 |
Функциональные ряды
|
|
|
|
Знакопеременные ряды
Для знакопеременных рядов приведенные признаки сходимости также
можно применять, но для исследования абсолютной сходимости. Дело в том, что если ряд 
сходится, то сходится и ряд 
, причем в этом случае ряд называется абсолютно сходящимся. Таким образом, если имеется знакопеременный ряд , имеет смысл проверить возможность применения какого-либо признака сходимости к ряду , и если условия сходимости выполняются, исходный ряд сходится абсолютно.
Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда
Пусть члены положительной последовательности 
, монотонно убывая, стремятся к нулю при 
. Тогда ряд 
сходится.
Доказательство. Рассмотрим последовательность четных частных сумм 
. Очевидно, что с ростом 
значения 
возрастают. Теперь запишем эту же частную сумму в ином виде: 
. Очевидно, что 
. Таким образом, мы имеем монотонно возрастающую ограниченную сверху последовательность . По одному из свойств последовательностей существует 
. Итак, последовательность частных сумм с четными номерами имеет предел. Что же с нечетными
частными суммами?
Так как 
и 
, то существует 
. Следовательно, существует 
.
П р и м е р. Ряд 
сходится по признаку Лейбница при любом 
.
Этот ряд при 
сходится абсолютно, а при 
ряд расходится согласно интегральному признаку. Ряд, сходящийся, но не сходящийся абсолютно, называется условно сходящимся.
Функциональные ряды
Пусть 
– последовательность функций, заданных на одном и том же множестве, причем при каждом значении 
числовой ряд 
сходится. Тогда мы можем рассматривать функциональный ряд 
на множестве 
и исследовать свойства функции 
– суммы ряда – на том же множестве .
|
|
|
В связи с вопросами сходимости функциональных рядов отметим
следующий из теоремы сравнения мажорантный признак сходимости
функционального ряда: если 
тчо 
и ряд с положительными членами 
сходится, то функциональный ряд абсолютно сходится на множестве .
Степенные ряды
Простейшим примером функционального ряда является степенной ряд – ряд вида 
. Числа 
, называются коэффициентами степенного ряда. Поскольку простой заменой переменной 
исходный степенной ряд превращается в ряд 
, мы будем рассматривать только степенные ряды вида 
. Очевидно, что такой ряд обязательно сходится в точке 
. Ответом на вопрос об области сходимости степенного ряда дает
Теорема Абеля. Пусть ряд сходится в точке 
, тогда он сходится, причем абсолютно, при 
.
Пусть ряд расходится в точке 
, тогда он расходится при 
.
Доказательство. Так как ряд 
сходится, то общий член этого ряда стремится к нулю, и значит, ограничен, то есть, 
тчо 
.
Пусть 
тогда 
. Так как ряд 
сходится, то по теореме сравнения абсолютно сходится ряд .
Так как 
расходится, то не может сходиться ни при каких значениях 
, так как в противном случае он бы сходился, в
соответствии с доказанной частью теоремы, и при 
.
Из теоремы Абеля следует, в частности, что область сходимости степенного ряда представляет собой некоторый интервал 
, а область расходимости – внешность этого интервала. Что касается двух точек 
, являющихся границами этого интервала, то сходимость или расходимость ряда в этих точках следует проверять для каждой функции индивидуально.
Число 
называется радиусом сходимости степенного ряда. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.
|
|
|
