 |
Закон электромагнитной индукции
|
|
|
|
Лекция 14
Явление электромагнитной индукции открыто Фарадеем в 1831 г.
При изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутый проводящий контур, в нем возникает индукционный ток. Наличие индукционного тока i вызвано появлением в контуре ЭДС индукции 
i. При этом ЭДС индукции не зависит от того, каким образом происходит изменение магнитного потока, а определяется лишь скоростью его изменения 
. Закон электромагнитной индукции записывают в виде
i = 
, (1)
где «-» в этом уравнении связан со знаком магнитного потока и знаком ЭДС индукции (рис. 1, а, б).
Рис. 1
|
Знак магнитного потока связан с выбором нормали 
к поверхности S, ограниченной рассматриваемым контуром. Знак ЭДС индукции - с выбором положительного направления обхода по контуру. Направление нормали к поверхности S и положительное направление обхода контура связаны правилом правого винта, поэтому 
i и имеют разные знаки.
Рис. 2
|
Направление индукционного тока (знак ЭДС индукции) определяется правилом Ленца:
Индукционный ток имеет такое направление, что созданное им магнитное поле противодействует причине, его вызывающей.
Действительно, индукционный ток в контуре создает собственное магнитное поле, которое препятствует изменению внешнего магнитного потока, вызывающего ЭДС индукции (рис. 2, а, б).
Если, например, постоянный магнит приближать северным магнитным полюсом к виткам катушки, замкнутой на гальванометр, то в контуре возникает индукционный ток, такого направления (стрелка гальванометра отклоняется влево), что созданное им магнитное поле будет направлено навстречу нарастающему магнитному потоку, стремясь его уменьшить (рис. 2, а).
|
|
|
Если же магнит удалять от катушки северным магнитным полюсом, то возникает индукционный ток противоположного направления (стрелка гальванометра отклоняется вправо) и созданное им магнитное поле будет направлено в сторону убывающего магнитного потока, стремясь замедлить его уменьшение (рис. 2, б).
Силовые линии магнитного поля, созданного индукционным током на рис. 2, а, б, показаны в виде пунктирных линий с двойными стрелками. Индукционный ток можно вызвать различными способами.
В рассмотренном выше примере контур покоился, его витки пронизывали силовые линии переменного магнитного поля постоянного магнита.
В этом случае возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что изменяющееся магнитное поле вызывает в контуре появление сторонних сил. Ясно, что это не магнитные силы, т. к. привести в движение покоившиеся заряды (v = 0) они не могут.
Но других сил, кроме силы 
, нет.
Следовательно, индукционный ток вызван появляющимся в проводящем контуре электрическим полем 
. Это поле и вызывает появление ЭДС индукции в неподвижном контуре.
Позднее Максвелл предположил, что изменяющееся во времени магнитное поле приводит к появлению в пространстве переменного электрического поля независимо от того, есть замкнутый контур или нет.
Этот контур лишь позволяет обнаружить (по возникновению в нем индукционного тока) существование электрического поля (не путать с электростатическим полем, создаваемым неподвижными зарядами).
Циркуляция вектора переменного электрического поля по произвольному неподвижному контуру
= 
i ¹ 0. (2)
Символ частной производной определяет то положение, когда контур и натянутая на него поверхность, находятся в покое.
Магнитный поток, пронизывающий этот контур,
.
Вследствие того, что интегрирование проводится по произвольной поверхности, натянутой на неподвижный контур,
|
|
|
.
С учетом этого выражение (3.77) представим в виде
(3)
или в дифференциальной форме
rot = 
. (4)
Уравнение (4) выражает локальную связь между электрическим и магнитным полями: переменное магнитное поле 
в данной точке определяет ротор поля в этой же точке.
Поскольку циркуляция переменного электрического поля, возбуждаемого переменным магнитным полем, отлична от нуля, то это электрическое поле не потенциально, а является вихревым, как и магнитное поле.
Рассмотрим, что является причиной возникновения индукционного тока, если проводящий контур движется в постоянном магнитном поле (рис. 3)
Пусть одна сторона контура АС является подвижной.
При перемещении АС, например, вправо со скоростью 
электроны проводимости начнут двигаться с такой же скоростью.
На каждый электрон начнет действовать вдоль АС сила Лоренца
,
где v*- скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника под действием составляющей силы Лоренца.
Рис. 3
|
Электроны начнут перемещаться вниз по линии АС - возникнет индукционный ток, направленный вверх.
Из-за перераспределения зарядов на поверхности проводящего контура возникнет электрическое поле, которое возбудит ток и в остальных участках проводника.
Поэтому напряженность возникшего стороннего электрического поля (v* = 0)
Циркуляция вектора * стороннего электрического поля по контуру дает по определению ЭДС индукции i, т. е.
i = -vB 
, (5)
где знак «-» взят в соответствии с правилом правого винта (положительное направление обхода контура - по часовой стрелке).
В этом случае стороннее электрическое поле * направлено против положительного направления обхода контура и i < 0.
Приращение площади, ограниченной контуром в единицу времени при движении АС, запишем в виде
.
Поэтому формула (5) принимает вид
i = - 
, (6)
где dФm - изменение магнитного потока сквозь контур;
( > 0).
Закон электромагнитной индукции остается справедливым для контура произвольной формы и размеров, движущегося в неоднородном магнитном поле.
Таким образом, возникновение ЭДС индукции при движении контура в неоднородном постоянном магнитном поле объясняется действием силы Лоренца. ЭДС индукции возникает в контуре за счет возбуждения изменяющегося во времени электрического поля или из-за действия силы Лоренца при изменении магнитного потока, пронизывающего контур.
|
|
|
Поэтому закон электромагнитной индукции можно представить в общем виде:
i 
.
Индуктивность
Если в контуре существует ток, то полный магнитный поток, возникшего магнитного поля сквозь собственный контур, прямо пропорционален силе этого тока Ф = L×I, (7)
где L - индуктивность контура.
В соответствии с принятым правилом знаков магнитный поток и сила тока всегда имеют одинаковые знаки, поэтому L > 0.
Рассмотрим, от чего зависит индуктивность на примере соленоида. Если пo виткам соленоида течет ток I, то индукцию магнитного поля в центре его на оси можно найти по формуле
В = mmоnI, (8)
где m - магнитная проницаемость вещества внутри соленоида; n - число витков на единицу его длины; m0 - магнитная постоянная.
Магнитный поток сквозь один виток соленоида
Ф1 = ВS
или с учетом индукции магнитного поля
Ф1 = mmоnIS, (9)
где S - площадь одного витка.
Полный магнитный поток, пронизывающий N = n 
витков,
Ф = NФ1= n mmоnIS= mmо n2IV, (10)
где V = S - объем соленоида.
С учетом формулы (8) индуктивность соленоида
L = mmоn2V. (11)
Таким образом, индуктивность контура зависит от магнитной проницаемости среды, числа витков на единицу длины в квадрате, размеров и формы контура и от наличия вблизи других контуров.
В СИ индуктивность измеряется в генри (Гн).
Явление самоиндукции
Дальнейшее изучение явления электромагнитной индукции показало, что если в контуре течет изменяющийся во времени электрический ток, то созданное им переменное магнитное поле вызывает изменение магнитного потока сквозь этот контур и возбуждается ЭДС самоиндукции.
Явление возникновения ЭДС индукции при изменении тока в контуре называют самоиндукцией.
Согласно закону электромагнитной индукции с учетом (7) имеем
S 
или
S 
, (12)
где L = const; 
- скорость изменения тока в контуре.
Знак «-» показывает, что ЭДС самоиндукции S направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока в контуре (согласно правилу Ленца).
|
|
|
Явление самоиндукции наблюдается, например, при замыкании и размыкании электрической цепи.
При отключении обмоток электромагнитов, электромоторов и т. п. с большой индуктивностью возникает большая ЭДС самоиндукции, что приводит к образованию вольтовой дуги между контактами выключателя и является весьма опасным для электроустановок (если они не защищены) и для обслуживающего персонала.
На явлении электромагнитной индукции, например, основано действие магнитогидродинамического генератора (МГД – генератора), в котором
|
Рис. 4
внутренняя энергия преобразуется в электрическую энергию. Роль проводника, движущегося в поперечном магнитном поле выполняет плазма, нагретая выше 2000 К (рис. 4).
Сильно ионизированный газ, в результате сгорания топлива и обогащенного парами щелочных металлов (например, солями калия), способствующих повышению степени ионизации плазмы, проходит через сопло Лаваля, которое сначала сужается, где внутренняя энергия переходит в кинетическую энергию, а затем расширяется, что способствует падению кинетической энергии и температуры плазмы на выходе из сопла.
В качестве дешевого топлива МГД – генератора можно использовать бурые угли, добываемые открытым способом или мазут.
Часть плазмы преобразуется в кинетическую энергию.
В поперечном магнитном поле под влиянием силы Лоренца положительные ионы отклоняются вверх к электроду П, электроны – вниз к электроду О. При замыкании электродов на внешнее сопротивление (нагрузку) возникает индукционный ток от П к О. Электрический КПД равен отношению мощности, потребляемой внешней нагрузки, к полной мощности
hэл = R/(r + R), (13)
где R – сопротивление внешней нагрузки; r – внутреннее сопротивление генератора.
Электрический КПД МГД – генератора приближается к 90 %.
Тепловой КПД увеличивается с ростом разницы температур рабочего тела (плазма) и окружающей среды
hт = Тпл – Т0 / Tпл, (14)
где Тпл – температура горячей плазмы; Т0 –температура окружающей среды.
При температуре выше 2000 К тепловой КПД стремится к 90 %.
Росту ЭДС способствует сильное магнитное поле до 2 – 6 Тл.
Для этой цели сопло МГД – генератора помещают в зазоре мощного электромагнита с железным сердечником и с охлаждаемыми обмотками или со сверхпроводящими обмотками, в которых плотность тока может достигать до ~ 108 А/м2.
Взаимная индукция
Возникновение ЭДС индукции можно наблюдать на примере двух неподвижных контуров 1 и 2 (рис. 5). Если в контуре 2 течет ток I2, то он
Рис. 5
|
создает через контур 1 магнитный поток (в отсутствии ферромагнетиков)
|
|
|
Фm1= L12I2. (15)
Если же в контуре 1 течет ток I1, то он, в свою очередь, создает сквозь контур 2 магнитный поток
Фm2= L21I1, (16)
где коэффициенты пропорциональности L12 и L21 называют взаимной индуктивностью контуров. Они зависят от размеров, формы, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. В теории доказывается, что при отсутствии ферромагнетиков
L12 = L21. (17)
Это свойство взаимной индуктивности называют теоремой взаимности. Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что при всяком изменении силы тока в одном из них в другом контуре возникает ЭДС индукции. Это явление называют взаимной индукцией.
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДС, возникающая в контурах 1 и 2, соответственно равна:
1 
,
2 
.
Так как при этом в контурах наблюдается явление самоиндукции, то ток, например, в контуре 1 при изменении силы токов в обоих контурах определяется в соответствии с законом Ома по формуле
Рис. 6
|
1 
,
где L1 - индуктивность контура 1.
Аналогичную формулу можно написать и для тока в контуре 2. В отличие от индуктивности контура L, которая всегда положительна, коэффициенты взаимной индуктивности L12 и L21 являются алгебраическим величинами, в частности, могут равняться нулю.
При положительных токах в обоих контурах они подмагничивают друг друга, значит, L12 > 0 (L21 > 0).
В противном случае L12 < 0 (L21 < 0, рис. 6, а, б).
Трансформаторы
На практике широко используются магнитные цепи - последовательность магнетиков, по которым проходит магнитный поток. В зависимости от характера тока возбуждения различают магнитные цепи постоянного, импульсного и переменного магнитных потоков. К магнитным цепям применимы правила Кирхгофа и формула
F = Ф×Rm, (18)
где F - магнитодвижущая сила; Ф - магнитный поток; Rm = 
- магнитное сопротивление, где 
- длина магнитной цепи; S - поперечное сечение участка магнитной цепи.
Магнитные цепи используют при расчетах постоянных магнитов, электромагнитов, магнитных реле, магнитных усилителей, трансформаторов и др. приборов. Трансформатор - устройство для повышения или понижения переменного напряжения. Он состоит из двух обмоток: первичной N1 и вторичной N2, которые расположены на замкнутом сердечнике, набранном из тонких изолированных пластин мягкого железа, для уменьшения потерь на вихревые токи, (рис. 3.30). Принцип действия трансформатора основан на том,
Рис. 7
|
что магнитный поток, созданный током в первичной катушке (обмотке), должен проходить через витки вторичной обмотки. Когда на пeрвичную обмотку подается напряжение U1, возникающий переменный магнитный поток возбуждает во вторичной обмотке переменное напряжение U2 той же частоты. Напряжение, подаваемое на первичную обмотку, связано со скоростью изменения магнитного потока, т. е. 
. (19)
Согласно закону Фарадея напряжение во вторичной обмотке
. (20)
Из (19) и (20) имеем 
(21)
где k - коэффициент трансформации.
Если N2 < N1, то трансформатор называют понижающим, если N2 > N1 - повышающим. При замыкании вторичной обмотки на нагрузку энергии выходная мощность Р2 = I2U2cosj2 (22)
Энергия магнитного поля
Электрическая цепь, содержит источник тока с ЭДС 
, индуктивность L и сопротивление R. В начальный момент времени при возрастании тока в цепи возникает ЭДС самоиндукции S. По закону Ома = IR - S. Последнее выражение перепишем в виде 
Idt = I2Rdt - SIdt. S= 
,
т. е. dAст = dQ + IdФm, (23)
где Q - количество теплоты, выделяемое в цепи при прохождении тока.
Следовательно, в процессе установления тока в цепи, когда магнитный поток Фm изменяется и dФm > 0 (при I > 0), работа, совершаемая сторонним источником тока , больше выделяемого количества теплоты Q. Часть этой работы совершается против ЭДС самоиндукции. После установления тока в цепи dФm= 0. Таким образом, дополнительная работа, совершаемая сторонними силами против ЭДС самоиндукции, dAm= IdФm. (24)
В отсутствии ферромагнетиков dФm = LdI. (25)
Следовательно, dAm = LIdI. Полная работа
Аm= 
. (26)
По закону сохранения энергии часть работы сторонних сил идет на увеличение внутренней энергии проводников (выделяется Q), другая часть (в процессе установления тока) расходуется на возбуждение магнитного поля.
Вывод: При отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью L, по которому течет ток I, обладает магнитной энергией (собственной энергией тока), т. е. 
. (27)
Найдем энергию магнитного поля на примере соленоида. Индуктивность соленоида L = mm0n2V. С учетом этого формулу перепишем в виде:
, (28)
или 
, (29)
где B = mm0Н. В случае неоднородного магнитного поля в объеме dV его энергия 
. (30) Следовательно, магнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью 
(31)
|
|
|
