 |
Декартово (прямое) произведение двух множеств
|
|
|
|
I. Элементы теории множеств
Основные понятия. Способы задания множеств
Понятие множества является основным (неопределяемым) понятием.
Под множеством будем понимать совокупность, набор объектов любой природы, объединенных по какому-либо признаку и рассматриваемых как единое целое. (А,В,С,… - обозначения множеств).
О бъекты, из которого состоят множества, называют элементами множества (обозначение: а, в, с, х, у,...).
Запись аÎА (а является элементом А).
Существует множество, которое не содержит не одного элемента – пустое множество (Æ)
Множество треугольников, сумма углов которого равна 190о является Æ.
Существует два основных способа задания множеств:
1.Задание множеств перечислением его элементов. Данный способ применяется в случае, если количество элементов в множестве невелико.
А={1, 2, 3, 4, 5}
B={а, в, с}.
2. В случае, если количество элементов множества бесконечно или конечно, но достаточно велико, используется второй способ задания с помощью характеристического свойства.
Характеристическое свойство – свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие элементы.
Например: М = {m | m=2n, n Îz}={-4, -2, 0, 2, 4, 6,…}
Существуют общепринятые обозначения числовых множеств:
N – натуральные числа (используют при нумерации)
Z – целые числа (натуральные числа, противоположные им и 0)
Q – рациональные числа (могут быть записаны в виде дроби)
m, где - целое число, nÎN
n
J –иррациональные (Ö2, Ö3, 3Ö4, p, е, log 23, sin10, cos50)
R – действительные = R = Q È J
C – комплексные (числа в которых квадрат числа может быть отрицательным)
Отношения между множествами
"
|
|
|
кванторы квантор общности ("х- для любого числа x)
$ 
квантор существования ($у - существует такое число у)
Отношение включения
АÌВ (А является подмножеством В) – А включается в В, если любой элемент из А принадлежит В. (АÌВ: "хÎА=>хÎВ).
Отношения между множествами можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
включение
А={а, в, с}
Множества {а}, {в}, {с}, {а,в}, {а,с}, {в,с}, {а,в,с}, Æ являются подмножествами А.
Вообще говоря, если множество содержит n элементов, то для такого множества можно задать 2n подмножеств. Пустое множество является подмножеством любого множества.
2. Отношение пересечения множеств: АÇВ, если существуют элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
3. Отношение равенства множеств
А={2, 3, 4, 5, 6}
В= {2, 5, 2, 4, 6}
Возьмем любой хÎА => хÎВ => АÌВ
=>А=В
Возьмем любой уÎВ => уÎА => ВÌА
Т.о. множества А и В состоят из одних и тех же элементов при этом порядок записи значения не имеет.
Если множества заданы характеристическими свойствами, то для доказательства равенства этих множеств необходимо показать, что характеристические свойства этих множеств одинаковы.
Операции над множествами
1. Пересечением двух множеств А и В называют такое множество, элементы которого принадлежат одновременно множеству А и множеству В.
Если таких элементов не существует, то АÇВ=Æ. Если множества заданны перечислением, то для нахождения их пересечения, необходимо выбрать элементы, входящие и в первое и во второе множество.
А = {2,3,4,5,6}
В = {3,6,8,10}
А ÇВ =С = {3, 6}.
В случае если множество задается характеристическими свойствами, то для нахождения характеристического свойства их пересечения необходимо свойства множеств А и В соединить союзом «и».
А = {а|а - четные, натуральные}
В = {в|в - двузначные, натуральные}
С = АÇВ = {с|с - четные, двузначные, натуральные} = {10, 12, 14,…96, 98}
|
|
|
2. Объединением двух множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
АÈВ={х|хÎА или хÎВ}
Если множества заданы перечислением, то, чтобы найти их объединение, достаточно перечислить все элементы, которые принадлежат хотя бы одному их множеств. В случае, если множества заданы характеристическими свойствами, для нахождения их объединения, необходимо характеристические свойства множеств А и В соединенных союзом «или»:
А = {2, 3, 4, 5, 6}
В = {2, 4, 6, 8}
С = АÈUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
3. Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (А/В - А минус В).
А = {2, 3, 4, 5, 6}; С = В\А = {6, 8}
В = {2, 4, 6, 8}; Д = A\B = {1, 3, 5}
4. Дополнением множества А до В (Ав’)называют разность между В и А.
Ав’= В\А
Но часто бывает, что в качестве множества В берётся так называемое универсальное множество, в которое входят все данные множества (U)
, 
,, -для данных множеств универсальным является плоскость, а для объемных фигур U является трёхмерное пространство.
1. АÇВ 2. АUВ 3. A\B 4.Ав’
Свойства операций над множествами:
| Ç | U |
| 1.Коммутативность: АÇВ = BÇA 2.Ассоциативность: АÇ(ВÇС) = (АÇВ)ÇС 3.Дистрибутивность: АÇ(ВUС) = (АÇВ)È(АÇС) 4.(АÇВ)\С = (А\С) Ç(В\С) 5.(А\В) ÇС = (АÇС)\(ВÇС) 6.А\(ВÇС) = (А\В) È (А\С) 7.(А\В)\С = (А\С)\В | 1.Коммутативность: АÈВ = BÇA 2.Ассоциативность: АÈ (ВUС) = (АÈВ)ÈС 3.Дистрибутивность: АÈ(ВÇС) = (АÈВ)Ç(АÈB) 4.(АÈВ)\С = (А\С) È (В\С) 5.(А\В) ÈС = (АÈС)\(ВÈС) 6.А\(ВÈС) = (А\В) Ç (А\С) |
Декартово (прямое) произведение двух множеств
Декартовым произведением называют множество пар элементов, где первый элемент принадлежит первому множеству, а второй элемент второму множеству.
А*В = {(х,у)|хÎА и уÎВ}
А = {1, 2, 3},
B = {c, d},
A*B = {(1; c), (2; c), (3; c), (1; d), (2; d), (3; d)}
Прямым произведением трёх множеств называется множество, состоящее из троек элементов, в котором первый элемент принадлежит первому множеству, второй элемент принадлежит второму множеству, третий элемент принадлежит третьему множеству. Понятие прямого произведения можно обобщить для n множеств.
|
|
|
Свойства декартового произведения двух множеств:
1.Декартово произведение не обладает свойствами коммутативности, т.е.
А*В ¹ В*А;
2. Для декартова произведения не выполняется свойство ассоциативности;
3.Дистрибутивность декартова произведения, относительно объединения:
(АÈВ)*С = (А*С) È (В*С).
|
|
|
