Вопрос 41. Формулы интегрирования для неаналитических и аналитических функций

Пусть функция f (z) – определена и непрерывна в области G, а G – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G; z=x+iy, f(z)=u+iv, где u=u(x,y), v=v(x,y) – действительные функции переменных x и y. Вычисление интеграла от функции w=f(z) сводится к вычислению криволинейных интегралов второго рода

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t),а начальная и конечная точки дуги соответствуют значениям t=a, t=b, то

где z(t)=x(t)+iy(t).

Теорема: Если f(z) является аналитической функцией в некоторой односвязной области G, ограниченной кусочно-гладкой кривой Г, и на самой кривой, то

, (теорема Коши), и для любой внутренней точки z_0ОG имеем (интегральная формула Коши).

Кроме того, справедлива формула

Из теоремы Коши следует, что если w=f(z) – аналитическая функция в односвязной области G, то интеграл не зависит от пути интегрирования В этом случае для вычисления интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

где F(z) – какая-либо первообразная функции f(z), т. е. F ' (z)=f(z).

Для нахождения первообразной аналитической функции f(z) применяют те же табличные формулы и приемы интегрирования, что и при нахождении неопределенных интегралов для функций действительного переменного.

здесь кривые g₀, g₁,... g_n обходятся в “положительном” направлении, т. е. против часовой стрелки.

Если теперь z0О D, то выполняется также и интегральная формула Коши:

Вопрос 42. Интеграл вида …

Интеграл (n = 0, ±1, ±2, ±3, …). Возможные случаи: 1. Точка z ₀ лежит вне контура L. В этом случае подынтегральная функция аналитична в замкнутой области, ограниченной контуром, и интеграл равен нулю при любых целых n.
2. n ≥ 0. И здесь подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю.
3. n = - 1, и точка z ₀ лежит в области, ограниченной контуром L. Сведём интеграл по контуру L к более простому интегралу по окружности L _ρс центром в точке z ₀ радиуса ρ столь малого, что окружность L _ρ лежит внутри L. В двухсвязной области, расположенной между L и L _ρ, функция аналитична, поэтому (следствие из Теоремы Коши для многосвязной области) . Правый интеграл вычислим напрямую. Как и при вычислении любого криволинейного интеграла, мы должны параметризовать кривую. Если z ₀ = x ₀ + iy ₀, то параметрические уравнения окружности радиуса ρ с центром в точке (x ₀, y ₀) имеют вид Можно воспользоваться этими уравнениями, однако проще собрать их в комплексное число: z = x + iy = (x ₀ + ρ cos φ) + iy (y ₀ + ρ sin φ) = (x ₀ + iy ₀) + ρ(cos φ + i sin φ) = z ₀ + ρ e^{i φ} (таково параметрическое уравнение окружности на комплексной плоскости С), тогда dz = ρ ie^{i φ}, и .
4. n = -2, -3, -4, …. Выкладки в этом случае такие же, как и в предыдущем. вследствие периодичности первообразной.

Вопрос 43. Интегральная формула Коши

Пусть f(z) C (). Выразим f(z₀) z₀ g через значения f(z) на . Рассмотрим
j(z)= C ( /z₀). Поэтому, если в области g взять такой замкнутый контур g, чтобы точка z₀ попала внутрь ограниченной им области, то j (z) будет аналитической в двухсвязной области g^*, заключенной между и g. По теореме Коши для многосвязной области. интеграл от функции j(z) по кривой +g равен 0: .Т.к. , то . Поскольку интеграл, стоящий слева не зависит от выбора контура, то эти свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Удобно в качестве контура интегрирования выбрать окружность g_r с центром в точке z₀ и радиуса r. Положив на g _r x = z₀+r e^ij,
dx = ir e^ijdj, получим f(x)dj =i [f(x)-f(z₀)]dj + i f(z₀)dj =I+2p f(z₀).
Оценим I. | I | 2p |f(x)-f(z₀)|. Устремим r 0 при этом. x (r) z₀.Т.к. f(z)- аналитическая, а следовательно непрерывная в g, то для "e >0 $ d (e)>0 такое, что
|f(x)-f(z₀)|< e, как только |x (r)-z₀|<d. А это значит, что при r 0 I 0. Поскольку левая часть и второе слагаемое правой части не зависят от r, то переходя к пределу в обоих частях, получим интегральную формулу Коши: f(z₀)= .