Метод интегрирования по частям

Практическое занятие № 10

«Вычисление неопределенных интегралов»

1. Цель: Выработать навыки вычисления неопределённого интеграла методом непосредственного интегрирования, методом подстановки и методом интегрирования по частям.

2. Пояснения к работе:

Краткие теоретические сведения

Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x):

(1)

 

Совокупность всех первообразных функций F (x) + c для функции f (x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается

, (2)

где называется подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, а С -произвольной постоянной интегрирования. Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием.

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

1. +С; 2. +С;

3. +С; 4. +С;

5. +С; 6. +С; 7. +С; 8. +С; 9. +С; 10.

11. 12.

13. 14. +С; 15. +С; 16. +С;

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подын­тегральному выражению, а производная

неопределенно­го интеграла равна подынтегральной функции:

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функ­ций равен алгебраической сумме неопределенных интег­ралов от этих функций:

 

 

4. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:

 

, .

 

Метод непосредственного интегрирования

 

Под непосредственным интегрированием понимают способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводятся к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример. Вычислить: 1) ; 2)

Решение:

1) ;

2)

 

Интегрирование способом подстановки

 

Сущность интегрирования методом подстановки заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования. Для нахождения заменяем переменную х новой переменной u с помощью подстановки . Дифференцируя это равенство, получаем .

Подставляя в подынтегральное выражение вместо х и dx их значения, выраженные через u du, имеем

(3)

После того, как интеграл относительно новой переменной и будет найден, с помощью подстановки он приводится к переменной х.

Пример. Вычислить 1) ; 2) 3) 4) ;

5) ;

 

 

Решение:

1) Положим 1+x = z. Продифференцируем это неравенство: d(1+ x)= dz или dx = dz. Заменим в интеграле: .

2)Сделав замену: , получим . Тогда

3)Положим

где ;

 

4) Пусть , тогда . Поэтому

5) Этот интеграл решается с помощью формул тригонометрии:

.

Поэтому, имеем ;

 

Метод интегрирования по частям

 

Пусть функции и имеют непрерывные производные на некотором промежутке. Найдем дифференциал произведения этих функций:

 

.

 

Так как по условию функции и непрерывны, можно проинтегрировать обе части этого равенства,

,

или

но

, следовательно

(4)

 

В правой части формулы (4) постоянную интегрирования С не пишут, т.к она фактически

присутствует в интеграле . Формула (4) называется формулой интегрирования по частям.

Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его названию. Дело в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение представляется в виде произведения множителей и ; при этом обязательно входят в . В результате получается, что заданный интеграл находят по частям: сначала находят , а затем . Естественно, что этот метод применим лишь в случае, если задача нахождения указанных двух интегралов более проста, чем нахождение заданного интеграла.

Пример. Вычислить 1) ; 2) ;

Решение:

1) положим , ; тогда , , т.е. . Используя формулу (4), получим .

2) ; положим u=lnx, dv=xdx; тогда ; .

Используя формулу (4), получим: .

 

При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является разумное разбиение подынтегрального выражения на множители и . Общих установок по этому вопросу не имеется. Однако, для некоторых типов интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, сделать это возможно.

1. В интегралах вида , , ,

где Р(х) – многочлен относительно х, а – некоторое число, полагают , а все остальные сомножители за .

2. В интегралах вида , , , ,

полагают , а остальные сомножители за .

3. В интегралах вида , , где a и b числа, за можно принять любую из функций или sin bx (или cos bx).

 

Задание

Вариант 1

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) ; б) в)

г) ; д) ; е) ;

2. Методом подстановки вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) е) ; ж) ; з) ;

3. Методом интегрирования по частям вычислить:

а) б)

Вариант 2

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

 

2. Методом подстановки вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

3. Методом интегрирования по частям вычислить:

а) ; б)

Вариант 3

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) ; б) ; в)

г) ; д) ; е) ;

2. Методом подстановки вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

3. Методом интегрирования по частям вычислить:

а) ; б) ;

Вариант 4

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 

2. Методом подстановки вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

 

3. Методом интегрирования по частям вычислить:

а) ; б) .

 

4. Контрольные вопросы:

1. Какая функция называется первообразной для функции ?

2. Что называется неопределенным интегралом функции на некотором промежутке?

3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

4. Перечислите основные табличные интегралы.

5. Какие методы интегрирования вы знаете?

5. Содержание отчёта:

5.1 Наименование работы

5.2 Цель работы

5.3 Задание

5.4 Формулы для расчета

5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов

5.6 Выводы по работе

5.7 Ответы на контрольные вопросы

6. Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие -з М. Высшая школа, 2003, с.439-447;

2. Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие- М. Высшая школа, 2003,

с. 365-375.

 

Поделиться: Р Р‡.Мессенджер ВКонтакте Одноклассники Telegram Twitter РњРѕР№ РњРёСЂ

Воспользуйтесь поиском по сайту: