Формула полной вероятности.
Раздел 18.4. Условные вероятности. Независимость событий Независимые события. Теоремы о сложении и умножении вероятностей Формула полной вероятности Формула Байеса Вопросы для самоконтроля
Литература А.Н. Кричивец, Е.В. Шикин, А.Г.Дьячков «Математика для психологов» Часть III, пп.1-2 А.Н.Бородин Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики» Часть I, пп.1-7 А.В.Дорофеева «Высшая математика. Гуманитарные специальности» Глава 13, пп. 13.1-13.5 Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей» глава 1 Г.Секкей «Парадоксы теории вероятностей», Гл.1 В.Феллер «Введение в теорию вероятностей и ее применение» т.1, Ведение, глава I
Формулы сложения вероятностей. Из пункта 2 приведенной аксиомы следует, что если A 1 и A2 несовместные события, то P (A 1U A 2) = P (A 1) + P (A 2) Если A 1 и A 2 — совместные события, то A 1U A 2 =(A 1\ A 2)U A 2, причем очевидно, что A 1\ A 2 и A 2 — несовместные события. Отсюда следует: P (A 1U A 2) = P (A1\ A 2) + P (A2) (*) Далее очевидно: A1 = (A1\ A 2)U(A 1∩ A 2), причем A1\ A 2 и A 1∩ A 2- несовместные события, откуда следует: P (A 1) = P (A1\ A 2) + P (A 1∩ A 2) Найдем из этой формулы выражение для P (A1\ A 2) и подставим его в правую часть формулы (*). В результате получим формулу сложения вероятностей:
P (A 1U A 2) = P (A 1) + P (A 2) – P (A 1∩ A 2) Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив A 1∩ A 2= Æ. Пример 18.4.1. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй - 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор? Решение. События А " попадание в первый сектор" и В - "попадание во второй сектор" несовместны (попадание в один сектор исключает попадание во второй), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий. В соответствии с этой теоремой находим искомую вероятность: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,4 + 0,3 = 0,7.
Пример 18.4.2. Найти вероятность вытащить даму или пиковую масть при случайном отборе одной карты из колоды в 32 листа. Р (дама) = 4/32 = 1/8; Р (пиковая масть) = 8/32 = 1/4; Р (пиковая дама) = 1/32; Р ((дама) U (пиковая масть)) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/32 Тот же результат можно получить, пересчитав число благоприятных исходов с помощью классического определения вероятности
Пример 18.4.3. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго - 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен? Решение. Введем обозначения: события А. - "попадание первого спортсмена", В - "попадание второго спортсмена", С - "попадание хотя бы одного из спортсменов". Очевидно, А + В = С, причем события А и В совместны. В соответствии с общей формулой сложения вероятностей получаем Р(С) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ), а поскольку А и В независимы Р(С) = Р(А)+ Р(В)-Р(А)Р(В),
Подставив данные значения Р(А) = 0,85, Р(В) = 0,8 в формулу для Р(С), найдем искомую вероятность Р(С) = (0,85 + 0,8) - 0,85·0,8 = 0,97.
Условные вероятности. Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет? Определим пространство элементарных исходов: W={1,2,3,...,28,29,30}. Пусть событие А заключается в том, чтостудент вытащил выученный билет: А = {1,...,5,25,...,30,}, а событие В — в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В = {1,2,3,...,20} Событие А ∩ В состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 - это вероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р (А / В); другой вариант обозначения Р(А|В)). Таким образом решение задачи определяется формулой P (А ∩ В) = Р (А / В) Р (B) Эта формула называется формулой умножения вероятностей, а вероятность Р (А / В) — условной вероятностью события A.
Итак, определение 18.4.1.. Вероятность события А, при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью и обозначается Р(А|В). Определим условные вероятности Р(А|В) для схемы, когда все исходы равновозможны. Событие В произошло, поэтому мы можем рассматривать только те исходы, которые составляют В. Соответственно, у нас образуется новое пространство элементарных событий Ω*, совпадающее с событием (множеством) В. Нас интересуют те исходы, которые входят и в А и в В, и образуют область А ∩ В. Теперь рассмотрим условную вероятность А|В с точки зрения классического определения. Р(А|В) равна отношению числа исходов в области А∩В к общему числу исходов в новом пространстве элементарных событий Ω*, то есть отношению
Р(А | В) =
Замечание 18.4.1.. Таким образом, условная вероятность – это «обычная» вероятность, но определенная на суженном пространстве элементарных событий. В силу этого для нее сохраняются все свойства ранее определенной вероятности.
Замечание 18.4.2.. Отсюда следует теорема Умножения вероятностей, согласно которой Р(А∩В) = Р(А|В) × Р(В)
Пример.18.4.1 Из шляпы, в которой сидят 7 белых и 3 черных кроликов, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) двух кроликов. Какова вероятность того, что первый зверь будет белым, а второй черным? Пусть X — событие, состоящее в извлечении первым белого кролика, а Y — событие, состоящее в извлечении вторым черного кролика. Тогда X ∩ Y - событие, заключающееся в том, что первый кролик будет белым, а второй — черным. P (Y / X) =3/9 =1/3 — условная вероятность извлечения вторым черного кролика, если первым был извлечен белый (после излечения первым белого кролика в шляпе осталось 9 кроликов – новое Ω*, из которых белых – теперь 6, а черных по-прежнему 3).Учитывая, что P (X) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P (X ∩ Y) = 7/30 Определение 18.4.2. События А и В называются независимыми, если Р (А / В)= Р (А). Иначе говоря, то, что событие В имело место никак не повлияло на вероятность события А Замечание 18.4.3. За определение независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения P (А ∩ В) = Р (А) Р (B) Пример 18.4.2. Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущей, но с одним дополнительным условием: вытащив первого кролика, запоминаем его цвет и возвращаем зверя в шляпу, после чего даем кроликам поперемещаться. В данном случае результат второго извлечения никак не зависит от того, какой кролик - черный или белый появился при первом извлечении. Вероятность появления первым белого кролика (событие А) равна 7/10. Вероятность события В - появления вторым черного кроля - равна 3/10. Теперь формула умножения вероятностей дает: P (А ∩ В) = 21/100. Извлечение шаров (кроликов) способом, описанным в этом примере, называется выборкой с возвращением или возвратной выборкой.
Замечание 18.4.3. (о связи между совместными и зависимыми событиями). Между понятиями „ несовместные " и „ независимые " события имеется следующая связь: 1) если А и В — несовместные события (и Р(А) ≠0, и P(В) ≠ 0), то они обязательно зависимые; 2) если А и В — совместные события, то они могут быть и зависимыми, и независимыми;
3) если А и В — зависимые события, то они могут быть и совместными, и несовместными.
Замечание 18.4.4.. Понятие независимости является очень важным в теории вероятностей. При этом следует различать формальное понятие независимости событий, определяемое свойствами вероятностной модели, и понятие независимости событий, возникающее в прикладных задачах и означающее, что события не связаны причинно. При корректном построении вероятностной модели второе трансформируется в первое, но это может быть не всегда.
Замечание 18.4.5. Следует помнить, что при использовании теоремы сложения вероятностей нужно проверять несовместность событий, а при использовании теоремы умножения независимость событий.
Пусть пространство элементарных событий W разбивается на непересекающиеся события (события, не имеющие общих исходов), их вероятности можно вычислить. Кроме того, можно вычислить условную вероятность некоторых событий, при условии, что произошло событие из указанной группы. В этом случае оказывается удобным использовать формулу полной вероятности и следующую из нее формулу Байеса.
Замечании 18.4.6. Нижеследующий раздел имеет непосредственное отношение к психологии. Как мы принимаем решения, руководствуясь опытом, как по известному факту установить, что он был вызван именно этой причиной и пр., а также увлекательная история открытия Байеса изложены в блестящей книге Леонарда Млодинова «(Не)совершенная случайность», с которой мы очень рекомендуем Вам познакомиться. Формула полной вероятности. Определение 18.4.3. Группа событий H 1, H 2,..., Hn называется полной группой событий, если выполняются следующие условия: 1) Все события попарно несовместны: Hi ∩ Hj =; i, j =1,2,..., n; ij 2) Их объединение образует пространство элементарных событий W:
W =H 1U H 2U... U Hn.
Замечание. Обозначения H 1, H 2,..., Hn отсылают к статистике, где они обозначают гипотезы (от английского Hypothesis)
Пусть А - некоторое событие: А Ì W (рис.1). Тогда имеет место формула полной вероятности: P (A) = P (A / H 1) P (H 1) + P (A / H 2) P (H 2) +...+ P (A / Hn) P (Hn) = Доказательство. Очевидно: A = (A ∩ H 1) U (A ∩ H 2) U...U (A ∩ Hn), причем все события A ∩ Hi (i = 1,2,..., n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем P (A) = P (A ∩ H 1) + P (A ∩ H 1) +...+ P (A ∩ Hn) Если учесть, что по теореме умножения P (A ∩ H i) = P (A/Hi) P (H i), (i = 1,2,..., n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.
Пример 18.4.4. На книжном складе находятся учебники, напечатанные в трех типографиях, причем доля первой типографии - 30, второй - 50, третьей - 20. Брак в их продукции составляет соответственно 0,5, 0,3 и 0,2. Какова вероятность того, что случайно полученный на складе учебник оказалась бракованным?
Пусть событие H 1 состоит в том, что выбранный учебник напечатан в первой типографии, H 2 ч – на второй и H 3,соответственно на третьей. чевидно: P (H 1) = 3/10, P (H 2) = 5/10, P (H 3) = 2/10. Пусть событие А состоит в том, что выбранный учебник оказался бракованным; A/Hi означает событие, состоящее в том, что выбран бракованный учебник из книг, напечатанных в i -й типографии. Из условия задачи следует: P (A/H 1) = 5/1000; P (A/H 2) = 3/1000; P (A/H 3) = 2/1000 По формуле полной вероятности получаем Формула Байеса Пусть H 1, H 2,..., Hn - полная группа событий и А ÌW - некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности Здесь P (Hk | A) - условная вероятность события (гипотезы) Hk или вероятность того, что Hk реализуется при условии, что событие А произошло. По теореме умножения вероятностей числитель формулы можно представить в виде P (Hk ∩ A) = P (A ∩ Hk) = P (A | Hk) P (Hk) Для представления знаменателя формулы можно использовать формулу полной вероятности P (A) Определение 18.4.5. Теперь можно получить формулу, называемую формулой Байеса: Замечание 18.4.7. По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы Hk при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез. Замечание 18.4.8. Вероятности P(Hk) (k=I,2,..., n) событий H1,H2,...,Hn до опыта называются априорными вероятностями (от латинского a priori, что означает "сперва", Т.е. в данном случае до того, как был произведен опыт). ' Вероятности P(Hk) (k = 1,2,..., n) тех же событий называются апостериорными (от латинского слова а posteriori, что означает "после", Т.е. в данном случае после опыта). Пример 18.4.5. Рассмотрим приведенную выше задачу об учебниках, только изменим вопрос задачи. Пусть библиотекарь получил на складе учебник, и он оказался бракованным. Найти вероятность того, что этот учебник был напечатан во второй типографии. Выпишем формулу Байеса для этого случая Из этой формулы получаем: P (H 2 / A) = 15/34 .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|