Изгиб упругих пластинок. Метод Ритца–Тимошенко.
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Сущность вариационных методов решения задач теории изгиба пластинок заключается в приведении основного дифференциального уравнения в частных производных С.Жермен-Лагранжа к системе линейных алгебраических уравнений или к обыкновенному дифференциальному уравнению. Для приведения основного дифференциального уравнения изгиба пластинки к системе линейных алгебраических уравнений, приближенное значение функции прогибов
где В зависимости от числа членов ряда (7.2.1) решение может быть получено с любой степенью точности. Постоянные параметры Метод Ритца первоначально был изложен Рэлеем (Дж. Уильям Стрэтт) для теории звука в 1877 г. и математически обоснован и развит Вальтером Ритцем в 1908 г.; С.П. Тимошенко называет его «метод Рэлея-Ритца», сейчас он больше известен как метод Ритца – Тимошенко. Метод Ритца–Тимошенко основан на использовании известного из курса теоретической механики принципа возможных перемещений: для того, чтобы система, подчиненная идеальным удерживающим связям, находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на всяком возможном перемещении равнялась нулю. Рассматривая отдельно действие внешних и внутренних сил, принцип возможных перемещений можно представить следующим образом:
где:
Пусть тело находится в равновесии под действием объемных сил, составляющие которых X, Y, Z, и поверхностных сил
Точно так же элементарные работы составляющих объемных сил Y и Z равны соответственно: Работа, производимая объемными силами во всем объеме тела V, равна интегралу по этому объему от суммы элементарных работ, совершаемых каждой из составляющих объемной силы:
Элементарная работа составляющей поверхностных сил Аналогично определяются и элементарные работы двух других составляющих поверхностных сил: Работа, производимая поверхностными силами, действующими на всей поверхности тела s, равна интегралу по всей поверхности тела от суммы элементарных работ, совершаемых каждой из составляющих поверхностных сил:
Таким образом, возможная работа всех внешних сил на возможных перемещениях равна суме работ объемных (б) и поверхностных (в) сил:
При вычислении возможной работы внешних сил варьировались только перемещения
Приращение потенциальной энергии
где W = Представляя в соотношении (а) оператор
Выражение, стоящее в скобках, представляет собой работу всех внешних и внутренних сил, приложенных к телу. Эта величина с обратным знаком является потенциальной энергией системы внешних и внутренних сил, действующих на упругое тело:
Вводя это обозначение, вместо условия (ж) получаем следующее соотношение:
Так как первая вариация δ с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка равна первому дифференциалу, то вместо условия (з) можно написать
а это условие означает, что потенциальная энергия системы Э имеет экстремальное значение. В курсе теоретической механики доказывается теорема Лагранжа – Дирихле, на основании которой можно сформулировать следующий принцип минимума потенциальной энергии: из всех возможных перемещений упругого тела перемещения, удовлетворяющие условиям устойчивого равновесия, сообщают потенциальной энергии системы минимального значения. Таким образом, потенциальная энергия системы (7.2.2):
где потенциальная энергия U = Для изгибаемых пластинок, защемленных по произвольному контуру, или прямоугольных шарнирно опертых по всем сторонам,формула (7.2.3а) упрощается: U= где D – цилиндрическая жесткость пластинки: D=Eh3/12(1-μ2), а двойной интеграл берется по всей площади срединной поверхности пластинки. Работа объемных и поверхностных сил
При изгибе пластинки объемными силами пренебрегают, а из составляющих поверхностных сил отлична от нуля только одна:
Подставляя это выражение в формулу (и) и выбирая элемент поверхности ds в виде прямоугольника со сторонами dx и dy, получаем работу внешних сил при изгибе пластинки:
Если приближенное значение функции прогибов выбирать в виде ряда (7.2.1), то после подстановки этого значения в формулу (7.2.3) потенциальная энергия системы окажется функцией параметров Чтобы найти значения параметров
Производная квадратичной функции параметров Таким образом, метод Ритца–Тимошенко позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения С.Жермен-Лагранжа задачей о нахождении минимума потенциальной энергии. Такая замена возможна в связи с тем, что как дифференциальное уравнение изгиба пластинки, так и вариационное уравнение (з) являются уравнениями равновесия упругого тела. Рассматривая вариационное уравнение (з) в форме
внесем в него выражения потенциальной энергии (7.2.3а), формулу приращения удельной потенциальной энергии Клапейрона, а также возможную работу всех внешних сил (г), и учтем, что вариация геометрических уравнений Коши дает
……… …… …… …… … ……… ……… …… ….. В результате преобразований, опущенных из-за громоздкости, получим вместо (з) уравнение, в котором возможные перемещения
Таким образом, решение задачи об изгибе пластинки методом Ритца–Тимошенко состоит в следующем. Приближенное значение функции прогибов
Функции
Решив эту систему уравнений, найдем параметры Следует заметить, что, хотя удовлетворение статических граничных условий в методе Ритца–Тимошенко необязательно, лучше по возможности выбирать функции
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|