Основные формулы для расчета термодинамических процессов идеальных газов

Название процесса	Показа-тель поли-тропы n	Тепло-емкость, Сх	Уравнение процесса	Зависимость между параметрами	Изменение внутренней энергии, ΔU	Работа расширения, l	Теплота, q	Измене- ние энтальпии, Δh	Измене-ние энтропии, Δ S
Изохор-ный	±∞	Cυ	υ= const
Изобар-ный		Cp	P= const	υ1 / υ2 = T1 / T2
Изотерми-ческий		∞	Pυ= const	P1 / P2 = υ2 / υ1
Адиа-батный	k		Pυk= const	P1 / P2 = (υ2/υ1)k T1/T2 = (υ2/υ1)k-1 T1/T2=(P1/P2)(k-1)/k	ΔU = l
Поли-троп-ный	+ ∞ ÷ - ∞		Pυn= const	P2/P1 = (υ1/υ2)k T2/T1 = (υ1/υ2)k-1 T2/T1=(P2/P1)(k-1)/k

Примеры решения задач

Пример 1.1. Избыточное давление в паровом котле, измеренное пружинным манометром Р_и = 2500 кПа. Барометрическое давление 765 мм.рт.ст. Определить абсолютное давление в котле.

Решение. Абсолютное давление в котле определяется по формуле ;

1 мм.рт.ст. создает давление 133,32 Па, а 766 мм.рт.ст. соответствует давлению 101991,33 Па ≈102 кПа. Следовательно, абсолютное давление в котле:

кПа = 2,6 МПа.

Пример 1.2. В резервуаре объемом 10 литров находится воздух при температуре 17 ⁰С, и в избыточном давлении 0,1 ат. Сколько воздуха нужно откачать из резервуара, чтобы в нем создать вакуум 540 мм.рт.ст. Барометрическое давление 754 мм.рт.ст.

Решение. Масса удаленного воздуха находится как разность масс воздуха в баллоне до и после откачивания

; ,

Р₁ и Р₂ – абсолютное давление в резервуаре до и после удаления воздуха.

Па

 

Па

Дж/кг∙К

V = 0,01м³; Т₁ = 17 + 273 = 290 К; Т₂ = 27 + 273 = 300 К.

кг.

Пример 1.3. Объемные доли компонентов смеси идеальных газов: 20% СО₂, 20% N₂, 60% Н₂. Давление смеси 2 МПа, температура 400 ⁰С. Найти парциальные давления компонентов, их массовые доли, молярную массу и плотность смеси при нормальных условиях и условиях, указанных в задаче. Найти количество теплоты, которое необходимо отвести от 1 кг смеси, чтобы охладить ее до 0 ⁰С при постоянном давлении.

Решение. Парциальное давление компонентов:

МПа = 400 кПа;

 

;

 

.

 

Молярная масса смеси:

.

 

Массовые доли компонентов:

,

,

,

,

,

,

,

,

- средняя в интервале температур 0 – 400 ⁰C массовая теплоемкость газовой смеси при постоянном давлении

Средние массовые теплоемкости компонентов находим используя таблицу 2

кДж/(кг∙К)

кДж/(кг∙К)

кДж/(кг∙К)

кДж/(кг∙К)

q = 2,093∙(-400) = - 837 кДж/(кг∙К)

Знак «-» показывает, что теплота отводится от газовой смеси.

Пример 1.4. В закрытом сосуде объемом 0,8 м³ находится двуокись углерода при

Р₁ = 2,2 МПа и t₁ = 20 ⁰C. Газу сообщается 4600 кДж теплоты.

Определить температуру и давление двуокиси углерода в конце процесса.

Примечание. Теплоемкость считать не зависящей от температуры.

Решение: Количество теплоты, выраженное через теплоемкость и разность температур, равно:

,

отсюда

.

 

Масса газа

,

где .

Массовую теплоемкость СО₂ при постоянном объеме вычислим из мольной теплоемкости _v (табл.) для многоатомных газов

Давление в конечном состоянии

.

Пример 1.5. Кислород, имеющий массу 10 кг и температуру 27 ⁰С при нагревании при постоянном давлении Р = 0,3 МПа увеличивает объем в 1,5 раза. Определить конечную температуру газа, работу и количество теплоты, изменение внутренней энергии и энтропии в этом процессе. Теплоемкость принять постоянной.

Решение:

Вычисляем конечную температуру:

T₂ = T₁(υ₂ / υ₁) = (27 + 273)1,5 = 450 ⁰C

или

t₂ = T₂ - 273 = 177 ⁰C

Находим работу расширения

L = m ∙ l = m ∙ R(T₂ – T₁) = 10 ∙ 8314 / 32(450 - 300) = 390 кДж.

Количество теплоты

Q_p = m ∙ q = m ∙ C_p(t₂ – t₁) = m ∙ μC_p / M(t₂ – t₁) = 10 ∙ (29,3 / 32)150 = 1373 кДж,

где мольная теплоемкость двухатомного газа μC_p = 29,3 кДж/(моль∙ К).

Изменение внутренней энергии

ΔU = Q_p – L = 1373 – 390 = 983 кДж.

Изменение энтропии

ΔS = m ∙ΔS = m ∙ C_p ∙ln(T₂ / T₁) = 10 ∙(29,3 / 32)ln(450 / 300) = 31 кДж/К.

Пример 1.6. 25 кг воздуха при 27 ⁰С изотермически сжимаются до тех пор, пока давление не становится равным 4,15 МПа. На сжатие затрачивается работа L = -8,0 МДж. Найти начальные давления и объем, конечный объем и теплоту, отведенную от воздуха.

Решение: Работа сжатия воздуха равна:

 

L = m ∙ RTln(P₁ / P₂)

отсюда:

lnP₁ = lnP₂ + L / (m∙R∙T); P₁ = exp(lnP₂ = L / m ∙RT)

 

подставим значения величин и вычислим

P₁ = 0,101 МПа.

 

Начальный объем найдем из уравнения состояния

 

V₁ = m∙RT / P₁ = 25 ∙ (287 ∙ 300) / 0,101 ∙ 10⁶ = 21,3 м³.

 

Конечный объем найдем из соотношения между параметрами в изотермическом процессе.

 

V₂ = P₁ ∙ V₁ / P₂ = (0,101 ∙ 21,3) / 4,15 = 0,62 м³.

 

В изотермическом процессе теплота равна работе расширения

 

Q = L = -8 МДж.

 

Пример 1.7. В компрессор газотурбинной установки входят 5 кг воздуха с начальными параметрами: Р₁ = 100 кПа и t₁ = 27 ⁰С. Воздух адиабатно сжимается до давления 400 кПа. Определить начальный и конечный объем, конечную температуру, работу сжатия и изменение внутренней энергии.

Решение: Начальный объем находим из уравнения состояния

V₁ = m∙RT₁ / P₁ = 5∙287∙800/(1∙10⁵) = 4,3 м³.

 

Конечный объем определяем из уравнения адиабаты

V₂ = V₁(P₁ / P₂)^1/k = 4,3∙(100/4000)^1/1,4 = 0,262 м³.

 

k – показатель адиабаты для двухатомного газа, k = 1,4.

 

Конечную температуру определили или из уравнения адиабаты или из уравнения состояния

T₂ = P₂∙V₂ / (m∙R) = 4∙10⁶ ∙ 0,262 / (5∙287) = 720.

 

Находим работу сжатия L = (P₁V₁ – P₂V₂)/(k - 1) = (0,1∙10⁶∙4,3 –

 

- 4∙10⁶∙0,262) ∙10³/(1,4 - 1) = - 1550 кДж..

 

Изменение внутренней энергии вычисляем из 1-го закона термодинамики для адиабатного процесса

 

ΔU = - L = 1550 кДж.

 

Пример 1.8. 2 кг воздуха с начальной температурой t₁ = 17 ⁰C и давлением Р₁ = 0,2 МПа сжимаются по политропе с уменьшением объема в 5раз. Давление в конце сжатия Р₂ = 1,62 МПа. Определить работу и теплоту в процессе, изменение внутренней энергии и энтропии. Изобразить процесс в PV- и TS- диаграммах состояния. Теплоемкость считать постоянной.

Решение: Найдем показатель политропы сжатия

 

 

Температуру воздуха в конце сжатия определим, исходя из зависимости между параметрами состояния в политропном процессе

 

T₂ = T₁ (υ₁ / υ₂)^n-1 = 290 ∙ 5^{(1,3 - 1)} = 470 К.

 

Работа сжатия

 

L = mR(T₁ – T₂)/(n - 1 ) = 2 ∙0,287(290 - 470)/(1,3-1) = - 344 кДж.

 

Количество теплоты

Q = mC_n (T₂ – T₁) =2(-0,24)(470 - 290) = -84 кДж.

 

C_n – теплоемкость в политропном процессе

 

C_n = C_υ(n - k)/(n - 1)=μC_υ(n - k)/M(n - 1) = 20,95(1,3 – 1,4)/29(1,3 - 1) =

= -0,24кДж/кг∙К.

 

Изменение внутренней энергии

 

ΔU = C_υ(T₂ – T₁) = 20,95(470 - 290) = 130 кДж/кг.

 

Изменение энтропии

 

ΔS = C_nln(T₂/T₁) = -0,24ln(470/290) = -0,116 кДж/(кг∙К).

 

Примерный вид процесса в PV- и TS- координатах показан на рис.3.

Рис.3. Изображение политропного процесса (пример 1.8) в Рυ –и TS – диаграммах, 1-2 – политропный процесс с n = 1,3; 1-2΄ - адиабата; 1-2˝ - изотерма.

 

Пример расчета цикла

Задан цикл, состоящий из следующих процессов: 1-2 Р = const; 2-3 S=const; 3-4 υ= const; 4-1 n = 1,3; P₁ = 0,1 МПа; Т₁ = 338 К; Т₂ = 273 К; Т₃ = 433 К.

Дадим примерный вид цикла в Pυ- и TS- диаграммах (рис. 4). В Pυ – координатах построение начнем с процесса 1-2. Это изобарный процесс, идущий с уменьшением температуры, а следовательно, и с уменьшением объема. Т₂ располагается левее точки 1.

 

Рис. 4. Примерное изображение цикла в Pυ – и TS – диаграммах.

 

2-3 – адиабатный процесс, идущий с увеличением температуры, а следовательно, с уменьшением объема (PdS = C_vdT). Точка 3 располагается выше и левее т.2. 3-4 изохорный процесс, сопровождающийся ростом температуры. Точка 4 располагается выше т.3. Замыкает процесс политропа 4-1.

В TS диаграмме т.2 расположена ниже и левее точки 1, адиабата 2-3 изображается вертикальным отрезком, причем точка 3 будет расположена выше точки 1 (Т₃ > Т₁). Изохора 3-4 направлена от точки 3 вверх и вправо, но т. 4 должна располагаться левее точки 1, т.к. показатель 4-1 меньше показателя адиабаты. Определяем параметры состояния всех точек цикла. Из уравнения состояния найдем удельный объем воздуха в точке 1.

м³/кг.

 

Удельный объем V₂ равен:

м³/кг.

 

Используя соотношение между параметрами состояния для адиабатного процесса, определим удельный объем v ₃:

; .

 

Давление Р₃ равно:

 

Па.

Температуру Т₄ найдем из соотношения между параметрами в политропном процессе:

 

; (3-4 изохора)

 

К.

 

Давление Р₄ равно:

 

Па.

 

Параметры состояния сводим в таблицу 4.

Таблица 4

Точка	Р, МПа	м3/кг	Т, К
	0,1	0,97
	0,1	0,78
	0,52	0,24
	0,62	0,24

 

Процесс 1-2 n= 0; C = C_p = 1,025;

q = C_p ∙ (T₂ – T₁) = 1,025 ∙ (273 - 338) = -67 кДж/кг;

ΔU = C_υ ∙ (T₂ – T₁) = (C_p - R)∙(T₂ – T₁) = (1,025 – 0,287)∙(273 - 338) = -48 кДж/кг;

C υ = C_p ∙ R = 1,025 – 0,287 = 0,738 кДж/(кг∙К);

l = P∙(υ₂ – υ₁) = 0,1∙10⁵ (0,78 – 0,97) = -19000 Дж/кг = -19 кДж/кг;

ΔS = C_pln(T₂ / T₁) = 1,025∙ln(273 / 335) = 0,22 кДж/(кг∙К);

Δh = q = -67 кДж/кг.

 

Процесс 2-3 n = k, C = 0.

q = 0;

ΔU = C υ (T₃ – T₂) = 0,738∙(433 - 273) = 119 кДж/(кг∙К);

L = -ΔU = -119 кДж/(кг∙К);

ΔS = 0;

Δh = C_p ∙ (T₃ – T₂) = 1,025 ∙ (433 - 273) = 166 кДж/кг;

 

Процесс 3-4; n = ∞; C = C υ = 0,738 кДж/(кг∙К)

q = ΔU = C υ (T₄ – T₃) = 0,738∙(514 - 433) = 61 кДж/кг;

l = C;

ΔS = C υ ln(T₄ / T₃) = 0,738 ∙ ln (514 / 433) = 0,13 кДж / (кг∙К).

 

Процесс 4-1; n = 1,3; C = C υ [(n - k) / (n - 1)] = 0,738 [(1,3 – 1,4) / (1 – 1,4)] =

= - 0,22 кДж/(кг∙К);

q = C(T₁ – T₄) = -0,22∙(338 - 514) = 39 кДж/кг;

ΔU = C υ (T₁ – T₄) = 0,738 ∙ (338 - 514) = -132 кДж/кг;

l = (P₄∙υ₄ – P₁∙ υ ₁) / (n - 1) = (0,62∙0,24) –(0,1∙0,97)∙10³ / (1,3 - 1) = 170 кДж/кг;

ΔS = C∙ln (T₁ / T₄) = -0,22 ln(338 / 514) = 0,09 кДж/(кг∙К);

Δh = C_p (T₁ – T₄) = 1,025 (338 - 514) = 183 кДж/кг.

 

Полученные значения сводим в таблицу 5

Таблица 5

Процессы	n	C, кДж/(кг∙К)	ΔU, кДж/кг	Δh, кДж/кг	ΔS, кДж/(кг∙К)	q, кДж/кг	l, кДж/кг
1-2		1,025	-48	-67	-0,22	-67	-19
2-3	К						-118
3-4		0,738			0,13
4-1	1,3	-0,22	-132	-183	0,09
Сумма

 

Подведенное количество теплоты 100 кДж/кг.

Отведенное количество теплоты 67 кДж/кг.

Работа цикла 33 кДж/кг.

Термический КПД ή = l / q_п = 33 / 100 = 0,33.

Изобразим цикл в PV – и TS – координатах с учетом масштаба.

 

В PV – диаграмме для адиабаты 2-3 и политропы 4-1 найдем координаты дополнительных точек.

 

m a; υ_a = 0,6; P_a = P₂(υ₂ / υ_a)^k = 0,1(0,78 /0,6)^1,4 = 0,144 МПа,

m b; υ_b = 0,4; P_b = 0,1(0,78 /0,4)^1,4 = 0,255 МПа,

m c; υ_c = 0,3; P_c = 0,1(0,78 / 0,3)^1,4 = 0,38 МПа,

m d; υ_d = 0,3 P_d = 0,1(0,97 / 0,3)^1,3 = 0,46 МПа,

m e; υ_e = 0,4; P_e = 0,1(0,97 / 0,4)^1,3 = 0,32 МПа,

m f; υ_f = 0,6; P_f = 0,1(0,97 / 0,6)^1,3 = 0,19 МПа,

m g; υ_g = 0,8; P_g = 0,1(0,97 / 0,8)^1,3 = 0,13 МПа.

 

Построим цикл в TS – диаграмме. Примем за точку отсчета энтропии нормальные условия:

T = 0 ⁰C и Р = 1,013∙10⁵ Па, т.к. в точке 2 Т = 273 К, Р = 1∙10⁵ Па,

то S₂ ≈ 0; S₃ = S₂ = 0; S₄ = S₃ + ΔS_1-4 = 0 + 0,13 = 0,13 кДж/(кг∙К);

S₄ = S₃ + ΔS_4-1 = 0,13 + 0,9 = 0,22 кДж/(кг∙К).

 

Найдем энтропию в промежуточных точках.

m a; Т_a = 325 К; S_a = C_p ∙ln(T₁ / T_а) = 1,025ln(325 / 273) = 0,18 кДж/(кг∙К),

m b; Т_b = 300K; S_b = 1,025ln(300 / 273) = 0,1 кДж/(кг∙К),

m c; Т_c = 450K; S_c = C_υ ln(T_с / T₃) = 0,738ln(450 / 433) = 0,03 кДж/(кг∙К),

m d; Т_d = 475K; S_d = 0,738ln(475 / 433) = 0,07 кДж/(кг∙К),

m e; Т_e = 450K; S_e = S +C_пол ln(T_е / T₄) = 0,13+ (-0,22 ln(450 / 514)) =0,16 кДж/(кг∙К),

m f; Т_f = 400K; S_f = 0,13+(-0,22ln(400 / 514)) = 0,185 кДж/(кг∙К).

 

Контрольные задачи

Задача 1.1. Определить, какое количество кислорода было израсходовано из баллона емкостью 40 л, если манометрическое давление в нем снизилось со 196 ат до 49 ат, а температура возросла с 27 до 37 ⁰С. Барометрическое давление 740 мм. рт. ст.

Задача 1.2. Компрессор подает сжатый воздух в резервуар, причем за время работы компрессора давление в резервуаре повышается с атмосферного до 7 бар, а температура от 20 до 25 ⁰С. Объем резервуара 56 м³. Барометрическое давление 745 мм.рт.ст. Определить массу воздуха, поданного компрессором в резервуар.

Задача 1.3. Поршневой компрессор всасывает в минуту 3 м³ воздуха при температуре 17 ⁰С и барометрическом давлении В = 750 мм.рт.ст. и нагнетает его в резервуар, объем которого 8,5м³. За сколько минут компрессор поднимает давление в резервуаре до 700 кПа, если температура в нем будет оставаться постоянной? Начальное давление воздуха в резервуаре составляло 750 мм.рт.ст. при 17 ⁰С.

Задача 1.4. В баллоне емкостью 40л находится аргон под давлением Р = 10 МПа при t = 27 ⁰С. Определить, какое количество аргона было израсходовано из баллона, если давление в нем снизилось до 7 МПа при той же температуре? До какой температуры надо нагреть газ, чтобы при оставшемся количестве аргона восстановить начальное давление 10 МПа?

Задача 1.5. В сосуде объемом 0,5м³ находится воздух при барометрическом давлении 100 кПа и температуре 300 ⁰С. Воздух откачивается до тех пор, пока в сосуде не образуется вакуум 600 мм.рт.ст. Температура воздуха после откачивания остается прежней. Сколько воздуха (в кг) откачано? Чему будет равно давление в сосуде, если оставшийся в нем воздух охладить до 20 ⁰С.

Задача 1.6. При автогенное резке металлов расходуется кислород и водород. Кислород берется из баллона объемом 50 л. Давление кислорода падает с 12 МПа до 8 МПа, а температура с 30 до 17 ⁰С. Водород расходуется из баллона объемом 40 л. Начальные его параметры Р₁ = 10 МПа, t₁ = 27 ⁰С, конечные Р₂ = 10 МПа, t₂ = 17 ⁰С. Определить расход кислорода на 1кг водорода.

Задача 7. Газгольдер имеет емкость V = 30 м³. Сколько килограммов водорода нужно подать в газгольдер, чтобы при t = 20 ⁰С в нем было давление Р = 1,6 МПа (по манометру). Начальное показание манометра Р = 0,25 МПа при температуре 10 ⁰С. Барометрическое давление 750 мм.рт.ст.

Задача 1.8. Аудитория имеет размеры 6x8x5 м. Какое количество воздуха удалится из нее при повышении температуры с t₁ = 15 ⁰C до t₂ = 2 ⁰C, если атмосферное давление В₀ = 775 мм.рт.ст.

Задача 1.9. Газгольдер, объемом V = 50 м³, заполнен хлором до давления 0,8 МПа по манометру при температуре 30 ⁰С. На технологические нужды израсходовали 200 м³ газа (объем приведен к нормальным условиям). Какое давление покажет манометр на газгольдере, если температура понизилась до 17 ⁰ С. Барометрическое давление 0,1 МПа.

Задача 1.10. В резервуар объемом 3м³ компрессором нагнетается углекислый газ. Начальное показание манометра Р₁ = 0,3ати, конечное 3 ати. Температура повышается от t₁ = 45 ⁰C до t₂ = 70 ⁰С. Определить вес подкаченного углекислого газа. Барометрическое давление 735,5 мм.рт.ст.

Задача 1.11. Какое количество воздуха в кг было израсходовано на пуск двигателя, если известно, что объем пускового баллона 200л, температура воздуха в нем перед пуском и после пуска 20 ⁰С,давление снизилось с 23 до 19 ат.

Задача 1.12. Резервуар объемом 12 м³ заполняется углекислым газом до давления 8 ати при t = 20 ⁰С с помощью компрессора. Компрессор засасывает в минуту 6 м³ углекислого газа при барометрическом давлении 740 мм.рт.ст. и температуре 20 ⁰С. Найти время, в течение которого компрессор заполнит резервуар углекислотой до необходимого давления, если перед пуском компрессора в резервуаре находился углекислый газ при давлении и температуре среды.

Задача 1.13. Воздух, заключенный в баллоне емкостью 0,9 м³, выпускается в атмосферу. Температура его равна 27 ⁰С. Определить вес израсходованного воздуха, если до его выпуска давление в баллоне составляло 9,5 МПа, после выпуска 4,2 МПа, а температура воздуха снизилась до 17 ⁰С.

Задача 1.14. Масса газа в баллоне m = 2,9кг, давление в баллоне по манометру 4 МПа. После того, как часть газа израсходовали, давление понизилось до 1,5 МПа, температура до 10 ⁰С. Определить массу израсходованного газа, если барометрическое давление 755 мм.рт.ст., а начальная температура газа 30 ⁰С. R = 290 Дж/(кг∙К).

Задача 1.15. Поршневой компрессор подает 2,4м³ воздуха в минуту (объем приведен к нормальным условиям). За какое время данный компрессор сможет поднять давление воздуха в ресивере от Р₁ = 0,2 МПа до Р₂ = 0,8 МПа. Объем ресивера 5м³, температура воздуха 20 ⁰С.

Задача 1.16. Для смеси газов определить: кажущуюся молекулярную массу, газовую постоянную, плотность и парциальные давления компонентов, если давление смеси Р_см, температура t_см. Состав смеси взять по первой цифре варианта, давление и температуру по второй (таблиц 6, 7)

Задача 1.17. Определить среднюю массовую и объемную теплоемкости при Р = const и V = const для смеси газов в пределах температур t₁ и t₂, приняв зависимость теплоемкости от температуры линейной. Вычислить показатель адиабаты для смеси (К = С_р / С_v). Состав газа принять по первой цифре варианта (таблица), температуры t₁ и t₂ по второй (таблиц 6, 8)

 

Таблица 6

Состав газа к задачам 1.16 и 1.17

Первая цифра варианта	СО2	Н2	СО	О2	N2	H2O	Примечание
		-	-				Массовые проценты
			-			-	Массовые проценты
			-	-			Массовые проценты
		-			-		Массовые проценты
			-	-			Массовые проценты
				-		-	Объемные проценты
		-	-				Объемные проценты
	-					-	Объемные проценты
					-	-	Объемные проценты
		-	-				Объемные проценты

 

Таблица 7

Параметры к задаче 1.16

Вторая цифра варианта
Ром, МПа	0,12	0,14	0,16	0,18	0,2	0,22	0,24	0,26	0,28	0,3
Tсм 0С

 

 

Таблица 8

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: