Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

У прямокутній ізометрії велика вісь еліпса завжди перпендикулярна до тієї аксонометричної осі, якої немає в площині кола, а мала збігається з напрямом цієї осі, або паралельна їй.

Суть аксонометричного проеціювання полягає в тому, що предмет відносять до системи координатних осей і проеціюють його разом з цими осями на вибрану площину аксонометричних проекцій.

Отже, паралельну проекцію предмета на площині, побудовану разом з прямокутними координатними осями, до яких він віднесений, називають його аксонометричною проекцією, або аксонометрією.

Утворення аксонометричної проекції точки А простору зображено на рис.2, де П' — площина аксонометричних проекцій; s — напрям проекціювання; φ — кут проекціювання; х’у’г^’ — аксонометричні осі; О' — аксонометрична проекція початку координат; А' — аксонометрична проекція точки А; А’₁ — вторинна горизонтальна проекція точки А.

Аналогічно утворюються вторинні (фронтальна та профільна) проекції точки А, які позначають відповідно А^’₂ і А'₃.

Щоб побудувати аксонометрію предмета, спочатку потрібно віднести його до системи трьох взаємно перпендикулярних площин, що збігаються з площинами проекцій, вибрати площину і напрям проекціювання, а потім побудувати на основі паралельного проекціювання за заданим напрямом на площині проекцію предмета разом з прямокутними координатними осями.

Зображення предмета ми отримуємо в аксонометрії паралельним проекціюванням його на площину проекцій.

В залежності від направлення проекціювання відносно площини аксонометричних проекцій аксонометрія може бути косокутною або прямокутною.

Зображення об’єкта на аксонометричній площині і напрям аксонометричиих осей залежать від положення площини відносно системи координатних осей, а також від напряму проекціювання.

Рис.2 Суть аксонометричного проеціювання

Означення

Якщо напрям проекціювання s перпендикулярний до площини проекцій П', то аксонометричні проекції називають прямокутними (φ = 90°).

Якщо він не перпендикулярний до цієї площини проекцій, то аксонометричні проекції називають косокутними (φ ≠ 90°).

У загальному випадку координатні осі, а разом з ними і об’єкт про- екціюються на площину проекцій П' зі спотворенням, ступінь якого визначається коефіцієнтами (показниками) спотворення по аксонометричних осях.

Якщо на кожній з координатних осей х, у, г (див. рис. 2) відкласти від точки О відрізки е_х, е_у, е_г, довжини яких дорівнюють одиниці натурального масштабу е, то внаслідок проекціювання на площину проекцій П´ дістанемо відрізки е'_х, е'_у, е'₂ — аксонометричні одиниці виміру.

Означення

Відношення аксонометричної одиниці виміру е' до одиниці натурального масштабу е визначає показник спотворення по аксонометричній осі.

Відношення між аксонометричними проекціями відрізків, які паралельні осям координат X, Y, Z та самим відрізкам, дорівнюють коефіцієнтам:

k_x = e_x/e; k_y = e_y/e; k_z = e_z/e

Залежно від того, по скількох осях показники спотворення однакові, визначають вид аксонометрії, а саме:

ізометрична проекція (ізометрія) — однакові всі три показники спотворення (k _x= k _y= k_z);

диметрична проекція (диметрія) — однакові два з трьох показників

(k _x≠ k _y= k_z

триметрична проекція (тримегрія) — показники різні (k _x≠ k _y≠ k_z).

Основоположною в теорії аксонометрії є теорема Польке — Шварца, яка стверджує, що три довільно обраних на площині відрізки, які перетинаються в одній точці, завжди можуть відображати паралельну проекцію трьох інших рівних між собою і взаємно перпендикулярних відрізків, що також перетинаються в одній точці.

Згідно з цією теоремою аксонометричні осі на площині проекцій, а також відношення показників спотворення можна задавати будь які.. При цьому показники спотворення будуть пропорційними аксонометричним одиницям виміру: k _x: k _y: k_z = е'_х: е'_у: е'_z.

2. ВИДИ АКСОНОМЕТРИЧНИХ ПРОЕКЦІЙ. ПОБУДОВА ОСЕЙ І ВИЗНАЧЕННЯ ПОКАЗНИКІВ СПОТВОРЕННЯ

На практиці ГОСТ 2.307-69 рекомендує застосовувати види аксонометричних проекцій, які наведені нижче у вигляді структурної схеми:

У прямокутній ізометрії коефіцієнти спотворення по всіх осях х^’ у^’, г^’ - однакові, оскільки координатні осі розташовані до аксонометричної площини під однаковими кутами, то з основної формули аксонометрії отримаємо, що ізометричний масштаб по аксонометричних осях х' у^’ та z' однаковий і дорівнює 0,82 від дійсного.

У прямокутній диметрії k _x= k_z ≠ ky, при цьому диметричний масштаб по осях х', z' – 0,94, а по осі y'– 0,47 натурального розміру.

Аксонометричні проекції використовуються як допоміжні кресленики, коли вимагається пояснити плоске зображення (кресленик предмета). Найчастіше використовують прямокутну ізометрію (рис. 3, а), для якої показники спотворення по всім осям однакові і дорівнюють 1 (збільшені), а також прямокутну диметрію – коефіцієнти спотворення по осям ОХ і ОZ однакові і дорівнюють 1, по осі OY – 0,5 (рис. 3, б).

Рис.3 Напрямки координатних осей в прямокутній ізометрії та диметрії

Фронтально - ізометричну проекцію виконують без спотворення по осях х^’, у^’, z^’ (їх коефіцієнт дорівнює одиниці) рис.4.

Рис.4

3. ПОЗИЦІЙНІ ВЛАСТИВОСТІ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР В АКСОНОМЕТРІЇ.

Побудова аксонометричних зображень потребує знання загальних властивостей співвідношення геометричних фігур. Для цього розглянемо питання, що мають загальне значення при побудові аксонометрії.

Властивості проекцій геометричних фігур.

В аксонометрії задають:

· точку — аксонометричною і однією із вторинних проекцій (рис. 5, а,б,в);

· пряму — аксонометричною і вторинною проекціями відрізка (напряму) (рис. 6,а);

· площину — аксонометричними і вторинними проекціями: трьох точок, що не належать одній прямій; точки і прямої; двох паралельних прямих; двох прямих, що перетинаються, а також проекціями плоских фігур або слідами площини (рис. 6, б).

Для аксонометричних проекцій залишаються справедливими позиційні властивості геометричних пар в ортогональних проекціях.

Наприклад:

аксонометричні проекції паралельних прямих, а також їхні вторинні проекції залишаються паралельними;
точка перетину аксонометричних і вторинних проекцій прямих належить одній лінії сполучення, у випадку з мимобіжними прямими ці точки належать різним лініям сполучення;
якщо точка належить площині, то вона належить і прямій, що лежить у цій площині.

а б в

Рис.5. Прямокутна ізометрія точки.

а б

Рис. 6 Аксонометрія відрізка прямої, площини.

4. ПОБУДОВА ІЗОМЕТРИЧНОЇ ПРОЕКЦІЇ БАГАТОКУТНИКІВ.

Побудову багатокутників в аксонометрії можна виконувати методом координат, коли кожну вершину многокутника будують в аксонометрії як окрему точку (побудова точки методом координат розглянута раніш), потім побудовані точки з'єднують відрізками прямих ліній і отримують замкнену лінію у вигляді многокутника.

G Зверніть увагу

Оскільки плоска фігура має два виміри, то в побудові її аксонометричної проекції використовують дві осі залежно від того, якій площині проекцій фігура паралельна. При паралельності площині Н використовують осі х і у, при паралельності площині V – х і z, при паралельності площині W – осі у і z.

Рис. 7 Прямокутна ізометрія плоскої фігури

На рис. 7, а розглянуто побудову в ізометрії прямокутника ABCD, що лежить у горизонтальній площині. На рис. 7, б зображено ізометричну проекцію прямокутника АВСD, розміщеного паралельно площині проекцій V.

На рис. 7, в, г, д показано побудову трикутника, розташованого паралельно різним площинам проекцій. Зверніть увагу на розташування координатних осей.

5. ПОБУДОВА ІЗОМЕТРИЧНОЇ ПРОЕКЦІЇ КОЛА.

Прямокутні аксонометричні проекції дають зображення, що наближаються до реального зорового сприйняття об’єктів. Косокутні проекції мають іншу перевагу — при забезпеченні наочності зображень дають змогу будувати складні контури в певних площинах без спотворення. Практичне значення має вміння будувати аксонометрію кола, яке зображується еліпсами в різних площинах залежно від виду аксонометрії.

Ізометричними проекціями кола, розташованого у площинах проекцій або в площинах, паралельних їм, є еліпси з однаковим співвідношенням осей (рис.8, а). Великі осі цих еліпсів дорівнюють 1,22d, a малі – 0,71d, де d – діаметр зображуваного кола. Напрям осей еліпсів залежить від положення проеціювального кола.

" ПРАВИЛО

У прямокутній ізометрії велика вісь еліпса завжди перпендикулярна до тієї аксонометричної осі, якої немає в площині кола, а мала збігається з напрямом цієї осі, або паралельна їй.

Наприклад, коло, що лежить у горизонтальній площині проекцій, проеціюється в ізометрії в еліпс, велика вісь якого перпендикулярна до осі O'z', а мала збігається з нею.

Рис. 8 Прямокутна ізометрія кола

Рис.9 Прямокутна диметрія кола

Рис.10 Фронтально-ізометрична проекція кола

Для спрощення побудови аксонометричних рисунків еліпси замінюють циркульними кривими – чотирицентровими овалами.

Величину осей овала можна обчислити аналітично або знайти графічно. На рис. 8, б показано спосіб графічного знаходження величини осей в ізометрії, залежно від діаметра d. Побудова зрозуміла з рисунка.

Розглянемо побудову овалів, розміщених у площинах проекцій або їм паралельних. Припустимо, що треба побудувати ізометричну проекцію кола діаметром 60 мм, розміщеного в площині проекцій Н ( рис. 11).

Рис. 11 Побудова кола в прямокутній ізометрії

Будуємо аксонометричні осі О’х’, О’у’ і відкладаємо на них від точки О’ відрізки, що дорівнюють радіусу заданого кола, тобто 30 мм. Через знайдені точки 1’, 2’, 3’, 4’ проводимо лінії, паралельні осям О’х’, О’у’, і дістаємо ромб A’B’C’D’, який є ізометричною проекцією квадрата, описаного навколо цього кола. Вершини ромба, які лежать на короткій діагоналі, є центрами для проведення великих дуг овала. Проводимо велику діагональ ромба B’D’ і сполучаємо вершину А’ із точками 2’ і 3’. Перетин цих ліній з великою діагоналлю ромба визначить два інших центри овала – О₁’ і О₂’. Із центрів А’ і С’ креслимо великі дуги овала радіусом R = A’2’, а з центрів О₁’ і О₂’ – малі дуги радіусом r = О₂’3’.

Рис.12

На рис. 12, цим способом побудовано ізометричну проекцію кола, яке лежить у площині V, а на рис. 13, – ізометричну проекцію кола, яке лежить у профільній площині W.

Рис.13

6. ПОБУДОВА АКСОНОМЕТРІЇ ОБ’ЄМНИХ ФІГУР.

Як зазначалося, існує безліч видів аксонометрії. Вибір тієї чи іншої системи має забезпечувати наочність зображення і простоту його побудови.

Доцільно користуватися стандартними видами аксонометрії, в яких показники спотворення зведено до зручних при користуванні зображень величин. Серед прямокутних аксонометричних проекцій — це ізометрична (рис. 3) і диметрична (рис. 3), серед косокутних — фронтальна ізометрична (рис. 4. На цих рисунках зображено зведені показники спотворення, а на рисунках 8,9,10 показано відносні розміри осей еліпсів — аксонометричних проекцій кіл.

Треба побудувати, наприклад, аксонометрію правильної піраміди за її ортогональними проекціями (рис. 14). Оскільки основою піраміди є шестикутник, то для забезпечення наочності зображення доцільно звернутися, скажімо, до прямокутної ізометрії. Побудову виконують у такій послідовності:

· Наносять ортогональні осі на горизонтальній проекціях, будують ізометричну проекцію осей.

· Будують основу піраміди в цілому: вершини шестикутника, його сторони. Сполучивши вершини, отримують аксонометрію основи. Вимірюють висоту піраміди і відкладають цю величину вздовж осі аплікат від центра шестикутника, визначають вершину S. З точки S проводять бічні ребра піраміди.

· Точки на поверхні геометричного тіла визначають за принципом: кожну точку в просторі визначає три виміри: абсциса (х), ордината (у) та апліката (z).

Рис.14 Прямокутна ізометрія піраміди

Перехід від ортогональних проекцій предмету до аксонометричного зображення рекомендується здійснювати в такій послідовності (рис. 15):

Рис. 15

1. На ортогональному кресленні розмічають осі прямокутної системи координат, до якої відносять даний предмет. Осі орієнтують так, щоб вони допускали зручне вимірювання координат точок предмету. Наприклад, при побудові аксонометрії тіла обертання одну з координатних осей доцільно сумістити з віссю тіла.

2. Будують аксонометричні осі з таким розрахунком, щоб забезпечити якнайкращу наочність зображення і видимість тих чи інших точок предмету.

3. На одній з ортогональних проекцій предмету креслять вторинну проекцію.

4. Створюють аксонометричне зображення, для наочності роблять виріз чверті.

ДСТ 2.317-69 визначає умовності та способи нанесення розмірів при побудові аксонометричного зображення. При цьому основну увагу слід звернути на таке:

Лінії штриховки розрізів і перерізів в аксонометричних проекціях наносять паралельно одній з діагоналей проекцій квадратів, які лежать у відповідних координатних площинах і сторони яких паралельні аксонометричним осям (рис.16). На відміну від комплексних проекцій, в аксонометрії штрихують у розрізах і перерізах ребра жорсткості, спиці маховиків, коліс та інші подібні елементи.

Рис. 16 Напрям штриховки в аксонометричних проекціях.

При нанесенні розмірів виносні лінії проводять паралельно аксонометричним осям, а розмірні – паралельно вимірюваному відрізку (рис. 5, б).

´ Питання для самоконтролю

1. Що називається аксонометрією?

2. В яких випадках застосовуються аксонометричні проекції?

3. Як розташовуються осі проекцій і які показники спотворення по осях в ізометричній і диметричній прямокутних проекціях?

4. Як побудувати коло в прямокутній ізометрії?

5. Назвіть косокутні аксонометричні проекції.