Дифференциальные уравнения

ПРОГРАММА

ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА

ПО НАПРАВЛЕНИЮ

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

И ИНФОРМАТИКА (бакалавриат).

 

В программу государственного экзамена включены вопросы по дисциплинам: алгебра, геометрия, математический анализ, дифференциальные уравнения, информатика и языки программирования.

Программы этих дисциплин состоят из двух частей. Часть первая — теоретическая, все теоремы, включенные в эту часть, необходимо знать с доказательствами. Часть вторая — практическая, содержит основные понятия и навыки, которыми должен владеть выпускник.

Экзаменационный билет содержит два теоретических вопроса, взятых из первых частей соответствующих дисциплин, и одну задачу, тематика которой оговорена во вторых частях программы.

 

АЛГЕБРА

Часть I

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Определения определителя и его основные свойства. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Критерий обратимости матрицы.
2. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ. Наибольший общий делитель двух многочленов (алгоритм Евклида).
3. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ). Линейная зависимость и независимость систем векторов. Подпространства. Линейная оболочка системы векторов. Базис и размерность. Теорема о размерности суммы двух подпространств. Теорема о ранге матрицы.Теорема о размерности пространства решений однородной СЛАУ.
4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Ядро и образ линейного отображения. Матрица линейного преобразования конечномерного векторного пространства. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, теорема о связи собственных значений линейного преобразования с корнями его характеристического многочлена.
5. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. Теорема об ортогонализации. Ортонормированный базис.

Часть II

1. Вычисление определителя. Действия с матрицами. Вычисление обратной матрицы. Формула Крамера. Метод Гаусса решения линейных алгебраических систем.
2. Алгоритм деления с остатком в кольце многочленов с одной неизвестной. Алгоритм Евклида.
3. Методы вычисления ранга матрицы. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.
4. Отыскание собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.
5. Процесс ортогонализации системы векторов евклидова пространства. Вычисление ортогональной проекции.

 

 

ГЕОМЕТРИЯ

Часть I

1. ВЕКТОРЫ. Сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарность и компланарность векторов. Координаты вектора в аффинной системе координат. Скалярное и векторное произведения. Свойства, геометрический смысл этих произведений и их выражение в координатах.

2. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. Теорема о параметрическом уравнении прямой в пространстве. Теорема об общем уравнении плоскости в пространстве. Нормальный вектор и теорема о расстоянии от точки до плоскости.

3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Определение и вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы.

 

Часть II

1. Деление отрезка в заданном отношении. Расстояние между двумя точками. Объем параллелепипеда. Вычисление скалярного, векторного и смешанного произведений по координатам множителей.
2. Основные типы уравнений прямой и плоскости. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до плоскости и до прямой. Взаимное расположение плоскостей.
3. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Часть I

1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛА. Предел последовательности и предел функции. Теорема о существовании точной верхней грани.

2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении функции.

3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ Теоремы Ролля и Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Интеграл Римана. Теорема об интегрируемости непрерывной функции. Теорема о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

5. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Дифференцируемость функций многих переменных. Теорема о достаточных условиях дифференцируемости функции.

6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Равномерная и поточечная сходимости функциональных последовательностей и рядов. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара о радиусе сходимости степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов (как следствия).

Часть II

1. Свойства пределов функций. Замечательные пределы. Вычисление пределов функций с использованием правила Лопиталя, формулы Тейлора.

2. Таблица производных. Исследование функций с помощью производных. Экстремум, выпуклость. Таблица первообразных. Методы интегрирования: интегрирование по частям, замена переменных, формула Ньютона-Лейбница. Вычисление несобственных интегралов.

3. Вычисление частных производных и дифференциалов сложных функций и функций, заданных неявно.

4. Исследование сходимости числовых рядов (признаки сравнения, Коши, Даламбера, Дирихле, Вейерштрасса). Разложение функций в степенные ряды. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда.

 

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Часть I

1. Метод вариации постоянной для нахождения решения линейного неоднородного уравнения. Уравнения Бернулли.

2. Теорема о виде частного решения для линейного неоднородного уравнения со специальной правой частью.

3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной линейной системы.

4. Устойчивость решения по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости.

 

Часть II

1. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.

2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (неоднородное со специальной правой частью).

3. Фазовая плоскость линейной однородной системы.

 

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: