 |
Описание ожидаемых результатов
|
|
|
|
Задание1 Вариант №14
Составить программу вычисления определенного интеграла функции на заданном отрезке, используя данный метод. Программа должна быть составлена по модульному принципу с обязательным опережением функции, интеграл которой вычисляется.
Для заданной функции 
найти значение определенного интеграла аналитически.
Провести вычислительный эксперимент. Отрезок интегрирования разбивается на N интервалов, где N = 6, 10, 50, 100, 500, 1000. для полученного в каждом случае результата определить относительную погрешность вычисления ε. Построить график зависимости ε от количества интервалов разбиения N.
Для данной функции 
будет использован Метод левых прямоугольников.
Суть метода заключается в том, что интервал интегрирования разбивается на N подинтервалов (метод не требует, чтобы все интервалы были одинаковыми). Величину H=(b-a)/N назовем шагом интегрирования. Интеграл на каждом из подинтервалов можно приблизительно считать равным площади прямоугольника со сторонами h и 
.
Рис.1.2
Погрешность расчета тем меньше, чем больше число интервалов N. Формула для вычисления этим методом имеет вид:
, где 
Задание2 Вариант №14
Внести необходимые модификации в программу, позволяющие найти значение определенного интеграла для функции 
. Построить вычислительные эксперименты. При вычислении погрешности в качестве точного значения интеграла использовать результат вычисления при достаточно большом значении N.
Для данной функции 
будет использован Метод трапеций. При подсчете по этому методу, функция на каждом из подинтервалов заменяется отрезком линии.
Рис.1.3
Формула записывается в виде:
, где , 
.
При вычислении результата, также необходимо узнать погрешность вычислений, которая будет вычислена в разделе Вычислительные эксперименты.
|
|
|
2. Программная реализация
Согласно заданию, необходимо было для заданной функции 
найти значение определенного интеграла.
Таблица 2.1
| Переменные | Описание | Даны |
| a, b | Пределы функции | По условию а=0, b=3 |
| n | Количество подинтервалов | Вводится пользователем |
| i | Узлы интегрирования | Счетчик от 0 до n-1 |
| intvalue | Конечное значение интеграла | Вычисляется по формуле интеграла |
| h | Шаг интегрирования | Вычисляется по формуле H=(b-a)/N |
| xi | Значение переменной Х в i-том узле | Вычисляется 
|
| f1 | Значение функции f1 | По условию
|
Текст программы:
program v14_1;
var n,i:integer;
a,b,intvalue,h,xi:real;
function f1(xi:real):real;
begin
f1:=sqrt(3+sqr(xi));
end;
begin
write('Zadayte kol-vo intervalov ');
readln(n);
a:=0;
b:=3;
intvalue:=0.0;
h:=(b-a)/n;
for i:=0 to n-1 do
begin
xi:=a+h*i;
intvalue:=intvalue+f1(xi);
end;
intvalue:=intvalue*h;
writeln('znachenie integrala ravno ',intvalue:6:2);
end.
Согласно заданию, необходимо было для заданной функции 
найти значение определенного интеграла.
Таблица 2.2
| Переменные | Описание | Даны |
| a, b | Пределы функции | По условию а=0, b=1 |
| n | Количество подинтервалов | Вводится пользователем |
| i | Узлы интегрирования | Счетчик от 0 до n-1 |
| intvalue | Значение интеграла | Вычисляется по формуле интеграла |
| h | Шаг интегрирования | Вычисляется по формуле H=(b-a)/N |
| xi | Значение переменной Х в i-том узле | Вычисляется
|
| F2 | Значение функции f2 | По условию 
|
Текст программы:
program v14_2;
var n,i:integer;
a,b,intvalue,h,xi:real;
function f2(xi:real):real;
begin
if xi<>0 then f2:=arctan((1-sqr(xi))/sqr(xi));
end;
begin
write('Zadayte kol-vo intervalov ');
readln(n);
a:=0;
b:=1;
intvalue:=0.0;
h:=(b-a)/n;
{metod trapeciy}
for i:=1 to n-1 do
begin
xi:=a+h*i;
intvalue:=intvalue+f2(xi);
end;
intvalue:=intvalue+(f2(a)+f2(b))/2.0;
intvalue:=intvalue*h;
writeln('znachenie integrala ravno ',intvalue);
end.
3. Вычислительные эксперименты
1. Проектирование эксперимента и результаты
Условия эксперимента
Провести вычислительный эксперимент. Отрезок интегрирования разбивается на N интервалов, где N = 6, 10, 50, 100, 500, 1000. для полученного в каждом случае результата определить относительную погрешность вычисления ε.
|
|
|
Для определения относительной погрешности расчетов необходимо воспользоваться формулой:
Где а0 – точный результат, полученный либо на основании известной теоретической зависимости, использовании таблиц, более точном расчете и т.д.
А – результат, полученный на данном этапе расчетов.
Затем строить зависимость относительной погрешности от количества интервалов разбиения.
Для первой функции 
найти значение определенного интеграла.
Для второй функции 
, также найти значение определенного интеграла.
Описание ожидаемых результатов
Предполагается, что чем больше интервалов будет, тем точнее получится результат вычисления определенного интеграла.
Таблица 3.1.1
| N | ε (f1) | ε(F2) |
| 6 |  =0.057
|  =0,14
|
| 10 |  =0.035
|  =0,08
|
| 50 |  =0.007
|  =0,02
|
| 100 |  =0.003
|  =0,01
|
| 500 |  =0.00
|  =0,00
|
| 1000 | =0.00
|  =0,00
|
2. Отчет о результатах
Полученные результаты
Для функции f1 выведем результаты:
Таблица 3.2.1
| Количество интервалов (n) | Результат (intvalue) | Погрешность (ε) |
| 6 | 6,76 | 7,17-6,76=0,41 |
| 10 | 6,92 | 0,25 |
| 50 | 7,12 | 0,05 |
| 100 | 7,15 | 0,02 |
| 500 | 7,17 | 0,00 |
| 1000 | 7,17 | 0,00 |
Для функции f2 выведем результаты:
Таблица 3.2.2
| Количество интервалов (n) | Результат (intvalue) | Погрешность (ε) |
| 6 | 0,92 | 1,06-0,92=0,14 |
| 10 | 0,98 | 0,08 |
| 50 | 1,04 | 0,02 |
| 100 | 1,05 | 0,01 |
| 500 | 1,06 | 0,00 |
| 1000 | 1,06 | 0,00 |
Составим график зависимости величины погрешности от количества взятых интервалов для f1:
Рис. 3.2.1. График зависимости ε от количества интервалов разбиения N для f1
Составим график зависимости величины погрешности от количества взятых интервалов для f2:
Рис. 3.2.2. График зависимости ε от количества интервалов разбиения N для f2
3. Сформулированные заключения
Сравним погрешности, вычисленные аналитическим и программным для f1 способом левых прямоугольников:
Таблица 3.3.1
| аналитически | Программно |
| 0,057 | 0,41 |
| 0,035 | 0,25 |
| 0,007 | 0,05 |
| 0,003 | 0,02 |
| 0,00 | 0,00 |
| 0,00 | 0,00 |
Сравним погрешности, вычисленные аналитическим и программным для f2 способом левых прямоугольников:
Таблица 3.3.2
| аналитически | Программно |
| 0,14 | 0,14 |
| 0,08 | 0,08 |
| 0,02 | 0,02 |
| 0,01 | 0,01 |
| 0,00 | 0,00 |
| 0,00 | 0,00 |
|
|
|
Расхождения имеются. Однако и аналитический и программный способ показали, что чем большее количество интервалов задается, тем точнее результат вычисления интеграла.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе курсовой работы я освоил основы алгоритмизации технических задач, а также научился решать их с использованием средств современной вычислительной техники. Проанализировав полученные результаты, научился делать выводы.
В ходе курсовой работы мною был рассмотрен алгоритм вычислительной математики – вычисление определенного интеграла. Для реализации данной задачи, состоящей из двух функций, для первой функции я воспользовался методам левых прямоугольников, а для второй функции – методом трапеций. Также, мною были рассчитаны погрешности вычислений, что помогает определить точность вычислений. Курсовая работа включает в себя анализ зависимости величины погрешности от количества взятых интервалов на отрезке, все вычисления подробно расписаны, представлены формулы вычислений, таблицы, графики.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. М.Ю. Кривошеин. Программирование численных методов (Методические рекомендации к курсовому проектированию), Улан-Удэ, 2009г.
2. А.Г.Трифонов. "Постановка задачи оптимизации и численные методы ее решения", Москва, 2008г.
3. Н. Бахвалов, И. Жидков, Г. Кобельков Численные методы. ФизМатЛит. 2002.
4. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
5. Банди Б. Методы оптимизации: Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988
|
|
|
