Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Решение

 

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

 

 (1)

 

где T₀ и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

 

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т₀=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

 

 (2)

 

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:

 

Т = Т₁ + Т₂ + 4Т₃ + Т₄. (3)

 

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

 

 (4)

 

Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,

 

, (5)

 

где J_2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

 

, (6)

 

w₂ – угловая скорость барабана 2:

.(7)

 

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

 

. (8)

 

Кинетическая энергия колеса 3, совершающего плоскопараллельное движение:

 

,    (9)

 

где V_C3 – скорость центра тяжести С₃ барабана 3, J_3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

 

, (10)

 

w₃ – угловая скорость барабана 3.

Мгновенный центр скоростей находится в точке С_V. Поэтому

 

, (11)

.  (12)

 

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

 

. (13)

Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно

 

. (14)

 

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

 

 

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

 

или

. (15)

 

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

Работа силы тяжести :

 

 (16)

 

Работа силы тяжести :

 

   (17)

 

Работа пары сил сопротивления качению :

   (18)

 

где

 (19)

  (20)

(21)

 

Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:

 

 (22)

Работа силы тяжести :

 

 (17)

 

Работа силы тяжести :

 

 (23)

 

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):

 

.

 

Подставляя заданные значения, получаем:

 

Или

 

.  (24)

 

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (24):

 

,

 

откуда выводим

 

м/с.

 

Дано:

R₂=30; r₂=20; R₃=40; r₃=40

X=C₂t²+C₁t+C₀

При t=0 x₀=7 =0

t₂=2 x₂=557 см

X₀=2C₂t+C₁

C₀=7

C₁=0

557=C₂ *5²+0*5+7

25C₂=557-7=550

C₂=22

X=22t²+0t+7

=V=22t

a= =22

V=r_{2 2}

R_{2 2}=R_{3 3}

₃=V*R₂/(r₂*_R3)=(22t)*30/20*40=0,825t

₃= ₃=0,825

V_m=r₃* ₃=40*(0,825t)=33t

a^t_m=r₃

=0,825t

a^t_m=R₃ =40*0,825t=33t

aⁿ_m=R₃ ²₃=40*(0,825t)²=40*(0,825(t)²

a=

 

***********************************

 

Дано:R₂=15; r₂=10; R₃=15; r₃=15

X=C₂t²+C₁t+C₀

При t=0 x₀=6 =3

t₂=2 x₂=80 см

X₀=2C₂t+C₁

C₀=10

C₁=7

80=C₂ *2²+3*2+6

4C₂=80-6-6=68

C₂=17

X=17t²+3t+6

=V=34t+3

a= =34

V=r_{2 2}

R_{2 2}=R_{3 3}

₃=V*R₂/(r₂*_R3)=(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3

₃= ₃=3,4

V_m=r₃* ₃=15*(3,4t+0,3)=51t+4,5

a^t_m=r₃

=3,4t

a^t_m=R₃ =15*3,4t=51t

aⁿ_m=R₃ ²₃=15*(3,4t+0,3)²=15*(3,4(t+0,08)²

a=

 

Решение второй задачи механики

Дано:

m=4.5 кг; V₀=24 м/с;

R=0.5V H;

t₁=3 c;

f=0.2;

Q=9 H;  F_x=3sin(2t) H.

 

Определить: x = f(t) – закон движения груза на участке ВС

Решение:

1) Рассмотрим движение на промежутке АВ

 

учитывая, что R=0.5V H;

 

Разделяем переменные и интегрируем

 

 

2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V₀=V_B)

 

 

Дано:

m =36 кг

R =6 см=0,06 м

H =42 см=0,42 м

y_C =1 см=0,01 м

z _С =25 см=0,25 м

АВ=52 см=0,52

М=0,8 Н·м

t ₁ =5 с

Найти реакции в опорах А и В.

 

Решение

Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера:

 

 (1)

 

Для определения углового ускорения ε из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z по формуле

 

, (2)

 

где J_{z 1} − момент инерции тела относительно центральной оси С _{z 1}, параллельной оси z; d – расстояние между осями z и z ₁.

Воспользуемся формулой

 

, (3)

 

где α, b, g - углы, составленные осью z ₁ с осями x, h, z соответственно.

Так как α=90º, то

 

. (4)

 

Определим моменты инерции тела ,  как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии h, z

 

;

.

 

Вычисляем

 

;

.

Определяем угол g из соотношения

 

;

;

.

 

Угол b равен

 

;

.

 

По формуле (4), вычисляем

 

.

 

Момент инерции тела относительно оси вращения z вычисляем по формуле (2):

 

,

 

где d = y_C;

 

.

 

Из последнего уравнения системы (1)

;

.

 

Угловая скорость при равноускоренном вращении тела

 

,

 

поэтому при ω₀=0 и t = t ₁ =5 c

 

.

 

Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции  и  тела. , так как ось х, перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А.

 

Центробежный момент инерции тела  определим по формуле

 

,

 

где , т.е.

 

.

Тогда

 

.

 

Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства

 

 

 

 

Отсюда

 

Ответ: , , , .

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

 

Исходные данные:

x=5cos(pt²/3); y= -5sin(pt²/3);  (1)

t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).

 

Решение:

Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме.

 

x² + y² = (5cos(pt²/3))² + (-5sin(pt²/3))²;

 

Получаем x² + y² = 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1.

Вектор скорости точки

 

    (2)

Вектор ускорения точки

 

 

Здесь V_x, V_y, a_x, a_y – проекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1)

 

        (3)    

 

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

 

V=Ö(V_x² + V_y²); (4)

 

и модуль ускорения точки:

 

а = Ö(а_х² +а_у²). (5)

 

Модуль касательного ускорения точки

 

а_t=|dV/dt|, (6)

а_t= |(V_xa_x+V_ya_y)/V| (6’)

 

Знак “+” при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак “ - “ - что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки

 

а_п= V²/p; (7)

 

p – радиус кривизны траектории.

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

 

a_n = Ö(а² -a_t²); (8)

 

После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

 

p=V²/ a_n. (9)

 

Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

 

Координаты см		Скорость см/с			Ускорение, см/с2					Радиус см
х	у	Vx	Vy	V	ax	ay	a	at	an	p
2.5	-2.5Ö3	-5p/Ö3	-5p/3	10p/3	-20.04	13.76	24.3	10.5	21.9	5

 

Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени.

 

Дополнительное задание:

z=1.5t x=5cos(pt²/3); y= -5sin(pt²/3); t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).

 

Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения

 

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

 

V=Ö(V_x² + V_y²+V_z²);

 

и модуль ускорения точки:

 

а = Ö(а_х² +а_у²+ а_z²).

V= ;

a=24.3 см/с;

 

Касательное ускорение точки

 

а_t= |(V_xa_x+V_ya_y+ V_za_z)/V|

a_t=(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с

 

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

 

a_n = Ö(а² -a_t²);

a_n=21.98 см/с².

 

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

 

p=V²/ a_n. р=5.1 см

 

Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

Координаты см			Скорость см/с				Ускорение, см/с2						Радиус см
x	y	z	Vx	Vy	Vz	V	ax	ay	az	a	at	an	p
2.5	-4.33	1.5	-9.07	-5.24	1.5	10.58	-20.04	13.76	0	24.3	10,36	21.98	5.1

 

Задание: точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

 

Дано:

ОМ=Sr=120pt² см;

j_е=8t² – 3t рад;

t1=1/3 c; R=40 см.

 

Решение:

1) Положение точки М на теле D определяется расстоянием S_r=ОМ

при t=1/3 c   S_r=120p/9=41.89 см.

 

 

При t=1/3с V_r=80p=251.33 см/с.

 

a_rt=d²S_r/dt²      a_rt=240p=753.98 см/с²

a_rn=V_r²/R         a_rn=(80p)²/40=1579.14 см/с²

 

2) V_e=w_er, где r- радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М.

a=OM/R. r=R*sina=40*sin(p/3)=34.64 см.   

w_е=dj_e/dt=16t-3 при t=1/3 w_е=7/3=2.33 с^-1

V_e=80.83 см/с.

а_е^ц=w_e² r а_е^ц=188.6 см/с².

а_е^в=e_еr    e_е= d²j_e/dt²=16 с^-2              а_е^в=554.24 см/с².

3)

а_с=2*w_еV_rsin(w_е, V_r)          sin(w_е, V_r)=90-a=p/6 a_c=585.60 см/с²

4)

V=Ö(V_e²+V_r²)  V=264.01 см/с

 

Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций.

 

a_x=a_е^в+а_с

a_y=a_rncos(p/3)+a_rtcos(p/6)

a_z=-а_е^ц - a_rncos(p/6)+a_rtcos(p/3)

а=Ö(a_x²+a_y²+a_z²)  

 

Результаты расчетов сведены в таблицу

 

w e, c-1

Скорость см/с