 |
Классическое определение вероятности случайного события.
|
|
|
|
Вопрос.Охарактеризовать понятие определенного интеграла как предела интегральных сумм.
Пусть на отрезке 
задана функция 
(рис. 10.1).
Разобьем отрезок на 
элементарных отрезков точками 
,где 
. На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку 
и положим 
, где 
.
Сумму вида 
будем называть интегральной суммой для функции 
.Обозначим через 
максимальную из длин отрезков 
, т.е. 
.
Определение. Определенным интегралом от функции 
на отрезке называется предел интегральной суммы при 
, т.е. 
- нижний предел, 
- верхний предел, 
- подынтегральная функция, 
- подынтегральное выражение.
Замечание 1. Переменную под знаком интеграла можно обозначать любой буквой: 
и т. д.
Замечание 2. В отличие от неопределенного интеграла 
, который представляет семейство функций (первообразных), определенный интеграл 
есть определенное число.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Пусть на отрезке задана неотрицательная функция 
. Тогда площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
, прямыми 
, 
и осью абсцисс 
численно равна определенному интегралу от функции на 
. 
Вопрос.Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.
Обратите внимание на то, что
1. 
это функция от х, а 
это число.
2. Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, то есть
Однако если сделать пределы интегрирования переменными, мы получим уже функцию этих пределов.
Рассмотрим свойства функции от х 
Теорема 1. Пусть f(x) интегрируема на [a, b]. Тогда F(x) есть непрерывная функция на [a, b].
Теорема 2. Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует 
и 
Таким образом, у каждой непрерывной функции существует первообразная.
|
|
|
Аналогичными свойствами обладает и 
, только для нее 
.
Формула Ньютона-Лейбница.
Если существует непрерывная F(x) такая, что 
,то 
.
51 вопрос. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. (вторую часть вопроса не нашла)
Рассмотрим функцию 
пределенную и непрерывную на промежутке 
. Очевидно, определение определенного интеграла на таком промежутке бессмысленно. Предположим, что данная функция интегрируема на любом конечном промежутке вида [a, A]. Тогда интегралом от этой функции по бесконечному промежутку назовем 
Обозначать этот интеграл будем как 
Таким образом . Если этот предел существует, будем говорить, что интеграл сходится, в противном случае - расходится.Геометрически этот интеграл представляет собой площадь бесконечной фигуры.
Аналогично можно определить интегралы по промежуткам другого вида
Вопрос.Различные определения вероятности случайного события.
Теория вероятностей – математическая наука, которая по вероятностям одних событий позволяет оценивать вероятности других событий, связанных с первыми.
Подтверждением того, что понятие «вероятность события» не имеет определения, является тот факт, что в теории вероятностей существует несколько подходов к объяснению этого понятия:
Классическое определение вероятности случайного события.
Вероятность события А равна отношению числа благоприятных событию А исходов опыта к общему числу исходов опыта.
- число благоприятных исходов опыта;
- общее число исходов опыта.
Исход опыта называется благоприятным для события А, если при этом исходе опыта появилось событие А. Например, если событие А - появление карты красной масти, то появление туза бубей – исход, благоприятный событию А.
Пример
1)Вероятность выпадения 5 очков на грани кубика равна 
, поскольку кубик может упасть любой из 6 граней кверху, а 5 очков находятся только на одной грани.
|
|
|
|
|
|
