Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Исчисление высказываний ИВ.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВО

“Воронежский государственный УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНЫХ технологиЙ”

Кафедра информационных технологий,

Моделирования и управления

ЛОГИЧЕСКИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ

Методические указания

К практическим занятиям

Для студентов, обучающихся по направлению

09.03.02 – “Информационные системы и технологии”

Очной формы обучения

ВОРОНЕЖ

УДК 510.6(075.8)

Логические исчисления [Электронный ресурс]: метод. указания к практическим занятиям по дисциплине “Математическая логика и теория алгоритмов”/ Воронеж. гос. ун-т инж. технол.; сост. Ю. В. Бугаев, И. Ю. Шурупова. – Воронеж: ВГУИТ, 2015. – 24 с. – [ЭИ]

Методические указания разработаны в соответствии с требованиями ФГОС ВО подготовки выпускников по направленияю 09.03.02 –“Информационные системы и технологии”. Они предназначены для закрепления теоретических знаний дисциплины по выбору “Математическая логика и теория алгоритмов” вариативной части блока Б1. Работа содержит методику выполнения практических заданий и варианты заданий для самостоятельной работы.

Библиогр.: 6 назв.

Составители: профессор Ю.В. БУГАЕВ,

доцент И.Ю. ШУРУПОВА

Научный редактор доцент Л.А. КОРОБОВА

Рекомендуется к размещению

в ЭОС и ЭБ ВГУИТ

Ó Бугаев Ю.В., Шурупова И.Ю.,

Ó ФГБОУ ВПО “Воронежский

государственный университет

инженерных технологий”, 2015

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.

Цель занятий - овладение основами логического вывода и логического программирования, выработка навыков решения практических задач.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование компетенции:

- способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОПК-2).

Исчисление высказываний ИВ.

Исчисление высказываний ИВ – это аксиоматическая логическая система гильбертовского типа, адекватная алгебре высказываний. Опишем это исчисление.

В качестве алфавита исчисления высказываний возьмем следующее множество символов:

1) счетное множество высказывательных переменных, обозначаемых прописными латинскими буквами с индексами и без них;

2) символы логических операций ;

3) скобки (,).

Вместе с символами алфавита будем использовать и метасимволы: латинские буквы жирного шрифта для обозначения формул и знак = для обозначения формул метасимволами.

Множество формул обычно задается индуктивным определением. Допустимыми последовательностями символов или словами в языке исчисления высказываний являются формулы алгебры высказываний. Пункты 1 и 2 этого определения определяют элементарные формулы, а п. 3 – механизм образования новых формул.

Следует заметить, что в исчислении высказываний не разрешается опускать скобки для операций с большим приоритетом, что допустимо в алгебре высказываний. Так, например, формула алгебры высказываний не является формулой исчисления высказываний, ее следует записать, как , в дальнейшем изложении мы будем опускать лишь внешние скобки.

Следующим шагом в описании исчисления высказываний будет выделение класса формул, которые будем называть истинными или доказуемыми в исчислении высказываний. Это определение имеет такой же рекуррентный характер, как и определение формулы.

Сначала определим исходные истинные формулы, называемые аксиомами. В качестве системы аксиом примем следующие формулы (аксиоматика П.С.Новикова).

10.

После этого определим правила, позволяющие из истинных формул образовывать новые. Эти правила, мы будем называть правилами вывода. Образование истинной формулы из исходных истинных формул или аксиом путем применения правил вывода будем называть выводом данной формулы из аксиом.

Определим правила вывода, которые являются отношениями на множестве формул.

1. Правило подстановки.

Пусть U – формула, содержащая высказывательную переменную X. Тогда если U – истинная формула в исчислении высказываний, то, заменяя в ней переменную X всюду, куда она входит, произвольной формулой B, мы также получим истинную формулу.

U (¼, X,¼)

_________________________________________

U (¼, X,¼){ В // X }

2. Правило заключения (modus ponens).

Если U и U ® B истинные формулы в исчислении высказываний, то B также истинная формула, т.е.

Наряду с правилом заключения, мы будем использовать и другие правила образования истинных и выводимых формул. Эти правила являются производными, при их доказательстве используется понятие выводимости в логическом исчислении, аксиомы ИВ и правило заключения.

Перечислим основные из производных правил вывода. Как и прежде, метасимволы являются произвольными формулами, а через T обозначим конечное множество формул (возможно пустое). Так как доказательство большинства правил непосредственно следует из определения выводимости и аксиом ИВ, то приведём только их формулировки, доказав лишь ключевое правило 5 – в форме теоремы дедукции.

1. Правило повторения посылки.

T, |-

2. Правило введения посылки.

Если T |- , то T, |- .

3. Правило удаления посылки.

Если T, |- и T |- , то T |- .

4. Правило силлогизма.

Если T |- ,..., T |- и |- , то T |- .

5. Правило введения импликации.

Если T, |- , то T |- .

Это весьма важное свойство называют еще теоремой дедукции. Учитывая, что - конечное множество формул, правило 5 можно сформулировать в следующем виде:

Теорема дедукции. Если

|- B,

то

|- .

6. Правило удаления импликации.

Если T |- , то T, |- .

7. Правило введения конъюнкции.

T, |- .

8. Правило удаления конъюнкции.

T, |- ,

T, |- .

9. Правило введения дизъюнкции.

T, |- ,

T, |-.

10. Правило удаления дизъюнкции.

Если T, |- и T, |- , то T, |- .

11. Правило введения отрицания.

Если T, |- и T, |- , то T |- .

12. Правило удаления отрицания.

T, |-

13. Правило контрапозиции.

Если T, |- , то T, |- .

Правила 1-13 называют обычно правилами естественного вывода, а вывод формулы из системы посылок, при котором используются эти правила, - естественным выводом.

Рассмотрим примеры вывода формул с использованием правил естественного вывода. Всюду далее, строя вывод формулы, будем рядом с каждой формулой последовательности указывать применяемое правило (его номер), а затем, в круглых скобках, номера формул исходных посылок, к которым применялось данное правило.

Задание 1.1. Доказать, что в ИВ

|- .

Решение. Для доказательства эквивалентности формул в ИВ достаточно построить два вывода:

1) |- ;

2) |- .

Построим 1-й вывод.

1. \|-
2. \|- C
3. \|-
4. \|-
5. \|-	4 (3, 4)
6. \|-
7. \|-
8. \|-	4 (6, 7)
9. \|-	10 (5, 8)
10. \|-	4 (1, 2, 9)

Обратный вывод имеет вид

1. \|- A
2. A \|-
3. \|-	4 (1, 2)
4. \|- C
5. \|-
6. \|-	4 (3, 4, 5)
7. \|- B
8. B \|-
9. \|-	4 (7, 8)
10. \|- C
11. \|-	4 (9, 10, 5)
12. \|-	10 (6, 11)

Задание 1.2. Доказать, что

Решение.

1. \|-
2. \|-
3. \|-	13 (1)
4. \|- A
5. \|- A	4 (3, 4)
6. \|-	13 (2)
7. \|- B
8. \|- B	4 (6, 7)
9. \|-
10. \|-	4 (5, 8, 9)
11. \|-	13 (10)
12. \|-
13. \|-	4 (11, 12)

Задание 1.3. Доказать, что

Решение.

1. \|-
2. \|-
3. \|- Q	6 (1)
4. \|- R	6 (2)
5. \|-
6. \|-	4 (3, 4, 5)
7. \|-	5 (6)

Задание 1.4. Доказать, что

Решение.

1. \|-
2. \|-	6 (1)
3. \|- С	6 (2)
4. \|- A
5. \|- B
6. \|- С	2 (3)
7. \|- С	3 (6, 5)
8. \|- С	3 (7, 4)
9. \|-	5 (8)

Задание 1.5. Доказать, что

Решение. Построим вывод этой формулы.

1. \|-
2. \|-
3. \|-
4. \|-	6 (1)
5. \|-	6 (2)
6. \|-
7. \|-	4 (4, 6)
8. \|-	2 (3)
9. \|-	11 (7, 8)
10. \|-
11. \|-	4 (5, 10)
12. \|-	2 (3)
13. \|-	11 (11, 12)
14. , \|-
15. \|-	4 (9, 13, 14)
16. \|-	Теорема ИВ
17. \|-	4 (15, 16)

Контрольные вопросы и задания

Применяя правила подстановки и заключения, доказать, что следующие формулы являются теоремами исчисления высказываний (1 – 8).

Применяя правила подстановки и заключения, построить вывод формул из данной системы посылок (9 - 13).

10.

11.

12.

13.

Являются ли выводами в исчислении высказываний следующие последовательности формул (14 – 16).

14.

15.

16.

Применяя производные правила вывода, показать, что доказуемы формулы (17 – 34).

17. U ® B, P ® Q ú- (U Ù P) ® (B Ù Q)

18. U ® B, P ® Q ú- (U Ú P) ® (B Ú Q)

19. U ® B, P ® Q ú- (B ® P) ® (U ® Q)

20. ú-

21. ú-

22. (P ® Q) ® ((Q ® R) ® (P ® R))

23. (P ® Q) ® ((R ® P) ® (R ® Q))

24. Q ® R ® (P Ú Q) ® (P Ú R)

25. (P ® Q) Ú (Q ® P),

26. P ® (Q ® (P Ù Q))

27. (P ® Q) Ú (P ® Ø Q)

28. (P ® Q) ® ((P ® (Q ® R)) ® (P ® R)))

29. (P ® Q) ® ((P ® (Q ® R)) ® (P ® R)))

30. ((P ® Q) ® ((P ® Ø Q) ® Ø P))

31. ((Ø Q ® Ø P) ® ((Ø Q ® P) ® Q))

32. Q ® ((P Ú Q) Ù (Q Ú Ø P)

33. Q Ú (P Ù Ø Q) ® (P Ú Q)

34. Q ® (P Ú Ø R Ù Q Ú Q)

Применяя производные правила вывода, построить вывод формул (35 – 41).

35. , ú-

36. ú-

37. ú-

38. ú-

39. ú-

40. ú-

41. ú-

Применяя производные правила вывода, построить вывод формул. Проверить, справедлива ли выводимость в обратную сторону, если да, то построить вывод (42 – 57).

42. ú-

43. ú-

44. ú-

45. ú-

46. ú-

47. ú-

48. ú-

49. ú-

50. A ® (C ® P) ú- (A Ù C) ® P

51. ú-

52. ú- () ® P

53. P ® Q ú- (P ® )®

54. P Ú R Ú Q ú- ((P ® R) ® (( ® R)

55. (P ® Q) ® (P ® (Q ® R)) ú- (P ® R)

56. ú-

57. ú-

Исчисления предикатов.

Определим исчисление предикатов гильбертовского типа ИП. Это исчисление является расширением исчисления высказываний ИВ.

В алфавит ИВ добавим строчные латинские буквы для обозначения предметных переменных и символы кванторов " и $. Язык исчисления составляют формулы, определяемые также, как в алгебре предикатов.

Аксиоматика исчисления дополняется двумя схемами аксиом:

11.

12. ,

где - произвольная формула, содержащая свободные вхождения переменной x, причем ни одно из них не находится в области действия квантора по переменной y, а получена из заменой свободных вхождений x на y.

К правилу заключения ИВ добавляются два правила, связанные с кванторами. Пусть и – формулы, которые содержат и не содержат свободные вхождения переменной x соответственно.

2. Правило обобщения (введения ")

3. Правило введения $

Правила естественного вывода дополняются 4-мя правилами. Пусть

14. Правило введения квантора ".

Если T |- U (x), то T |- " x U (x).

15. Правило удаления квантора ".

Если T |- " x U (x), то T |- U (y).

16. Правило введения квантора $.

Если T |- U (y), то T |- $ x U (x).

17. Правило удаления квантора $.

Если T, U (x) |- V, то T, $ x U (x) |- V.

Рассмотрим примеры вывода в ИП.

Задание 2.1. Доказать, что в ИП

|- .

Решение.

1. \|-
2. \|-	15 (1)
3. \|-
4. \|-
5. \|-	4 (2, 3)
6. \|-	4 (2, 4)
7. \|-	14 (5)
8. \|-	14 (6)
9. \|-	Теорема ИП
10. \|-	4 (7, 9)
11. \|-	Теорема ИП
12. \|-	4 (8, 11)
13. , \|-
14. \|-	4 (10, 12, 13)

Задание 2.2. Доказать, что в ИП

|- .

Решение.

1. \|-
2. \|-	16 (1)
3. \|-	Теорема ИП
4. \|-
5. \|-	4 (2, 3, 4)
6. \|-
7. \|-	16 (6)
8. \|-	Теорема ИП
9. \|-
10. \|-	4 (7, 8, 9)
11. \|-	10 (5, 10)
12. \|-	17 (11)