Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот (интервальный вариационный ряд).

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот ( —сумма частот, которые попали в -й интервал):

Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена нормально.

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

1. Вычислить выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение , причем в качестве вариант принимают среднее арифметическое концов интервала:

2. Пронормировать , т. е. перейти к случайной величине и вычислить концы интервалов: , , причем наименьшее значение , т. е. , полагают равным , а наибольшее, т. е. , полагают равным .

3. Вычислить теоретические частоты

где — объем выборки (сумма всех частот); — вероятности попадания в интервалы ; — функция Лапласа.

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

c. составляют расчетную таблицу, по которой находят наблюдаемое значение критерия ;

d. по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы ( — число групп выборки) находят критическую точку правосторонней критической области.

Если — нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно). Если — гипотезу отвергают. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Малочисленные частоты () следует объединить; в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле следует в качестве принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

1.12.3 Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Пусть задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот причем (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина имеет показательное распределение.

Для того чтобы при уровне значимости проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого приняв в качестве «представителя» -го интервала его середину , составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2. Принять в качестве оценки параметра показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3. Найти вероятности попадания в частичные интервалы по формуле

4. Вычислить теоретические частоты:

где — объем выборки.

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где — число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то — число интервалов, оставшихся после объединения.

1.12.4 Проверка гипотезы о биномиальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Произведено опытов. Каждый опыт состоит из независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события одна и та же. Регистрируется число появлений события в каждом опыте. В итоге получено следующее распределение дискретной случайной величины — числа появлений события (в первой строке указано число появлений события в одном опыте; во второй строке — частота , т. е. число опытов, в которых зарегистрировано появлений события ):

Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о распределении дискретной случайной величины по биномиальному закону.

Для того чтобы при уровне значимости проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина (число появлений события ) распределена по биномиальному закону, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю .

2. Принять в качестве оценки параметра биномиального распределения величину:

3. Найти по формуле Бернулли вероятности появления ровно событий в испытаниях

4. Вычислить теоретические частоты:

где — объем выборки.

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты по критерию Пирсона, приняв число степеней свободы (если вероятность появления события задана, т. е. не оценивалось по выборке); (если же вероятность была оценена по выборке).

Если было произведено объединение малочисленных частот, то — число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

1.12.5 Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Пусть задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот , причем (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина распределена равномерно.

Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении , т. е. по закону

надо:

1. Вычислить выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение (если объем выборки невелик, то лучше взять «исправленное» среднее квадратическое отклонение ).

2. Оценить параметры и — концы интервала, в котором наблюдались возможные значения , по формулам (через и обозначены оценки параметров):

, .

3. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения

4. Найти теоретические частоты:

;

, ();

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где — число интервалов, на которые разбита выборка.

1.12.6 Проверка гипотезы о распределении по закону Пуассона генеральной совокупности по критерию Пирсона

Пусть задано эмпирическое распределение дискретной случайной величины . Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.

Для того чтобы при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю .

2. Принять в качестве оценки параметра к распределения Пуассона выборочную среднюю:

3. Найти по формуле Пуассона вероятности появления ровно событий в испытаниях ( — объем выборки)

4. Вычислить теоретические частоты:

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты по критерию Пирсона, приняв число степеней свободы , где — число различных групп выборки (если производилось объединение малочисленных частот в одну группу, то — число оставшихся групп).

1.12.7 Критерий Колмогорова

Критерий Колмогорова предназначен для сопоставления эмпирического распределения с теоретическим. Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождений между двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения.

Если в методе хи-квадрат мы сопоставляли частоты двух распределений отдельно по каждому разряду, то здесь мы сопоставляем сначала частоты по первому разряду, потом по сумме первого и второго разрядов, потом по сумме первого, второго и третьего разрядов и т.д. Таким образом, мы сопоставляем всякий раз накопленные к данному разряду частоты.

Если различия между двумя распределениями существенны, то в какой-то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, и мы сможем признать различия статистически достоверными. В формулу критерия Колмогорова включается эта разность. Чем больше эмпирическое значение , тем более существенны различия.