 |
Последовательное соединение R, L, С
|
|
|
|
При прохождении гармонического тока i = Imcosωt через электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов R, L, С (рисунок 2.13), на зажимах этой цепи создается гармоническое напряжение, равное алгебраической сумме гармонических напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):
и = uR + иL + uC.
(2.14)
Напряжение uR на сопротивлении R совпадает по фазе с током i, напряжение uL на индуктивности L опережает, а напряжение иC на емкости С отстает от i на π/2 (рисунок 2.14).
(2.14)
Следовательно, напряжение и на зажимах всей цепи равно:
(2.15)
Уравнение (2.15) представляет тригонометрическую форму записи второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений. Входящая в него величина Х =ХL - ХC = ωL - 
называется реактивным сопротивлением цепи, которое в зависимости от знака может иметь индуктивный (Х > 0) или емкостный (Х < 0) характер. В отличие от реактивного сопротивления Х активное сопротивление R всегда положительно.
Для нахождения U и φ воспользуемся векторной диаграммой, соответствующей уравнению (2.15). На рисунке 2.15, а показан случай, когда Х > 0, и на рисунке 2.15, б случай; когда Х < 0.
Падение напряжения от тока в активном и реактивном сопротивлениях изображается катетами прямоугольного треугольника напряжения 0аb, гипотенуза которого изображает напряжение на зажимах цепи. Отсюда
или 
.
Полученное выражение показывает, что действующие значения (так же, как и амплитуды) напряжения на зажимах цепи и тока, проходящего через данную цепь, связаны соотношением, аналогичным закону Ома:
U = zI; Um = zIm,
где величина 
(2.16)
называется полным сопротивлением рассматриваемой цепи.
Активное, реактивное и полное сопротивления относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей. Из векторных диаграмм следует, что угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и равен:
|
|
|
(2.17)
Если задано напряжение u = Umcos(ωt+y) на зажимах цепи с последовательно соединенными R, L и С, то ток определяется по формуле i = 
cos(ωt+y-φ) Угол φ, равный разности начальных фаз напряжения и тока, отсчитывается по оси ωt в направлении от напряжения к току и является углом острым., прямым или равным нулю |φ| 
.
Угол φ положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при Х > 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения, и φ отсчитывается в положительном направлении: на временной диаграмме вправо от напряжения к току (рисунок 2.16, а), а на векторной диаграмме против хода часовой стрелки от тока I к напряжению U (рисунок 2.15, а).
Угол φ отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при X < 0, при этом ток опережает по фазе напряжение, и φ отсчитывается в отрицательном направлении: на временной диаграмме влево от напряжения к току (рисунок 2.16, б), а на векторной диаграмме - по ходу часовой стрелки от тока I к напряжению U (рисунок 2.15, б).
Итак, следует всегда помнить, что угол φ положителен при отстающем и отрицателен при опережающем токе. На временной диаграмме угол отсчитывается от напряжения к току, а на векторной диаграмме - от тока к напряжению.
Ток совпадает с напряжением по фазе при X = XL - xC = 0, т.е. при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом напряжений (гл. 7).
Из выражений (2.16) и (2.17) следует, что активное и реактивное сопротивления цепи связаны с полным сопротивлением формулами:
R = zcosφ; x = zsinφ. (2.18)
Умножив правые и левые части выражений (2.18) на действующее значение тока I, получим действующие значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, изображаемые катетами треугольника напряжений и называемые активной и реактивной составляющими напряжения:
|
|
|
Ua = RI = zcosjI = Ucosj,
Up = XI = zsinjI = Usinj. (2.19)
Мгновенные значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, суммирующиеся алгебраически в соответствии с (2.15), имеют фазовый сдвиг π/2. Поэтому непосредственное сложение действующих значений этих функций не дает действующего значения напряжения на всей цепи; как видно из треугольника напряжений и уравнений (2.19), активная и реактивная составляющие напряжения связаны с действующим значением суммарного напряжения формулой
.
Если все стороны треугольника напряжений разделить на I, то получится прямоугольный треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений (рисунок 2.17, а, б).
Треугольник сопротивлений представляет геометрическую интерпретацию уравнений (2.16) и (2.17). Его положение не зависит от начальных фаз напряжения и и тока i: сопротивление R откладывается по горизонтальной оси вправо (в положительном направлении), а реактивное сопротивление X в зависимости от его знака откладывается вверх (X > 0) или вниз (X < 0). Угол φ в треугольнике сопротивлений отсчитывается от катета R к гипотенузе z, что соответствует отсчету в треугольнике напряжений от Uа = RI к U = zI.
Для характеристики индуктивных катушек, представляемых цепью с последовательным соединением активного и индуктивного сопротивлений, пользуются понятием добротности катушки QL = XL/R, которое равнозначно тангенсу угла сдвига фаз j для катушки. Чем меньше сопротивление R, тем выше при прочих равных условиях добротность катушки.
Добротность индуктивных катушек, применяемых в диапазоне частот от 1 кГц до 100 МГц, обычно составляет QL = 50…500.
|
|
|
