 |
1.2. Метод хорд. 1.3. Метод касательных (Ньютона)
|
|
|
|
1. 2. Метод хорд
Метод основывается на утверждении, что если на отрезке [a; b] содержится корень уравнения, то значения f(a) и f(b) имеют разные знаки, т. е. f(a)·f(b)< 0.
Схема метода аналогична предыдущему. Разница заключается в поиске значения точки c. Для этого в методе хорд используется уравнение хорды – прямой, проходящей через две точки некоторой кривой. Возьмём т. А(a; f(a)) и т. B(b; f(b)) на кривой y=f(x). Уравнение прямой проходящей через эти точки 
. Пусть первая координата т. С(с; 0) – корень уравнения f(x)=0. Подставим координаты точки C в полученное уравнение. В итоге получаем уравнение для получения значений точек сi при вычислении корня исходного уравнения:
.
Вычисляется точка c. Если |a-b|> =eps, то вычисления продолжаются. Эта проверка означает, что если |a-b|< eps, то длина отрезка, на котором находится корень уравнения, достаточна мала и вычисления можно прекратить, а за значение корня взять один из концов этого отрезка, т. е. корень уравнения вычислен с заданной точность eps. Происходит проверка f(a)·f(c)< 0 или нет. Если да, то значение c присваивается переменной b, иначе значение c присваивается переменной a, т. е. исходный отрезок суживается. Если |a-b|> =eps, то опять происход-ит проверка f(a)·f(c)< 0 или нет. Если да, то значение c присваивается переменной b, иначе значение c присваивается переменной a и т. д. Графически этот метод изображен на рис. 15.
Опишем алгоритм и соответствующую программу для нахождения корней уравнения ln(x-3)=0 на отрезке [3. 5; 5] с помощью этого метода:
| Алгоритм | Программа |
| объявление вещ: fa, fb, fc, a, b, c, eps ввод а ввод b fa=ln(a-3) fb=ln(b-3) если fa*fb< 0 ввод eps c=а-(b-a)*fa/ (fb-fa) fc=log(c-3) пока (|a-b|> =eps ) если (fa*fc< 0) b=c иначе a=c; всё если c=а-(b-a)*fa/ (fb-fa) fa=ln(a-3) fb=ln(b-3) fc=ln(c-3) всё пока печать c печать fc иначе печать “на отрезке нет корня” все_если | #include " stdio. h" #include " math. h" #include " iostream. h" #include " iomanip. h" int main() { float fa, fb, fc, a, b, c, eps; cout< < " a="; cin> > a; cout< < " b="; cin> > b; fa=log(a-3); fb=log(b-3); if(fa*fb< 0) { cout< < " eps="; cin> > eps; c= а-(b-a)*fa/ (fb-fa); fc=log(c-3); while(fabs(a-b)> =eps) { if(fa*fc< 0) b=c; else a=c; //вычисляется новое значение с c=а-(b-a)*fa/ (fb-fa); //вычисляются значения //функций в новых точках fa=log(a-3); fb=log(b-3); fc=log(c-3); } cout< < " корень уравнения х*=" < < c< < endl; cout< < " значение f(x*)=" < < fc< < endl; } else cout< < " неверно введены концы" < < " отрезка" < < endl; return 1; } |
1. 3. Метод касательных (Ньютона)
|
|
|
Метод основывается на утверждении, что если на отрезке [a; b] содержится корень уравнения, то значения f(a) и f(b) имеют разные знаки, т. е. f(a)·f(b)< 0. Точность вычислений зависит от выбора точки, с которой начинаются вычисления. Выбор начальной точки x0 вычислений определяет условие 
. Схема метода аналогична предыдущим. Разница заключается в поиске значения точки c. Для этого в методе касательных используется уравнение касательной к графику функции: 
. Пусть первая координата т. С(сi; 0) – корень уравнения f(x)=0. Подставим координаты точки C в полученное уравнение. В итоге получаем уравнение для получения значений точек сi при вычислении корня исходного уравнения:
.
Если |ci-ci-1|> =eps, то вычисления продолжаются. Если |ci-ci-1|< eps, то вычисления можно прекратить, а за значение корня взять одно из этих значений, т. е. корень уравнения вычислен с заданной точность eps. Если нет, то вычисляется новое значение сi и т. д. Графически этот метод изображен на рис. 16.
Опишем алгоритм и соответствующую программу для нахождения корней уравнения ln(x-3)=0 на отрезке [3. 5; 5] с помощью этого метода:
| Алгоритм | Программа |
| объявление вещ: f_2p, fa, fb, a, b, c, c1, eps ввод а ввод b fa=ln(a-3) fb=ln(b-3) если fa*fb< 0 ввод eps f_2p=-1/(a-3)2 если fa*f_2p> 0 c1=a иначе c1=b все_если c=c1-ln(c1-3)/(1/(c1-3)) пока (|c-c1|> =eps ) c1=c c=c1-ln(c1-3)/(1/(c1-3)) всё_цикл печать c печать ln(c-3) иначе печать “на отрезке нет корня” все_если | #include " stdio. h" #include " math. h" #include " iostream. h" #include " iomanip. h" int main() { float f_2p, fa, fb, a, b, c, c1, eps; cout< < " a="; cin> > a; cout< < " b="; cin> > b; fa=log(a-3); fb=log(b-3); if(fa*fb< 0) { cout< < " eps="; cin> > eps; f_2p=-1/pow(a-3, 2); if(fa*f_2p> 0) c1=a; else c1=b; c=c1-log(c1-3)/(1/(c1-3)); while(fabs(c-c1)> =eps) { c1=c; c= c1-log(c1-3)/(1/(c1-3)); } cout< < " корень уравнения х*="; cout< < c< < endl; cout< < " значение f(x*)=" < < log(c-3)< < endl; } else cout< < " неверно введены концы" < < " отрезка" < < endl; return 1; } |
|
|
|
|
|
|
