Длинна дуги кривой заданной в явном виде.

I. р – целое, р 0.

Определённый интеграл. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определение определённого интеграла.

Задача о площади криволинейной трапеции: Рассмотрим плоскую фигуру ограниченную y=f(x), разобьём её точками a=x0<x1<…<xn=b, . В каждом из частичных сегментов выберем точку «кси итая».

. Обозначим через если существует конечный предел интегральной суммы при лямбда , то этот предел – площадь криволинейной трапеции.

Опр.: Пусть дана ф-я f(x) на [a,b]. Разобьём отрезок точками a=x0<x1<…<xn=b, . В каждом из частичных сегментов выберем точку «кси итая». Обозначим через . Если существует конечный предел , то он наз определённым интегралом от f(x).

Условия существования определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.

Теор.: (необходимое условие существования определённого интеграла) для того чтобы существовал определённый интеграл необходимо чтобы ф-я была непрерывна на интервале интегрирования.

Док-во: (метод от противного) пусть ф-я интегрируемая но не ограниченная на [a,b]….

Теор.: (дост. условие существования определённого интеграла) Если ф-я непрерывна на [a,b], то она интегрируема на нем.

Свойства определенного интеграла.

1)

2)

3)

4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то

5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

8)

Вычисление определённого интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то .

Замена переменных.

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

Тогда если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то , тогда

Интегрирование по частям.

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вычисление площадей с помощью определённого интеграла. Вычисление площадей в параметрической форме.

Пусть кривая задана параметрически, тогда .

Вычисление площади фигуры в полярных координатах.

Пусть дан сектор АВО, ограниченный кривой АВ и двумя радиус векторами. >0 и непрерывная на . Разобьем сектор на n произвольных частей углами . Выберем в каждом сегменте точку «кси итая» r=r(«кси итая»). S=0.5*R²*l. Значит площадь сегмента = . Площадь всего сектора это сумма этих площадей. Тогда переходим к интегралу: .

Объём цилиндра. Объём тела по площадям параллельных сечений.

Пусть имеется тело ограниченное сверху и снизу некоторой квадрируемой областью с высотой H, тогда V=S_основ*H.

Пусть тело ограничено некоторой замкнутой поверхностью. Примем какую-нибудь прямую за ось ОХ. И пересечём тело плоскостями перпендикулярными оси ОХ. Тогда в сечении получатся плоские фигуры, площади которых зависят от Х. Разобьем отрезок [a,b] на n произвольных частей точками . Через каждую точку проведём сечение параллельное некоторой плоскости P. В каждом частичном сегменте возьмём некоторую точку «кси итая». S(«кси итая»)-площадь, , тогда . , далее объём равен пределу и далее интегралу .

Объём тела вращения

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

Длина дуги кривой.

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать что Т.е.

Длинна дуги кривой заданной в явном виде.

Теор.: Пусть кривая АВ задана вуравнением y=f(x), где f(x) и f’(x) – непрерывные на отрезке [a,b] функции, тогда длинна дуги: (для доказательства нужно разбить кривую точками).