Операція доповнення до даної та універсальної множини та основні властивості (закони) цих операцій.

7. Із поняттям різниці множин тісно пов’язана операція доповнення даної множини до універсальної. Це важливо, оскільки певні сукупності ми розглядаємо у рамках відповідної універсальної множини U. У таких випадках операція знаходження доповнення множин набуває самостійного значення, хоч вона є окремим випадком операції віднімання множин.

Означення: Доповненням даної множини AÌU до універсальної множини U називається множина U\A, яка є різницею цих множин, тобто така множина, яка містить усі ті і тільки ті елементи множини U, що не належать множині А.

Доповнення даної множини до універсальної позначають Ā або інколи А'. Символічно прийняте означення можна записати так: Ā={х/хÎU і хÏA}. Графічне зображення множини Ā представлено на діаграмі Ейлера-Венна (див. малюнок 17).

Малюнок 17: доповнення множини А до універсальної множини U: Ā=U\А.

Безпосередньо із означення доповнення випливає справедливість таких законів:

1. Ū=Æ. 2. Æ'= U. 3. А"=А - закон подвійного доповнення.

Операції доповнення, перетину і об’єднання множин пов’язані між собою законами де Моргана:

1. (AÈB)'=A'ÇB' - доповнення до об¢єднання множин А і В дорівнює перетину доповнень цих множин.

2. (AÇB)'=A'ÈB' - доповнення до перетину множин А і В дорівнює об’єднанню доповнень цих множин.

Довести ці закони можна як міркуваннями, так і за допомогою діаграм Ейлера-Венна. Доведемо перший закон (AÈB)'=A'ÇB' за допомогою міркувань. Спочатку доведемо, що кожен елемент лівої частини є елементом правої. Якщо хÎ(AÈB)', то згідно означення доповнення це означає, що хÏAÈB, а відповідно до означення об’єднання хÏA і хÏB. Тоді згідно означення доповнення хÎА' і хÎB', а тому згідно означення операції перетину хÎА'ÇB', тобто правій частині. Оскільки елемент х у лівій частині ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента лівої частини. Отже, кожен елемент лівої частини належить і правій частині рівності, а тому (AÈB)'ÌA'ÇB'. Першу частину доведено.

Доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай уÎA'ÇB'. Згідно означення перетину множин це означає, що уÎA' і уÎB', а тоді відповідно до означення доповнення це означає, що уÏA і уÏB. Згідно до означення об’єднання уÏAÈB, а тому відповідно до означення доповнення уÎ(AÈB)', тобто лівій частині. Оскільки елемент у в правій частині ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента правої частини. Отже, кожен елемент правої частини належить і лівій частині рівності, а тому (A'ÇB')Ì(AÈB)'. Другу частину доведено.

Таким чином, у першій частині ми довели, що (AÈB)'ÌA'ÇB', а у другій, що (A'ÇB')Ì(AÈB)'. Згідно означення рівності множин це означає, що (A'ÇB')=(AÈB)', тобто закон доведено повністю.

Доведемо другий закон (AÇB)'=A'ÈB' за допомогою діаграм Ейлера-Венна. Ліву частину рівності будемо зображати на лівій діаграмі, а праву частину – на правій. На лівій діаграмі множину AÇB заштрихуємо вертикальними лініями. Тоді доповнення цієї множини до універсальної, тобто множину (AÇB)', заштрихуємо на лівій діаграмі горизонтальними лініями. Отже, елементи, які належать лівій частині рівності, знаходяться у тій частині універсальної множини, на якій є горизонтальна штриховка. На правій діаграмі множину А' заштрихуємо вертикальними лініями, а множину В' – горизонтальними лініями. Тоді на правій діаграмі множина А'ÈB' буде зображатися тією частиною універсальної множини, де є хоча б одна штриховка, або вертикальними, або горизонтальними лініями.

Порівнюючи ліву і праву частини діаграми, бачимо, що на лівій діаграмі множина (AÇB)' зображається всією універсальною множиною без множини AÇB; на правій діаграмі множина A'ÈB' також зображається елементами універсальної множини без множини AÇB. Таким чином, ліва і права частини рівності, що виражає закон де Моргана, зображається однаковими частинами універсальної множини, а тому він справедливий, тобто правильна рівність (AÇB)'=A'ÈB' (див. малюнок 18).

Малюнок 18: доведення закону де Моргана (AÇB)'=A'ÈB'.