Операція ділення з остачею на множині цілих невід’ємних чисел.

10. У процесі практичної діяльності людині чи не частіше доводиться зустрічатися з операцією ділення з остачею, ніж з операцією ділення націло. Саме тому, введемо означення такої операції та покажемо, що вона існує і єдина.

Означення: ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b з остачею, якщо існують такі цілі невід’ємні числа q і r, що виконуються умови: 1) а=bq+r; 2) 0£r£b.

У наведеному означенні нічого не говориться про існування та єдиність такої операції, а тому слід довести наступну теорему.

Теорема 12: для будь-якого цілого невід’ємного числа а і натурального числа b існує і причому єдина пара цілих невід’ємних чисел q і r таких, що а=bq+r, де 0£r£b.

Доведення:

Доведення цієї теореми буде складатися із двох частин. У першій частині доведемо існування таких чисел, тобто існування операції ділення з остачею, а у другій – її єдиність. Між числами а і b може існувати лише одне із співвідношень: 1) а<b; 2) а=b; 3) а>b. Якщо а<b, то а=b×0+а, де q=0 і r=а. Отже, умови виконуються, тобто такі числа існують. Якщо а=b, то а=b×1+0, де q=1 і r=0. Таким чином, умови також виконуються, тобто такі числа існують. Якщо а>b, то можливі два випадки: а) а ділиться націло на b; б) а не ділиться націло на b. У першому випадку згідно означення частки існує деяке число q таке, що а=b×q, тобто а=b×q+0. Таким чином, в усіх розглянутих випадках числа q і r існують.

Розглянемо випадок, коли а не ділиться націло на b. Утворимо послідовність чисел b×1, b×2, b×3,..., b×q, b×(q+1),..., b×а,... Серед цих чисел, які діляться націло на b, знайдуться два послідовних числа такі, що b×q<а<b×(q+1), або b×q<а<b×q+b. Якщо від усіх частин останньої нерівності відняти b×q, то одержимо нерівність 0<а-b×q<b. Позначивши а-b×q=r, дістанемо: а=b×q+r, де 0<r<b. Таким чином, і в цьому випадку числа q і r існують. Отже, існування частки і остачі доведено.

Доведемо, що частка і остача єдині. Припустимо, що існує дві пари чисел q₁, r₁, q₂, r₂ таких, що а=b×q₁+r₁, де 0<r₁<b, і а=b×q₂+r₂, де 0<r₂<b, q₁¹q₂ і r₁¹r₂. Звідси b×q₁+r₁=b×q₂+r₂. Оскільки r₁¹r₂., то виберемо для визначеності, що r₁£r₂. Тоді b×(q₁-q₂)=r₂-r₁. Із того, що вираз b×(q₁-q₂) ділиться націло на b, випливає, що і вираз r₂-r₁ ділиться націло на b. Оскільки 0£r₂-r₁<b, то вираз r₂-r₁ може ділитися націло на b лише в тому випадку, коли r₂-r₁=0, тобто r₂=r₁. Звідси випливає, що b×(q₁-q₂)=0. Оскільки b¹0, то q₁-q₂=0, тобто q₁=q₂. Таким чином, ми прийшли до суперечностей із вибором чисел q₁, r₁, q₂, r₂. Ця суперечність дозволяє твердити, що припущення про не єдиність частки і остачі було хибним. Отже, теорему доведено повністю.

Завдання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за змістовним модулем 3.1.

1. Сформулюйте означення відношення “більше” на множині цілих невід’ємних чисел у кількісній теорії цих чисел.

2. Довести комутативний закон операції додавання у теоретико-множинній теорії.

3. Довести переставний і сполучний закони операції множення у теоретико-множинній теорії.