 |
Глава III. Проблемы парадоксов в математике
|
|
|
|
Открытия Кантора, относящиеся примерно к 1873 г. и постепенно оформившиеся в самостоятельную ветвь математики, вначале натолкнулись на недоверие и даже прямой антагонизм многих математиков и безразличие со стороны подавляющего большинства философов. Только в начале девяностых годов теория множеств вошла в моду и стала, сверх всяких ожиданий, широко применяться в анализе и геометрии. Но в тот самый момент, когда смелое видение Кантора, казалось, с триумфом достигло кульминации, когда его результаты приняли окончательный систематизированный вид, он столкнулся с первым из таких парадоксов. Это произошло в 1895 г. Кантор не был способен в то время предложить разрешение этого парадокса, ситуация не казалась слишком серьезной: этот первый парадокс возникал в довольно специальной области теории вполне упорядоченных множеств, и, вероятно, была надежда, что легкий пересмотр доказательств теорем, входящих в эту область, мог бы спасти положение, как это не раз бывало раньше при аналогичных обстоятельствах.
Этому оптимизму был, однако, нанесен решительный удар. В 1902 г. Бертран Рассел поразил философов и математиков, указав на парадокс, относящийся к самым началам теории множеств и показывавший, что в основаниях этой дисциплины что-то неблагополучно. Но парадокс Рассела потряс основы не только теории множеств: в опасности оказалась и сама логика. Требовалось лишь легкое изменение в формулировке, чтобы перевести парадокс Рассела в противоречие, которое можно было бы сформулировать в терминах самых основных логических понятий. Никогда ранее парадоксы не возникали на таком элементарном уровне, затрагивая так сильно самые фундаментальные понятия двух самых "точных" наук - логики и математики.
|
|
|
Парадокс Рассела явился истинным потрясением для тех немногих мыслителей, которые занимались проблемами обоснования на рубеже прошлого и нынешнего столетий. Дедекинд в своих глубоких исследованиях о природе и назначении чисел положил в основу арифметики отношение принадлежности - его метод "цепей" может даже быть взят за основу в теории вполне упорядоченных множеств - и использовал понятие множества в его полном канторовском смысле для доказательства существования бесконечных множеств. Вследствие удара, нанесенного ему парадоксом Рассела, Дедекинд на некоторое время приостановил публикацию своих исследований, основу которых он счел расшатанной.
Еще более трагичной была судьба Фреге. Он считал, что основным вопросом, на который нужно ответить при обосновании арифметики, является вопрос о том, благодаря чему мы имеем право считать числа определенными, конкретными предметами. Ведь "численность" множества - это свойство, а не предмет, и тем не менее мы оцениваем численность с помощью натурального числа, воспринимаемого нами именно как предмет. Происходит опредмечивание: свойство превращается в предмет. Значит, заключает Фреге, без оператора опредмечивания не обойтись. И Фреге формулирует "Основной закон": каждой функции f соответствует ее график Гf. Таким образом, в предметную область кроме исходных, первоначальных предметов, обозначаемых "Истина" (И) и "Ложь" (Л), попадают и новые предметы - графики функций.
Фреге хотел сконструировать универсальную предметную область, в которой все предметы были бы абсолютно "равноправны". Но именно это и привело к смешению иерархий. Ведь предметы из некоторого множества и функции, определенные на этом множестве, - это разные вещи, относящиеся к совершенно разным иерархическим уровням. Нет ничего удивительного в том, что многие математики, только-только начавшие воспринимать теорию множеств как полноправного члена сообщества математических наук, изменили свою позицию.
|
|
|
Прошло около века с тех пор, как началось оживленное обсуждение парадоксов. С течением времени отношение к парадоксам стало более спокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения. Дело не только в том, что парадоксы сделались чем-то привычным. И, разумеется, не в том, что с ними смирились. Они все еще остаются в центре внимания логиков и математиков, поиски их решений активно продолжаются.
Ситуация изменилась прежде всего потому, что парадоксы оказались, так сказать, локализованными. Они обрели свое определенное, хотя и неспокойное место в широком спектре логических исследований. Стало ясно, что абсолютная строгость, какой она рисовалась в конце прошлого века и даже иногда в начале нынешнего, - это в принципе недостижимый идеал.
Было осознано также, что нет одной-единственной, стоящей особняком проблемы парадоксов. Проблемы, связанные с ними, относятся к разным типам и затрагивают, в сущности, все основные разделы логики и математики. Обнаружение парадокса заставляет глубже проанализировать наши логические интуиции и заняться систематической переработкой основ логики и математики. При этом стремление избежать парадоксов не является ни единственной, ни даже, пожалуй, главной задачей. Они являются хотя и важным, но только поводом для размышления над центральными темами математики и логики. Если сравнить парадоксы с особо отчетливыми симптомами болезни, можно сказать, что стремление немедленно исключить парадоксы было бы подобно желанию снять такие симптомы, не особенно заботясь о самой болезни. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее наши представления о логических закономерностях мышления.
Заключение
Таким образом:
Парадокс в широком смысле - это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется "безусловно правильным".
Парадокс в более узком и более современном значении - это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.
|
|
|
Все парадоксы имеют одно общее свойство - самоприменимость или циркулярность.
Парадоксы возникают в науке там, где теория не описывает процессы должным образом. Разрешение таких парадоксальных явлений ведет в свою очередь к возникновению новых теорий.
Устранить парадокс из некоторой теории - значит перестроить ее так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым.
Решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуициями.
Проблемы, связанные с парадоксами, относятся к разным типам и затрагивают все основные разделы логики и математики. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее представления о логических закономерностях мышления.
Библиография
1. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М., 1963.
2. Ивлев Ю.В. Логика. - М., 2004.
3. Кантор Г. Труды по теории множеств. - М., 1985.
4. Мадер В.В. Введение в методологию математики. - М., 1994.
5. Мадер В.В. О логико-арифметической концепции Готлоба Фреге // Историко-математические исследования, вып.30. - М., 1986.
6. Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в XIX в. - М., 1965.
|
|
|
