 |
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
|
|
|
|
Рассмотрим известные из школьного курса математики понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя натуральных чисел, сформулируем их основные свойства, опустив все доказательства.
Определение. Общим кратным натуральных чисел а иb называется число, которое кратно каждому из данных чисел.
Наименьшее число из всех общих кратных чисел а и b называется наименьшим общим кратным этих чисел.
Наименьшее общее кратное чисел а и b условимся обозначать К(а, b).
Например, два числа 12 и 18 общими кратными являются: 36, 72, 108, 144, 180 и т.д. Число 36 - наименьшее общее кратное чисел 12 и 18. Можно записать: К(12, 18) = 36.
Для наименьшего общего кратного справедливы следующие утверждения:
1. Наименьшее общее кратное чисел а и b всегда существует и является единственным.
2. Наименьшее общее кратное чисел а и b не меньше большего из данных чисел, т.е. если а > b, то К(а, b) ≥ а.
3. Любое общее кратное чисел а и b делится на их наименьшее общее кратное.
Определение. Общим делителем натуральных чисел а и b называется число, которое является делителем каждого из данных чисел.
Наибольшее число из всех общих делителей чисел a и b называется наибольшим общим делителем данных чисел.
Наибольший общий делитель чисел а и b условимся обозначать D(а, b).
Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 6. Число 6 - наибольший общий делитель чисел 12 и 18. Можно записать: D(12, 18) = 6.
Число 1 является общим делителем любых двух натуральных чисел а и b. Если у этих чисел нет иных общих делителей, то D(a, b) - 1, а числа а и b называются взаимно простыми.
Например, числа 14 и 15- взаимно простые, так как D(14, 15)= 1.
Для наибольшего общего делителя справедливы следующие утверждения:
|
|
|
1. Наибольший общий делитель чисел а и b всегда существует и является единственным.
2. Наибольший общий делитель чисел а и b не превосходит меньшего из данных чисел, т.е. если а < b, то D(a, b) ≤a.
3. Наибольший общий делитель чисел а и b делится на любой общий делитель этих чисел.
Наименьшее общее кратное чисел а и b и их наибольший общий делитель взаимосвязаны: произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел а и b равно произведению этих чисел, т.е. К(а,b) ·D(a,b) = ab.
Из этого утверждения вытекают следующие следствия:
а) Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел, т.е.
D(a,b)=l => K(a,b) = a ·b.
Например, чтобы найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 15, достаточно их перемножить, так как D(14, 15) = 1.
б) Для того чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел тип, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на т,и на п.
Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.
Например, так как 6 = 2 ·3 и D(2,3) = 1, то получаем признак делимости на 6: для того, чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.
Заметим, что данный признак можно применять многократно. Сформулируем, например, признак делимости на 60: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на 4, и на 15. В свою очередь, число будет делиться на 15 тогда и только тогда, когда оно делится и на 3, и на 5. Обобщая, получаем следующий признак делимости на 60: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3 и на 5.
в) Частные, получаемые при делении двух данных чисел на их наибольший общий делитель, является взаимно простыми числами.
Этим свойством можно пользоваться при проверке правильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно последнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно простыми. Следовательно, D(24, 36) = 12.
|
|
|
Простые числа
Простые числа играют большую роль в математике- по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные числа. Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифметики натуральных чисел, которая приводится без доказательства:
Теорема. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.
Например, запись 110 = 2 ·5 ·11 есть представление числа 110 в виде произведения простых множителей или разложение его на простые множители.
Два разложения числа на простые множители считают одинаковыми, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Поэтому представление числа 110 в виде произведения 2-511 или произведения 5-211 есть, по существу, одно и то же разложение числа 110 на простые множители.
Раскладывая числа на простые множители, используют признаки делимости на 2, 3, 5 и др. Напомним один из способов записи разложения чисел на простые множители. Разложим, например, на множители число 90. Число 90 делится на 2. Значит, 2 есть один из простых множителей в разложении числа 90. Разделим 90 на 2. Число 2 запишем справа от знака равенства, а частное 45 - под числом 90. Число 45 делим на простое число 3, получаем 15. Делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 - простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложение на множители закончено.
90 =2 ·3 ·3 ·5
При разложении числа на простые множители произведение одинаковых множителей представляют в виде степени: 90 = 2 ·32 ·5; 60 = 22 ·3 ·5; 72 = 23 ·32. Такое разложение числа на простые множители называют каноническим.
В связи с возможностью представлять любое составное число в виде произведения простых множителей возникает необходимость определять, является данное число простым или составным. Эту задачу умели решать еще древнегреческие математики, которым были известны многие свойства простых чисел. Так, Эратосфеном (III в. до н.э.) был придуман способ получения простых чисел, не превышающих натурального числа а. Воспользуемся им для поиска всех простых чисел до 50.
|
|
|
Выпишем все натуральные числа от 1 до 50 и зачеркнем число 1 - оно не является простым. Число 2 - простое, обведем его кружком. После этого зачеркиваем каждое второе число, стоящее после 2, т.е. числа 4,6, 8,...
Первое незачеркнутое число 3 является простым, обведем его кружком. И вычеркнем каждое третье число, стоящее после 3, т.е. числа 9, 15,... (числа 6, 12 и др. зачеркнуты раньше).
Первое незачеркнутое число 5 является простым, его также обведем кружком. Зачеркнем каждое пятое число после 5 и т.д. (рис. 126).
Те числа, которые останутся после четырех вычеркиваний (исключая числа 2, 3, 5 и 7), не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7. В арифметике доказано, что если натуральное число а, большее единицы, не делится ни на одно из простых чисел, квадрат которых не превосходит а, то а число простое. Поскольку 72 = 49, а 49 < 50, то все оставшиеся числа — простые.
Итак, простыми числами, не превосходящими 50, являются 2, 3, 5, 7,11,13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47.
Описанный способ получения простых чисел называется решетом Эратосфена, так как позволяет отсеивать одно за другим составные числа.
С помощью метода, предложенного Эратосфеном, можно отыскивать все простые числа, не превосходящие заданного числа а. Но он не дает ответа на вопрос, конечно или нет множество простых чисел, - ведь могло бы оказаться, что все числа, начиная с некоторого, составные и множество простых чисел конечно. Решением этой проблемы занимался другой греческий математик - Евклид. Он доказал, что множество простых чисел бесконечно.
Действительно, предположим, что множество простых чисел конечное и исчерпывается числами 2, 3, 5, 7,..., р, где р - самое большое простое число. Перемножим все простые числа и их произведение обозначим через а. Прибавим к этому числу 1. Каким будет полученное число а + 1 - простым или составным?
Простым число а + 1 быть не может, потому что оно больше самого большого простого числа, а по предположению такие чисел не существует. Но составным оно тоже быть не может: если а + 1 составное, то оно должно иметь хотя бы один простой делитель q. Так как число а = 2-3-5-...р также делится на это простое число q, то и разность (а + 1) - а, т.е. число 1, делится на q, что невозможно.
Итак, число а не является ни простым, ни составным, но этого тоже не может быть - всякое число, отличное от 1, либо простое, либо составное. Следовательно, наше предложение о том, что множество простых чисел конечное и есть самое большое простое число, неверно, и значит, множество простых чисел бесконечное.
|
|
|
