Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Изгиб упругих пластинок. Метод Ритца–Тимошенко.




Сущность вариационных методов решения задач теории изгиба пластинок заключается в приведении основного дифференциального уравнения в частных производных С.Жермен-Лагранжа к системе линейных алгебраических уравнений или к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Для приведения основного дифференциального уравнения изгиба пластинки к системе линейных алгебраических уравнений, приближенное значение функции прогибов можно выбирать в виде ряда с конечным числом членов:

, (7.2.1)

где - линейные независимые фукции, удовлетворяющие граничным условиям задачи; постоянные параметры, подлежащие определению.

В зависимости от числа членов ряда (7.2.1) решение может быть получено с любой степенью точности.

Постоянные параметры выбирают из условий, чтобы функция (7.2.1) по возможности точнее представляла искомую функцию . Из различных методов отыскания постоянных параметров рассмотрим два: метод Ритца–Тимошенко и метод Бубнова–Галеркина, которые относятся к прямым вариационным методам.

Метод Ритца первоначально был изложен Рэлеем (Дж. Уильям Стрэтт) для теории звука в 1877 г. и математически обоснован и развит Вальтером Ритцем в 1908 г.; С.П. Тимошенко называет его «метод Рэлея-Ритца», сейчас он больше известен как метод Ритца – Тимошенко.

Метод Ритца–Тимошенко основан на использовании известного из курса теоретической механики принципа возможных перемещений: для того, чтобы система, подчиненная идеальным удерживающим связям, находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на всяком возможном перемещении равнялась нулю.

Рассматривая отдельно действие внешних и внутренних сил, принцип возможных перемещений можно представить следующим образом:

(а)

где: - возможная работа внешних сил (объемных и поверхностных) на каком-либо возможном перемещении;

- возможная работа внутренних сил, представляющая собой приращение потенциальной энергии на том же возможном перемещении с обратным знаком.

Пусть тело находится в равновесии под действием объемных сил, составляющие которых X, Y, Z, и поверхностных сил . Дадим частицам тела возможные перемещения, составляющие которых , и подсчитаем работу внешних сил на этих возможных перемещениях. Элементарная работа составляющей объемных сил Х, приходящейся на единицу объема, равна произведению этой силы на объем бесконечного малого элемента и на возможное перемещение в направлении этой силы:

.

Точно так же элементарные работы составляющих объемных сил Y и Z равны соответственно:

Работа, производимая объемными силами во всем объеме тела V, равна интегралу по этому объему от суммы элементарных работ, совершаемых каждой из составляющих объемной силы:

(б)

Элементарная работа составляющей поверхностных сил , которая действует на бесконечно малом элементе поверхности ds, равна произведению равнодействующей этой составляющей на площадке ds на возможное перемещение в направлении этой составляющей:

Аналогично определяются и элементарные работы двух других составляющих поверхностных сил:

Работа, производимая поверхностными силами, действующими на всей поверхности тела s, равна интегралу по всей поверхности тела от суммы элементарных работ, совершаемых каждой из составляющих поверхностных сил:

. (в)

Таким образом, возможная работа всех внешних сил на возможных перемещениях равна суме работ объемных (б) и поверхностных (в) сил:

(г)

При вычислении возможной работы внешних сил варьировались только перемещения , а поверхностные силы оставалась постоянными, поэтому оператор в формуле (г) можно вынести из-под знаков интегралов, сделав общим для обоих интегралов:

 

(д)

 

Приращение потенциальной энергии в формуле (а) подсчитывается согласно интегралу:

, (е)

где - удельная потенциальная энергия, определяемая по формуле Клапейрона

W = .

Представляя в соотношении (а) оператор общим для обоих слагаемых, получаем:

. (ж)

Выражение, стоящее в скобках, представляет собой работу всех внешних и внутренних сил, приложенных к телу. Эта величина с обратным знаком является потенциальной энергией системы внешних и внутренних сил, действующих на упругое тело:

.(7.2.2)

Вводя это обозначение, вместо условия (ж) получаем следующее соотношение:

. (з)

Так как первая вариация δ с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка равна первому дифференциалу, то вместо условия (з) можно написать

,

а это условие означает, что потенциальная энергия системы Э имеет экстремальное значение.

В курсе теоретической механики доказывается теорема Лагранжа – Дирихле, на основании которой можно сформулировать следующий принцип минимума потенциальной энергии: из всех возможных перемещений упругого тела перемещения, удовлетворяющие условиям устойчивого равновесия, сообщают потенциальной энергии системы минимального значения.

Таким образом, потенциальная энергия системы (7.2.2):

, (7.2.3)

где потенциальная энергия , накапливаемая в упругом теле, определяется по формуле, полученной интегрированием по всему объему тела V формулы Клапейрона:

U = (7.2.3а)

Для изгибаемых пластинок, защемленных по произвольному контуру, или прямоугольных шарнирно опертых по всем сторонам,формула (7.2.3а) упрощается:

U= 2dxdy, (7.2.3б)

где D – цилиндрическая жесткость пластинки: D=Eh3/12(1-μ2), а двойной интеграл берется по всей площади срединной поверхности пластинки.

Работа объемных и поверхностных сил согласно формуле (д):

(и)

При изгибе пластинки объемными силами пренебрегают, а из составляющих поверхностных сил отлична от нуля только одна:

.

Подставляя это выражение в формулу (и) и выбирая элемент поверхности ds в виде прямоугольника со сторонами dx и dy, получаем работу внешних сил при изгибе пластинки:

(7.2.4)

Если приближенное значение функции прогибов выбирать в виде ряда (7.2.1), то после подстановки этого значения в формулу (7.2.3) потенциальная энергия системы окажется функцией параметров :

Чтобы найти значения параметров , соответствующие минимуму потенциальной энергии системы, нужно приравнять нулю частные производные:

(7.2.5)

Производная квадратичной функции параметров оказывается линейной функцией этих параметров, поэтому соотношения (7.2.5) представляют собой систему линейных уравнений с неизвестными параметрами .

Таким образом, метод Ритца–Тимошенко позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения С.Жермен-Лагранжа задачей о нахождении минимума потенциальной энергии. Такая замена возможна в связи с тем, что как дифференциальное уравнение изгиба пластинки, так и вариационное уравнение (з) являются уравнениями равновесия упругого тела.

Рассматривая вариационное уравнение (з) в форме

, (к)

внесем в него выражения потенциальной энергии (7.2.3а), формулу приращения удельной потенциальной энергии Клапейрона, а также возможную работу всех внешних сил (г), и учтем, что вариация геометрических уравнений Коши дает

,

……… …… …… ……

… ……… ……… …… …..

В результате преобразований, опущенных из-за громоздкости, получим вместо (з) уравнение, в котором возможные перемещения , , ничем между собой не связаны; поэтому, чтобы последнее уравнение обращалось в тождество при любых значениях возможных перемещений, должны обращатся в нуль коэффициенты при этих возможных перемещениях. Таким образом, получим шесть уравнений: три уравнения представляют собой статические условия на поверхности в напряжениях(7.5), а три уравнения – дифференциальные уравнения равновесия (7.2). Следовательно, вариационное уравнение (к) заключает в себе дифференциальные уравнения равновесия (7.2) и статические граничные условия (7.5). Отсюда следует, что при использовании вариационного уравнения (к) для приближенного решения задач при выборе функции φi обязательными являются только геометрические граничные условия, а статические граничные условия и дифференциальное уравнение задачи удовлетворяются автоматически.

Таким образом, решение задачи об изгибе пластинки методом Ритца–Тимошенко состоит в следующем. Приближенное значение функции прогибов (x,y) выбираем в форме двойного ряда:

 

(л)

Функции должны удовлетворять геометрическим граничным условиям. Вычисляем приближенное значение потенциальной энергии системы . Для определения постоянных используем систему уравнений (7.2.5), которые в данном случае примут вид

(7.2..6)

Решив эту систему уравнений, найдем параметры ,которые подставим в функцию прогибов (л) и получим приближенное решение задачи об изгибе пластинки.

Следует заметить, что, хотя удовлетворение статических граничных условий в методе Ритца–Тимошенко необязательно, лучше по возможности выбирать функции так, чтобы они удовлетворяли всем граничным условиям, как геометрическим, так и статическим. В этом случае ряд быстрее сходится к точному решению, а при вычислениях бывает достаточно ограничиться одним-двумя членами ряда.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...