 |
Выписываем из сортамента размеры и геометрические характеристики
|
|
|
|
стального горячекатанного швеллера с прямыми полками №10 ГОСТ 8240-89 и сводим в табл. 19.
Таблица 19- Геометрические характеристики стального горячекатанного швеллера
| № швел- | h | b | s | t | R | r | А см2 Iy,см4 | Справочные значения для осей | Zo, см | ||||||
| не более | X - X | Y - Y | |||||||||||||
| мм
| ix,см | Sx,см3 | Ix,см4 | Wx,см3 | ix,см | Sx,см3 | Iy,см4 | Wy,см3 | iy,см | ||||||
| 10П | 100 | 46 | 4,5 | 7,6 | 7,0 | 4,0 | 10,90 | 174,0 | 34,9 | 3,99 | 20,50 | 22,60 | 7,37 | 1,44 | 1,53 |
3. Выписываем из сортамента размеры и геометрические характеристики горячекатанного стального равнополочного уголка №7 ГОСТ 8509-93 и сводим в табл.20.
Таблица20 – Геометрические характеристики горячекатанного стального равнополочного уголка
| Номер уголка | b | t | R | r | А, см 2 | Справочные значения величин для осей | ||||||||||
| х - х | x 0 - x 0 | у 0 - у 0 | Ixy, см4 | x 0, см | ||||||||||||
| мм | Ix, см4 | Wx, см3 | ix, см | Ix 0 max, см4 | i х 0 max, см | Iy 0 min, см 4 | Wy 0, см 3 | iy 0 min, см | ||||||||
| 7 | 70 | 8 | 8,0 | 2,7 | 10,67 | 48,16 | 9,68 | 2,12 | 76,35 | 2,68 | 19,97 | 6,99 | 1,37 | 28,20 | 2,02 | |
4. На отдельной странице чертим составное сечение в масштабе 1:1 (Рис. 99) с указанием исходных данных. Учитывая, что швеллер занимает горизонтальное положение в составном сечении справочные значения для осей х-х и у-у меняем местами.
Отмечаем центры тяжести швеллера через С1 и равнополочного уголка через С2 и проводим через них центральные оси ХС1, УС1 и ХС2, УС2.
5. Определяем положение центра тяжести главных осей составного сечения.
Для этого выбираем вспомогательные оси Х и У, проведенные через крайнюю левую точку составного сечения (в качестве вспомогательных осей можно выбрать любые оси параллельные или совпадающие с осями ХСi, УСi) и определяем расстояния от вспомогательных осей до центра тяжести каждого из сечений.
|
|
|
= 
;
= 
см
Координаты центра тяжести составного сечения определим по формулам:
Рис.99 – Cхема составного сечения
Для проверки правильности определения положения центра тяжести составного сечения, нужно соединить центры тяжести О1 и О2 составляющих сечений. Центр тяжести составного сечения должен лежать на этой линии.
Через полученные координаты проводим через центр тяжести центральные оси ХС и УС.
Находим расстояния между центральными осями составного сечения ХС и УС и центральными осями швеллера ХС1, УС1 и уголка ХС2, УС2.
6. Определяем значение осевых моментов инерции относительно центральных осей ХС и УС. Величина осевых моментов инерции сечения определится по формулам:
Величина центробежного момента инерции сечения определится по формуле:
Центробежный момент швеллера равен нулю, так как ось УС1 является осью симметрии сечения.
Центробежный момент инерции уголка определится из формулы:
.
Знак центробежного момента инерции уголка определяется по расположению уголка в составном сечении в пространстве и берется согласно рис.100.
Рис.100 – Выбор знака центробежного момента инерции уголка
7. Определяем положение главных центральных осей инерции сечения:
.
; 
.
Проводим главные центральные оси инерции. Для этого оси ХС и УС поворачивает по часовой стрелке на угол 
. Это оси V и Н.
8. Определяем главные центральные моменты инерции относительно осей V и Н.
Проверка 
Вычисления главных центральных моментов инерции выполнены верно.
9. Определяем главные радиусы инерции:
|
|
|
Откладывая по оси V значение радиуса инерции 
а по оси Н
рисуем эллипс инерции на составном сечении.
Расчетно-графическое задание №6
К решению задачи следует приступить после изучения темы «Чистый и поперечный прямой изгиб». При чистом изгибе в поперечных сечениях возникает только изгибающий момент, а при поперечном – изгибающий момент и поперечная сила. Особое внимание необходимо обратить на правило знаков для поперечной силы и изгибающего момента при составлении уравнений равновесия и построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Необходимо изучить вопрос о напряжениях, возникающих при изгибе в поперечных сечениях балки и распределении напряжений по поперечному сечению. Понять, как определяется опасное сечение балки и опасные точки поперечного сечения, которые лимитируют прочность балки. В зависимости от вида изгиба, поперечного сечения, распределения нормальных и касательных напряжений производится оценка прочности балки по нормальным, касательным или эквивалентным напряжениям. Следует изучить вопросы, связанные с определением линейных и угловых перемещений балки (прогиб, и угол поворота поперечных сечений балки). Освоить методы определения перемещений балки при помощи универсальных уравнений метода начальных параметров, формулы Мора и способом Верещагина (способ перемножения эпюр).
Задача 6 (а). Расчет балки на изгиб.
Для заданной балки требуется:
1. Из условий равновесия балки определить реакции опор.
2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Используя эпюру изгибающих моментов построить изогнутую ось балки.
3. Из расчета на прочность по нормальным напряжениям подобрать двутавровое, круглое и прямоугольное сечения и сравнить массу балки каждого профиля, если материал балки - сталь 3, [σ] =160 МПа, Е = 2·105 МПа.
4. Для опасного сечения балки двутаврового сечения проверить прочность по эквивалентным напряжениям с использованием теории наибольших касательных напряжений.
Данные для расчета приведены в табл.6 и рис.85.
Решение:
1. Выбираем по таблице 6 исходные данные согласно варианта:
| № схемы | Внешняя нагрузка | Длина участка балки, м | Отношение h/b | ||||
| q, кН/м | F,kH | М,кНм | а | b | с | ||
| 1 | 20 | 100 | 10 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 2 |
|
|
|
2. На отдельной странице чертим расчетную схему с указанием исходных данных (Рис. 101, а). На опорах балки будут возникать реакции опор RA и RВ.
3. Из уравнения равновесия балки определяем реакции опор балки RA и RВ. Для этого для плоской системы составляем три уравнения равновесия:
Минус RВ показывает, что реакция опоры направлена в противоположную сторону. Зачеркиваем первоначальное направление реакции опоры и направляем ее в противоположную сторону. Указываем числовое значение реакций опор и делаем проверку.
Реакции опор RA и RВ определены верно.
4. Делим балку на участки на участки. Границами участков являются точки приложения внешних сил, начало и конец приложения распределенных усилий, плоскости приложения внешних моментов и сечения, где изменяется площадь поперечного сечения балки. Проводим через границы участков линии, перпендикулярные оси балки.
5. Присваиваем номер каждому участку. Нумерацию участков можно вести с любого конца балки, если определены реакции опор. Для нашей задачи нумерацию участков начнем с левого конца балки.
6. Методом сечений (правило РОЗУ) определяем поперечную силу Q и изгибающий момент МИ на каждом участке.
Расчет поперечных сил Q и изгибающих моментов МИ сводим в таблицу 21.
Рис.101 – Расчетная схема и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
Таблица 20 - Расчет поперечных сил и изгибающих моментов.
| № участка | ≤ z ≤ | Уравнение поперечных сил и изгибающих моментов на участке | ||||||||||
| I |
  
  0 ≤ z1 ≤ 0,5 м
| 
| ||||||||||
| ||||||||||||
| II |
 0,5 ≤ z2 ≤ 1,1 м
 
  
| 
| ||||||||||
 ;
 ;
=
| ||||||||||||
| III |
   0 ≤ z3 ≤ 0,7 м
| 
| ||||||||||
|
По полученным значениям строим эпюру поперечных сил Q (Рис.101, б) и изгибающих моментов МИ (Рис.101, в).
Пользуясь эпюрой изгибающих моментов, изображаем возможную изогнутую ось балки, учитывая, что при положительном изгибающем моменте ось балки имеет выпуклость вниз, а при отрицательном моменте – вверх (Рис.101, г).
|
|
|
7.По эпюре изгибающих моментов определяем опасное сечение. В нашем случае это сечение под опорой А, где изгибающий момент достигает максимального значения: МИmax=50 кН.м.
Из расчета на прочность по нормальным напряжениям подбираем двутавровое поперечное сечение: 
откуда
.
Согласно ПРИЛОЖЕНИЯ по сортаменту «Двутавры стальные горячекатанные (ГОСТ 8239-89)» выбираем двутавр №27 у которого 
, это ближайшее большее значение к расчетному моменту сопротивления сечения. Выписываем геометрические характеристики двутавра №27 (Таблица 21).
Таблица 21 – Геометрические характеристики двутавра №27
| Номер двутавра | Размеры сечения, мм | Площадь сечения, см2 | Справочные величины для осей | ||||||||
| h | b | s | t | х - х | у - у | ||||||
| Ix, см4 | Wx,см3 | ix, см | Sx,см3 | Iy, см4 | Wy,см3 | ||||||
| 27 | 270 | 125 | 6,0 | 9,8 | 40,2 | 5010 | 371 | 11,2 | 210 | 260 | 41,5 |
Подбираем диаметр круглого поперечного сечения балки с учетом, что осевой момент сопротивления балки круглого поперечного сечения равен:
; 
Подбираем размеры прямоугольного поперечного сечения балки с учетом, что h/b=2, а
Из условия равнопрочности сравним вес балок с различным поперечным сечением. Вес балки можно определить как произведение объема балки на величину плотности материала. Учитывая, что длина и плотность материала балки одинакова, получим, что для сравнения веса балки достаточно сравнить их площади поперечных сечений.
см2 - для двутаврого сечения;
АО = 
– для круглого поперечного сечения;
А□ = b.h =7,84.15,68 = 122,93 см2 – для прямоугольного поперечного сечения. Получили, что самым выгодным поперечным сечением при изгибе является двутавр, за ним следует прямоугольное поперечное сечение и затем круглое поперечное сечение.
Экономия материала при использовании двутаврового сечения по сравнению с круглым поперечным сечением балки составит 
раза, а прямоугольного - 
раза.
8.Для опасного сечения балки двутаврового сечения проверим прочность по эквивалентным напряжениям с использованием теории наибольших касательных напряжений. Для этого вычертим в масштабе 2:1 поперечное сечение двутавровой балки (Рис.102, а).
Распределение нормальных напряжений по поперечному сечению подчиняются закону 
.
При у=0; 
При 
; 
МПа.
.
При 
МПа
Строим эпюру распределения нормальных напряжений по поперечному сечению (Рис.102, б).
Распределение касательных напряжений по поперечному сечению подчиняются закону 
.
При 
; 
При 
МПа
При 
МПа
По полученным значениям строим эпюру распределения касательных напряжений по поперечному сечению (Рис.102,в). 
Рис.102 – Поперечное сечение двутавра и эпюры нормальных и касательных напряжений
|
|
|
В сечении а-а там, где стойка переходит в полку, действуют значительные значения нормальных σа-а=125 МПа и касательных τа-а=53 МПа напряжений. Для двутаврового сечения это наиболее слабое место, поэтому его следует проверить на прочность с использованием теории наибольших касательных напряжений:
Условие прочности по эквивалентным напряжениям выполняется.
Задача 6 (б). Расчет балки на изгиб.
Для заданной балки требуется:
1. Из условий равновесия балки определить реакции опор.
2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
3. Из расчета на прочность по нормальным напряжениям подобрать двутавровое, круглое и прямоугольное сечения и сравнить массу балки каждого профиля, если материал балки - сталь 3, [σ] =160 МПа, Е = 2·105 МПа.
4. Для опасного сечения балки двутаврового сечения проверить прочность по эквивалентным напряжениям с использованием теории наибольших касательных напряжений.
5. Для консольно закрепленной балки двутаврового сечения (рис.7) определить прогиб и угол поворота свободного конца балки.
Данные для расчета приведены в табл.6 и рис.85.
Решение:
1. Выбираем по таблице 6 исходные данные согласно варианта:
| № схемы | Внешняя нагрузка | Длина участка балки, м | Отношение h/b | ||||
| q, кН/м | F,kH | М,кНм | а | b | с | ||
| 1 | 10 | 50 | 20 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 2 |
2. На отдельной странице чертим расчетную схему с указанием исходных данных (Рис. 101, а). На опорах балки будут возникать реакции опор RA и RВ.
3. Из уравнения равновесия балки определяем реакции опор балки RA и RВ. Для этого для плоской системы составляем три уравнения равновесия:
Указываем числовое значение реакций опор на расчетной схеме и делаем проверку.
Реакции опор МВ и RВ определены верно.
4. Делим балку на участки на участки. Границами участков являются точки приложения внешних сил, начало и конец приложения распределенных усилий, плоскости приложения внешних моментов и сечения, где изменяется площадь поперечного сечения балки. Проводим через границы участков линии, перпендикулярные оси балки.
5. Присваиваем номер каждому участку. Нумерацию участков начнем с левого конца балки.
6. Методом сечений (правило РОЗУ) определяем поперечную силу Q и изгибающий момент МИ на каждом участке.
Расчет поперечных сил Q и изгибающих моментов МИ сводим в таблицу 22.
Рис.103 – Расчетные схемы и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
Таблица 22- Расчет поперечных сил и изгибающих моментов
| № участка | ≤ z ≤ | Уравнение поперечных сил и изгибающих моментов на участке | ||||||||
| I |
  
 0 ≤ z1 ≤ 0,5 м
| 
| ||||||||
| ||||||||||
| II |
 
| 
| ||||||||
 ;
;
| ||||||||||
| III |
 
0 ≤ z3 ≤ 0,7 м
| 
| ||||||||
|
По полученным значениям строим эпюру поперечных сил Q (Рис.103, б) и изгибающих моментов МИ (Рис.103, в).
Пользуясь эпюрой изгибающих моментов, изображаем возможную изогнутую ось балки, учитывая, что при положительном изгибающем моменте ось балки имеет выпуклость вниз, а при отрицательном моменте – вверх (Рис.103, г).
7. По эпюре изгибающих моментов определяем опасное сечение. В нашем случае это сечение заделки, где изгибающий момент достигает максимального значения:
МИmax= 23,45 кН.м.
Из расчета на прочность по нормальным напряжениям подбираем двутавровое поперечное сечение: откуда
.
По ПРИЛОЖЕНИЮ для сортамента «Двутавры стальные горячекатанные (ГОСТ 8239-89)» выбираем двутавр №18а у которого 
, это ближайшее большее значение к расчетному моменту сопротивления сечения. Выписываем геометрические характеристики двутавра №18а (Таблица 23).
Таблица 23 – Геометрические характеристики двутавров №№18а, 20.
| Номер двутавра | Размеры сечения, мм | Площадь сечения, см2 | Справочные величины для осей | ||||||||
| h | b | s | t | х - х | у - у | ||||||
| Ix, см4 | Wx,см3 | ix, см | Sx,см3 | Iy, см4 | Wy,см3 | ||||||
| 18 а | 180 | 100 | 5,1 | 8,3 | 25,4 | 1430 | 159 | 7,51 | 89,8 | 114 | 22,8 |
| 20 | 200 | 100 | 5,2 | 8,4 | 26,8 | 1840 | 184 | 8,28 | 104 | 115 | 23,1 |
Подбираем диаметр круглого поперечного сечения балки с учетом, что осевой момент сопротивления балки круглого поперечного сечения равен:
; 
Подбираем размеры прямоугольного поперечного сечения балки с учетом, что h/b=2, а
Из условия равнопрочности сравним вес балок с различным поперечным сечением. Вес балки можно определить как произведение объема балки на величину плотности материала. Учитывая, что длина и плотность материала балки одинакова, получим, что для сравнения веса балки достаточно сравнить их площади поперечных сечений.
см2 - для двутаврого сечения;
АО = 
– для круглого поперечного сечения;
А□ = b.h =6,04.12,08 = 72,96 см2 – для прямоугольного поперечного сечения. Получили, что самым выгодным поперечным сечением при изгибе является двутавр, за ним следует прямоугольное поперечное сечение и затем круглое поперечное сечение.
Экономия материала при использовании двутаврового сечения по сравнению с круглым поперечным сечением балки составит 
раза, а прямоугольного - 
раза.
8. Для опасного сечения балки двутаврового сечения проверим прочность по эквивалентным напряжениям с использованием теории наибольших касательных напряжений. Для этого вычертим в масштабе 2:1 поперечное сечение двутавровой балки (Рис.103, а).
Распределение нормальных напряжений по поперечному сечению подчиняются закону .
При у=0;
При ; 
МПа.
.
При 
МПа
Строим эпюру распределения нормальных напряжений по поперечному сечению (Рис.104, б).
Распределение касательных напряжений по поперечному сечению подчиняются закону .
При ; 
При 
МПа
При 
МПа
По полученным значениям строим эпюру распределения касательных напряжений по поперечному сечению (Рис.104,в).
Рис.104 – Поперечное сечение двутавра и эпюры нормальных и касательных напряжений
Проводим проверку прочности двутавра по сечению а-а там, где стойка переходит в полку, по теории наибольших касательных напряжений:
Условие прочности по эквивалентным напряжениям не выполняется, поэтому выбираем двутавр №20, геометрические характеристики которого приведены в таблице 23.
Проводим повторный расчет эквивалентных напряжений для двутавра №20. Распределение нормальных напряжений: .
При у=0;
При ; 
МПа.
.
При 
МПа
Распределение касательных напряжений по поперечному сечению .
При ; 
При 
МПа
При 
МПа
Эквивалентные напряжения в сечении а-а по теории наибольших касательных напряжений:
.
Окончательно принимаем двутавр №20 ГОСТ 8239-89.
9.Для консольно закрепленной балки двутаврового сечения определяем прогиб и угол поворота свободного конца балки. Прогиб и угол поворота поперечных сечений можно определить различными способами. Здесь рассмотрим метод начальных параметров и способ перемножения эпюр (способ Верещагина).
9.1. Метод начальных параметров.
Поместим начало координат в левый конец балки (Рис.105).
Рис.105 – Расчетные схемы и эпюры изгибающих моментов
Запишем универсальные уравнения метода начальных параметров:
;
.
Применительно для нашей балки они будут иметь вид:
;
+ 
;
+ 
Определим величину 
и 
из условия, что при z =1,8 м прогиб и угол поворота в сечении заделки будут равны нулю:
;
0 
кН.м2;
7,81 кН.м3.
С учетом начальных параметров универсальные уравнения для балки запишутся в виде:
;
Тогда угол поворота 
свободного конца балки
|
|
|
