 |
Дисперсии доли альтернативного признака в совокупности,
|
|
|
|
ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
Методические указания к решению задач
По теме «Показатели вариации»
Для измерения степени варьирования (колеблемости) признака служит вариация, показателями которой являются: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), коэффициент вариации.
Размах вариации
Размах вариации (R) характеризует пределы вариации (изменения) индивидуальных значений (или вариантов) признака (x) в статистической совокупности
где 
- наибольшее и наименьшее значение признака.
Среднее линейное отклонение
Среднее линейное отклонение вычисляется по формулам средней арифметической:
- простой (невзвешенной)
,
где 
- i -е значение признака x;
- средняя величина признака x;
- статистический вес i -го значения признака;
n - число членов совокупности;
- взвешенной
Среднее квадратическое отклонение
Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формулам:
- невзвешенной
- взвешенной
Дисперсия количественного признака
Дисперсия количественного признака определяется по формулам средней арифметической:
- невзвешенной
- взвешенной
Дисперсия может быть рассчитана следующим образом:
где 
- средний квадрат значений признака;
- квадрат средней величины признака.
Свойства дисперсии количественного признака
1. При уменьшении или увеличении весов (частот) варьирующего признака в K раз дисперсия не изменяется
2. При уменьшении или увеличении каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсия не изменяется
|
|
|
где 
- среднее значение признака (x - A).
3. При уменьшении или увеличении каждого значения признака в одинаковое число K раз дисперсия уменьшается или увеличивается в K 2 раз, а среднее квадратическое отклонение - в K раз
где 
- среднее значение признака xK.
4. Дисперсия признака относительно произвольной величины A всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной
Доказательство:
Дисперсия относительно средней величины
При А = 0
Вычисление дисперсии способом моментов
Метод упрощенного расчета дисперсии осуществляется по формуле
и называется способом моментов.
Показатели m 1, m 2 представляют собой моменты первого и второго порядка и рассчитываются следующим образом
Доказательство:
Дисперсии количественного признака в совокупности,
Разделенной на группы
Для анализа связей количественных признаков в статистической совокупности, разделенной на группы, рассчитываются следующие дисперсии: групповая, межгрупповая, внутригрупповая и общая.
Групповая дисперсия (частная) характеризует вариацию признака в группе, обусловленную действием на него всех прочих факторов, кроме признака, положенного в основание группировки (группировочного признака):
где 
- i -е значение признака в j -й группе;
- частная (групповая) средняя величина признака в j -й группе;
- статистический вес i -го значения признака в j -й группе;
- число различных значений признака в j -й группе.
Межгрупповая дисперсия измеряет степень колеблемости (вариацию) признака во всей статистической совокупности за счет фактора, положенного в основание группировки (группировочного признака):
где 
- среднее значение признака в совокупности (общая средняя);
- вес j -й группы, представляющий собой численность единиц в j -й
|
|
|
группе;
J - количество групп в статистической совокупности.
Внутригрупповая дисперсия (средняя групповых дисперсий) измеряет степень колеблемости признака во всей совокупности в целом за счет действия на него всех прочих факторов (признаков), кроме группировочного признака:
Общая дисперсия измеряет степень колеблемости признака, за счет влияния всех действующих на него факторов:
Общая дисперсия признака в статистической совокупности, разделенной на группы, может быть определена по основной формуле дисперсии
Межгрупповая и общая дисперсии применяются для определения показателей тесноты связи показателей в совокупности, разделенной на группы.
Дисперсия качественного альтернативного признака
Для определения дисперсии альтернативного признака допустим, что общее число единиц совокупности равно n. Число единиц, обладающих изучаемым признаком - f, тогда число единиц, не обладающих изучаемым признаком, равно (n - f). Ряд распределения качественного (альтернативного) признака имеет следующий вид
| Значение переменной | Частота повторений |
| f n - f | |
| Итого | n |
Средняя арифметическая такого ряда равна:
то есть равна относительной частоте (частости) появления изучаемого признака, которую можно обозначить через p, тогда 
Доля единиц, обладающих изучаемым признаком равна p, доля единиц, не обладающих изучаемым признаком, равна q, тогда p + q = 1.
Дисперсия доли альтернативного признака определяется по формуле
Дисперсии доли альтернативного признака в совокупности,
Разделенной на группы
Дисперсия доли альтернативного признака в группе (групповая дисперсия) рассчитывается по формуле
где 
- доля единиц в j -й группе, обладающих изучаемым признаком;
- доля единиц в j -й группе, не обладающих изучаемым признаком.
Межгрупповая дисперсия доли признака
где - число единиц совокупности в j -й группе;
J - количество групп в статистической совокупности;
- средняя доля признака во всей совокупности, которая рассчитывается следующим образом
Внутригрупповая дисперсия (средняя из групповых дисперсий)
Общая дисперсия доли признака в статистической совокупности, разделенной на группы
|
|
|
Общая дисперсия может быть также рассчитана как сумма средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии по правилу сложения дисперсий
Коэффициент вариации
Коэффициент вариации вычисляется по формуле
где 
- среднее квадратическое отклонение;
- средняя величина признака.
Коэффициент вариации выражается обычно в процентах и дает представление о степени однородности статистической совокупности. Если коэффициент меньше 25-30%, то статистическую совокупность по изучаемому признаку можно считать однородной.
|
|
|
