Методика формирования понятий общих свойств функций
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
В школьной математике функции образуют классы, обладающие общностью аналитического способа задания, сходными особенностями графиков, областей применения. В курсе алгебры происходит вживление основных понятий функциональной линии. Каждая функция представлена в виде объекта, и её освоение происходит в сопоставлении черт, специфических для неё. Переходя к изучению класса функций (например, линейных) необходимо исследовать данную функцию, как член класса и изучить свойства всего класса на примере типичной функции. Связи внутри функциональной линии при изучении функций: 1). Индивидуально-заданная функция Общее понятие функции данная функция характерные приёмы изучения и исследования данной функции 2). Функция, входящая в класс Общее понятии функции данная функция общие свойства класса функций характерные приёмы изучения и исследования функций данного класса ведущие примеры функций данного класса. Методика изучения общих функциональных понятий. Понятие функции вводится в 7 классе, многие общие функциональные понятия вводятся в теме "Числовые функции" в 4 классе. Только понятие периодичности вводится в 10 классе и в 11 – понятие функции, обратной данной. Методическая схема введения понятия функции: 1. Понятие функции вводится конкретно-индуктивным способом; 2. На основании конкретной формулы устанавливаются характеристические свойства общего понятия функции: области определения, значения, зависимость: каждому - единственное значение. 3. Формулируются определения функции, сообщается учителем область определения и область значения. 4. Проиллюстрировать сказанное рисунком. 5. Привести контр пример понятия функции:; область определения; область значений.
6. Рассмотреть упражнения. 7. Закрепить формулировку понятия функции. По этой же схеме можно изучать и остальные общие функциональные свойства: чётность, монотонность, периодичность и т.д.
Методическая схема изучения функций. Изучение функций в классе функций
Методические схема изучения функции. 1. Рассмотреть подводящую задачу, с помощью которой мотивируется изучение новой функции. 2. На основе математизации эмпирического материала сформулировать определение функции (сообщить формулу). 3. Составить таблицу значений функции и построить "по точкам" её график. 4. Провести исследование основных свойств функции (преимущественно по графику) 5. Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции. Особенность схемы-исследования функции имеет наглядно-геометрический подход, аналитическое исследование имеет ограниченный характер. Схема применима в изучении линейной, квадратичной, степенной и других функций, с которыми учащиеся знакомятся в курсе алгебры. Изучение функций в классе функций. Класс линейных функций. Типичный для математики класс функций – линейные. Первоначальное представление связывается с равномерным прямолинейным движением или с построением графика некоторой линейной функции. Рассматривая второй источник можно убедиться в том, что график отдельно взятой линейной функции не может привести к формулированию представлений об основных свойствах графиков всех линейных функций. Первый способ: использование загущения точек на графике. а) нанесение нескольких точек; б) наблюдение – все построенные точки расположены на одной прямой; в) проверка – берём произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значения функции; г) наносим точку на координатную плоскость – она принадлежит построенной прямой. Такой приём приведёт к пониманию того, что график любой линейной функции – прямая (выделение одного из свойств линейной функции), на его проведение потребует очень много времени и общие свойства формулируется на изолированных примерах.
Второй способ: по двум точкам. Этот способ предполагает знание соответствующего свойства графиков линейных функций, выявление новых свойств не происходит. При обучении происходит последовательная схема этих способов. Для изучения класса линейных функций в совокупности его общих свойств перед учащимися ставится познавательная задача исследовать класс функций в зависимости от параметров, здесь лучше всего рассмотреть несколько функций с различными параметрами, Например: Постройте графики функций у=0.5х; у=0.5х+ 0.5; у=1.5х; у=1.5х+0.5. Дальше необходимо их сравнить, обращая внимание на особенности, связанные с числовыми значением коэффициентов. Например, изучая геометрический смысл коэффициентов при переменной, отличаем одинаковость углов наклонов к оси, чем меньше этот коэффициент, тем меньший угол наклона образует прямая с осью. После этого формулируется вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента и вводится понятие "угловой коэффициент". Закрепляющие упражнения: на одном и том же чертеже изображены графики функций у=3х+2; у=3\4х+2. Построить на этом чертеже графики функций у=3х-1; у=3\4х -1; объяснить построение. Класс квадратичных функций. Изучение класса квадратичных функций основано на преобразовании к виду: a(x-b)+с, использовании геометрических для построения графика произвольной квадратичной функции из параболы стандартного положения – графика функции. Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратичными уравнениями и неравенствами. Первая функция этого класса –-. Эта функция не монотонна на области определения. Если учащимся предложить найти область значения функции на, то в большинстве случаев они записывают. Устранение ошибки – построение графика. Характер изменения значений функции неравномерный, что можно показать при построении графиков: а) в крупном масштабе на; б) в мелком масштабе на. Важно отметить свойство параболы – симметричность относительно оси ординат. Применение функции - введение иррационального числа – графическое решение уравнения.
Класс квадратичных функций начинается с изучения функции и выяснения смысла коэффициента а (геометрического). Затем вводятся функции вида и выясняется смысл второго коэффициента (например, как перенос по оси у). Например: задан график функции. Построить на этом чертеже график функции. Достаточно сравнить значения этих функций при одних и тех же значениях аргумента. В дальнейшем это свойство можно обобщить: чтобы построить график функции по известному графику функции, можно произвести параллельный перенос второго графика на единиц вдоль оси ординат. Итак, первый коэффициент при влияет на направление ветвей, свободный член – означает параллельный перенос, выяснение значения коэффициента при х затруднено, поэтому используют обходной маневр: и рассматривают:. При изучении функций можно использовать системы заданий, имеющих цель – дать представление о тех или иных чертах данной функции или целого числа без указания точного значения величин, связанных с рассматриваемым вопросом. Пример. На рисунке изображены графики функций и. Как относительно них пройдёт график функции? Это задание не предполагает точного построения искомого графика: достаточно лишь указание на область, где он расположен, или его эскизное построение. Пример. На рисунке изображён график функции -2. Пользуясь этим чертежом изобразить от руки график функции. Проверить правильность сделанного эскиза: вычислить значения функции при и отметить эти точки графика. Каким преобразованием можно перенести график функции в график функции? Цель задания – согласовать зрительный образ графика, его геометрические свойства и форму. Пример: В таблице приведены значения величин, равномерно меняющейся со временем. Однако за счёт неизбежных погрешностей в измерениях нет возможности строго выдерживать заданный режим, заметны небольшие отклонения от равномерности. Указать закон изменения скорости в заданном промежутке и отклонение от него, имеющееся в таблице.
Цель – пропедевтика систематической работы над приближёнными вычислениями, формирование полноценных представлений о приложениях математики. Изучение функции в классе элементарных функций. Элементарные функции: целые, рациональные, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и их комбинации. В классе элементарных функций имеются две группы операций: 1) арифметические; 2) операции композиции и обращения функций. Введение арифметических операций над числовыми функциями неявно. По существу происходит перенос действий из одной области в другую неосознанно. Решение заданий на сравнение значения и или аналогичных значений для других одноименных функциональных и числовых операций позволит осознать действие операций. Пример: a) Даны многочлены. Вычислить сумму этих многочленов при x=0,5 b) Рациональное выражение можно представить в виде
и в точках. c) Вычислить значение функции при, пользуясь таблицами Брадиса (или компьютером). Наводящий вопрос: каким из двух способов вычисления значений данного выражения проще провести выкладки? Целесообразно при изучении графиков функций рассмотреть графическую иллюстрацию функций вида используя построения по точкам и учитывая простейшие особенности тех функций, которые составляют формулу данной функции. Изучение операций второй группы вводятся посредством явного определения. Каждая из этих операций используется в изучении теоретического материала: композиция функций – сложная функция. Понятие обратной функции, можно отнести к числу важнейших общих понятий в составе функциональной линии. При изучении выясняется зависимость её монотонности от монотонности её исходной функции. Понятие непрерывности используется при построении графиков и способствует формированию понятия. Понятие непрерывности используется при изучении квадратного корня, при определении показательной функции, при рассмотрении графического метода решение уравнений и неравенств. При изучении функций в X-XI классах большее предпочтение отдаётся аналитическому исследованию, и схема изучения функции выглядит следующим образом: 1) Рассмотреть подводящую задачу; 2) Сформулировать определение функции; 3) Провести аналитическое исследование свойств функции; 4) Построить (на основе данных аналитического исследования) график функции; в целях более точного его построения составить таблицу " характерных" значений функции и построить соответствующие графики;
5) Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции.
Заключение
Обучение функциональным представлениям следует строить на основе методического анализа понятия функции в поисках понятия алгебраической системы. Здесь функция – отношение специального вида между двумя множествами, удовлетворяющее условие функциональности. Начальный этап изучения – понятие отношения. Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств: формулы, таблицы, задание функции стрелками, перечислением пар, использованием не только числового, но и геометрического материала (теперь и геометрическое преобразование можно рассматривать как функцию). Однако наработанные таким образом общие понятия в дальнейшем связываются только с числовыми функциями одного числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|