0,395 кГц/В Следовательно, аппроксимирующая прямая выражается формулой: F= 4,75 + 0,395U, где F в килогерцах, U- в вольтах. Используя суммы, легко можно подсчитать коэффициент парной корреляции R или среднеквадратичной погрешности: N N N σ= [Σ Yi2 – b1*ΣYi –b0*Σ(Xi*Yi)]/N (3) i=1 i= i=1
Б. Параболическая аппроксимация. Пусть между X и Y существует нелинейная зависимость в виде параболы: Yр = a*X2 +b*X +c. (4) В этом случае для нахождения коэффициентов a, b и c (аналитической формулы зависимости Yi от Xi), необходимо решить довольно громоздкую систему линейных алгебраических уравнений:
(5)
Система уравнений (5) является следствием применения метода наименьших квадратов для расчета коэффициентов аппроксимации. Работу следует выполнять в следующем порядке: ■ Рассчитать таблицу для получения коэффициентов и правых частей системы линейных уравнений (4), позволяющей найти коэффициенты параболы а, b, с аппроксимирующей зависимость Yi от Хi. ■ Записать матрицы коэффициентов и правых частей. Коэффициенты при неизвестных а, b, с и правые части это различные суммы (например, сумма всех Хi или Xi*Yi). Они берутся из строки «Сумма», а коэффициент «n» -это количество точек в таблице задающей зависимость Yiот Xi. Найти формулу для Yp, отыскав коэффициенты параболы, путём решения системы линейных уравнений методом «Обратной матрицы», предполагающего получение обратной матрицы и вычесления её произведения с правой частью системы уравнений (4). · Заполнить таблицу, включающую в себя графы: X, Y, Yp, взяв X и Y из задания, и рассчитав Yp для каждого X по полученной формуле.
· Создать диаграмму точечного типа, содержащую график «Экспериментальные точки» с зависимостью Y от X в виде точек и график «Расчётные значения» с зависимостью Yp от X в виде линий без маркеров. Вариант выполнения задания приведен на рис.2.
Рис.2.
Дополнительная информация по работе с матрицами: Наиболее распространёнными функциями, позволяющими работать с матрицами являются:
Массив - это числовой массив с равным количеством строк и столбцов. Массив может быть задан как диапазон ячеек, например, А1:СЗ; как массив констант, например, {1;2;3: 4;5;6: 7;8;9} или как имя диапазона или массива. При использовании массива констант для разделения чисел в строке используется «;» а для разделения строк «:». Если какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст, а также если массив имеет неравное число строк и столбцов, то функция МОБР возвращает ошибку #ЗНАЧ!. В качестве примера того, как вычисляется обратная матрица, рассмотрим, приведённый на рис.3 массив из трёх строк и трёх столбцов А2:С4, который содержит коэффициенты при неизвестных системы линейных уравнений (исходная матрица). После выделения области для ответа -А6:С8 и выполнения команды: МОБР(А2:С4) в ней появляется матрица обратная исходной.
Результатом является массив с таким же числом строк, как массив 1, и с таким же числом столбцов, как массив 2. Массив1, массив2 - это перемножаемые массивы. Количество столбцов аргумента массив 1 должно быть таким же, как количество сток аргумента массив 2, и оба массива должны содержать только числа. Массив 1 и массив2 могут быть заданы как интервалы, массивы констант или ссылки. Если хотя бы одна ячейка в аргументах пуста или содержит текст, или если число столбцов в аргументе массив 1 отличается от числа строк в аргументе массив2, то функция МУМНОЖ возвращает ошибку #ЗНАЧ!. Например, произведение двух двумерных массивов приводит к образованию такого же двумерного массива, т.е. МУМН0Ж({1; 3: 7; 2}; {2; 0: 0; 2}) равняется {2; 6: 14; 4}, а при умножении двумерного на одномерный получается одномерный массив МУМНОЖ({3; 0: 2; 1}; (2:1}) равняется {6; 5}. А в случае МУМН0Ж({1: 3; 0: 7; 2; 0: 1; 0; 0}; {2; 0: 0; 2}) вместо ответа появляется сообщение об ошибке #ЗНАЧ!, поскольку первый массив имеет три столбца, а второй массив имеет только две строки.
Чаще всего приведённые две функции используются для решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными методом «Обратной матрицы». Причём сначала вычисляется матрица, обратная матрице коэффициентов при неизвестных, а затем она умножается на матрицу правых частей системы. Результатом этого умножения является матрица значений неизвестных.
На рис.3 приведена система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными и её решение методом обратной матрицы. Для этого сначала в ячейки А2:С4 были введены значения коэффициентов при неизвестных, а в ячейки Е2:Е4 правые части уравнения. Затем найдена обратная матрица, для этого выделена область для ответа - ячейки А6:С8 и выполнена команда МОБР(А2:С4). Полученную обратную матрицу умножают на матрицу правых частей, предварительно выделив область для ответа - ячейки Е6:Е8. В верхней части рис.3 изображена "панель функций", на которой отображена функция МУМНОЖ с введёнными значениями аргументов, следует заметить, что для получения правильного ответа в поле «Массив 1» записывается адрес обратной матрицы, а в поле «Массив2» - адрес матрицы правых частей. Теперь для получения ответа нужно одновременно нажать на три клавиши “Ctrl+Shift+Enter”. Таким образом создастся и выполнится команда МУМНОЖ(A6:C8;E2:E4).
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|