Комплексная огибающая. Векторное представление сигнала
Общая запись для полосового радиосигнала. Комплексная огибающая
Полосовые радиосигналы. Виды модуляции
При передаче информации в радиотехнике используются полосовые радиосигналы. Введем несколько понятий, для строгости рассуждений. Модулирующим сигналом
будем называть низкочастотный информационный сигнал (речь, цифровая информация и т.д.), который требуется передать на частоте
, где
- верхняя частота спектра модулирующего сигнала. Полосовыми сигналами назовем сигналы, чьи спектры сосредоточены в некоторой полосе
около несущей частоты
. На рисунке 1 наглядно приведены спектры вещественного модулирующего (красный) и полосового (синий) сигналов.
Рисунок 1: Спектр модулирующего и полосового сигналов
Поскольку сигналы вещественные, то их спектры симметричны относительно нулевой частоты. Перенос модулирующего сигнала
на несущую частоту
называется модуляцией.
Рассмотрим способы модуляции, для этого рассмотрим несущее колебание
:
| (1)
|
где
- амплитуда несущего колебания,
- начальная фаза. Также можно ввести понятие полной фазы несущего колебания:
| (2)
|
а также мгновенной частоты сигнала, как производную от полной фазы:
| (3)
|
Мгновенная частота несущего сигнала — постоянная величина равная
. Таким образом при модуляции мы можем управлять всего двумя параметрами несущего колебания: амплитудой и полной фазой. При управлении только амплитудой получим амплитудную модуляцию и все ее производные, при управлении полной фазой получим угловую модуляцию (фазовая и частотная). При управлении и амплитудой и полной фазой можно получить все известные виды модуляции. Теперь можно рассмотреть общую запись полосового сигнала:
| (4)
|
где
— закон изменения амплитуды несущего колебания, а
— изменение фазы несущего колебания в соответствии в с модулирующим сигналом.
Комплексная огибающая. Векторное представление сигнала
Введем понятие комплексной огибающей и векторного представления сигнала. Для этого рассмотрим комплексный сигнал
| (5)
|
Из выражения (5) можно заметить, что
, то есть реальная часть комплексного сигнала совпадает с полосовым радиосигналом. По формуле Эйлера можно представить:
| (6)
|
Таким образом:
| (7)
|
Выделенный сигнал
носит название комплексной огибающей сигнала
. Рассмотрим свойства этого сигнала. Сигнал
является комплексным, с изменяющимися во времени амплитудой и фазой, причем изменение амплитуды сигнала
полностью совпадает с изменением амплитуды радиосигнала
, а изменение фазы полностью совпадает с изменением фазы радиосигнала
. Однако отсутствие множителя
говорит о том что сигнал
представляет собой «перенесенный на нулевую частоту комплексный сигнал
». Комплексная огибающая сигнала существенно упрощает анализ сигнала.
Любое комплексное число можно представить в виде точки на комплексной плоскости или вектора выходящего из 0 до этой точки, а комплексный сигнал можно трактовать как комплексную функцию времени, т.е. вектор который описывает на комплексной плоскости некоторую траекторию в течении времени, как это показано на рисунке 2.
Рисунок 2: Векторное представление комплексного сигнала
Тогда комплексную экспоненту
на комплексной плоскости можно представить вектором единичной амплитуды поворачивающегося за одну секунду на угол
, совершая при этом
оборотов в секунду. Таким образом при наблюдении за
мы увидим окружность единичного радиуса которую вычерчивает вектор с частотой
. При этом единичная окружность будет искажаться сигналом
, а именно в течении времени вектор
, будет менять амплитуду в соответствии с
и скорость вращения в соответствии с
. Так вот комплексная амплитуда позволяет нам остановить вращение вектора с частотой
и посмотреть как меняется его амплитуда и фаза во время вращения. Это равносильно тому что ученый пытается рассмотреть муху когда она летает по комнате выписывая круги. Делать это не очень удобно, в то время как ее можно очень детально рассмотреть если поймать. Так же и комплексная огибающая это как бы пойманная неподвижная муха, мы можем детально изучить траекторию вектора комплексной огибающей.
Теперь вернемся к рассмотрению комплексной огибающей.
можно представить в виде реальной и мнимой частей:
| (8)
|
где
- синфазная составляющая комплексной огибающей (или координата по оси абсцисс), а
- квадратурная составляющая (или координата по оси ординат, как это показано на рисунке 3)
Рисунок 3: Векторное представление комплексной огибающей
Воспользуйтесь поиском по сайту: