 |
Момент сил, действующий на контур с током
|
|
|
|
Лекция 13
Закон Био-Савара-Лапласа
Рис.1
|
При своем движении электрические заряды в проводах создает в окружающем пространстве магнитное поле. Магнитное поле создает не только ток проводимости, но и любой ток: ток в газах, ток смещения. Найдем индукцию магнитного поля, созданного элементом проводника с током (рис. 1). Для этого воспользуемся формулой магнитной индукции равномерно движущегося заряда. Введем объемную плотность заряда,
т. е. q = rdV, где dV - элемент объема, тогда
. (1)
Плотность тока в элементе проводника j = noqv = 
(N=1).
Поэтому формулу (1) перепишем в виде
. (2)
Если ток течет по проводу площадью поперечного сечения S,
то объемный элемент тока jdV равен линейному элементу тока 
, т. е.
jdV = .
С учетом этого формула (2) принимает вид 
(3)
или 
. (4)
Формулы (3) и (4) называют законом Био-Савара-Лапласа.
В общем случае расчет индукции магнитного поля тока, текущего в проводах произвольной формы, по формуле (3) довольно сложен. Если же распределение тока имеет некоторую симметрию, например, магнитное поле прямого и кругового токов, то расчет индукции магнитного поля значительно упрощается, если воспользоваться принципом суперпозиции магнитных полей, т. е.
.
Магнитное поле прямого проводника с током
Найдем индукцию магнитного поля dB произвольного элемента прямого проводника c током конечной длины АС (рис. 2).
По закону Био - Савара - Лапласа индукцию магнитного поля, созданную элементом проводника с током в произвольной точке К, можно найти по формуле
. (5)
В этой формуле три переменные величины: элементом длины проводника 
, r - расстояние до этого элемента, a - угол, под которым виден из данной точки К элементом длины проводника.
|
|
|
Поэтому приведем формулу к одной переменной a, введя известные величины: d - кратчайшее расстояние от точки К до проводника с током; I - сила тока в проводнике; и углы: a1, a2.
Согласно рис. 2 имеем 
.
Рис. 2
|
С учетом этого формула (3.23) принимает вид
. (6)
Используя принцип суперпозиции, находим результирующую индукцию магнитного поля прямого проводника с током длины АС в точке К,
т. е. 
.
После интегрирования имеем
. (7)
или 
.
Если проводник бесконечной длины, то a1 = 0о, a2 =180о.
Следовательно, индукция магнитного поля прямого проводника бесконечной длины в произвольной точке К окружающего пространства
. (8)
или 
.
Магнитное поле кругового тока
Найдем индукцию магнитного поля кругового тока на оси витка в произвольной точке А (рис. 3). Согласно закону Био - Савара - Лапласа индукцию магнитного поля, созданную элементом проводника с током i в произвольной точке А на оси Х, можно найти по формуле
, где sina = 1. (9)
Из-за симметрии от элементов витка с током в точке А будет образован конус векторов 
. Направление вектора индукции можно определить по правилу правого винта: если головку винта вращать по направлению
тока в витке, то поступательное движение винта укажет направление вектора индукции.
Рис. 3
|
Проекция вектора индукции магнитного поля, созданного элементом проводника с током i на ось Х,
,
где dB1 = dB2 =...= dBn = dBi.
Результирующая индукция магнитного поля в точке А витка с током
, (10)
где R - радиус витка. Согласно рис. 3 имеем cos b = 
, r2 = R2 + h2, где h - расстояние от центра витка до точки А. После подстановки в (10) и интегрирования получим
. (11)
или 
При h = 0 индукция в центре витка
. (12)
или 
Момент сил, действующий на контур с током
Если контур с током (I = const) поместить в неоднородное внешнее магнитное поле, то на него будет действовать сила Ампера, т. е.
. (13)
В однородном магнитном поле результирующая сила Ампера, действующая на контур с током, равна нулю:
|
|
|
. (14)
Рассмотрим плоский контур с током малых размеров (магнитный листок), который называют элементарным. Такой контур характеризуют вектором магнитного момента
, (15)
Рис. 4
|
где I - сила тока в витке; S - площадь витка ограниченного контуром L; 
- вектор нормали, направление которого связано с направлением тока в витке правилом правого винта (рис. 4).
По модулю
рm = IS. (16)
В СИ магнитный момент измеряется в амперах на метр в квадрате (А×м2).
Если контур не плоский, то
, (17)
где интеграл зависит только от выбора контура L, на который натянута поверхность S. Расчеты показывают, что эту силу можно записать в виде
, (18)
где рm - модуль магнитного момента контура; 
- частная производная вектора 
по направлению вектора нормали 
(по направлению 
).
Проекция силы, например, на направление оси Х
. (19)
В однородном магнитном поле F = 0, так как = 0.
Результирующий момент сил Ампера, действующий на контур, запишем в виде
(20)
или в виде
, (21)
где 
(рис. 5).
Рис. 5
|
Пара сил Ампера действует на стороны b контура; на стороны а контура действуют силы, стремящиеся только растянуть его, на рис. 5 они не показаны.
По модулю вращающий момент сил Ампера
М = рmВsina = ISBsina, (22)
где a - угол между векторами 
и .
При a = 0о, М = 0 ( 
) положение контура-устойчиво.
При a = 180о, М = 0 ( ¯ ) положение контура - неустойчиво.
Если магнитное поле неоднородно и размеры контура малы, то влиянием неоднородности можно пренебречь.
|
|
|
