Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу! Архитектура Биология География Искусство История Информатика Маркетинг Математика Медицина Менеджмент Охрана труда Политика Правоотношение Разное Социология Строительство Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника Средние значения и стандартные отклонения используемых переменных ВАРИАНТ 5   Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1995 г., представленным в табл. 5.   Таблица 5 Страна Y X 1 X 2 X 3 X 4 Мозамбик 47 3,0 2,6 2,4 113 Бурунди 49 2,3 2,6 2,7 98 …………………………………………………………………………………….. Швейцария 78 95,9 1,0 0,8 6   Принятые в таблице обозначения: · Y — средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет; · X 1— ВВП в паритетах покупательной способности; · X 2— цепныетемпы прироста населения, %; · X 3— цепныетемпы прироста рабочей силы, %; · Х 4 — коэффициент младенческой смертности, %. Требуется: 1. Составить матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными и выявить коллинеарные факторы. 2. Построить уравнение регрессии, не содержащее коллинеарных факторов. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов. 3. Построить уравнение регрессии, содержащее только статистически значимые и информативные факторы. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов. Пункты 4 — 6 относятся к уравнению регрессии, построенному при выполнении пункта 3. 4. Оценить качество и точность уравнения регрессии. 5. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии и сравнительную оценку силы влияния факторов на результативную переменную Y. 6. Рассчитать прогнозное значение результативной переменной Y, если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений. Построить доверительный интервал прогноза фактического значения Y c надежностью 80 %. Решение. Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL. 1.С помощью надстройки «Анализ данных … Корреляция» строим матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными (меню «Сервис» ® «Анализ данных …» ® «Корреляция»). На рис. 1 изображена панель корреляционного анализа с заполненными полями[1]. Результаты корреляционного анализа приведены в прил. 2 и перенесены в табл. 1.   рис. 1. Панель корреляционного анализа   Таблица 1 Матрица парных коэффициентов корреляции Y X1 X2 X3 X4 Y 1         X1 0,780235 1       X2 -0,72516 -0,62251 1     X3 -0,53397 -0,65771 0,874008	1
X4	-0,96876	-0,74333	0,736073	0,55373	1

Анализ межфакторных коэффициентов корреляции показывает, что значение 0,8 превышает по абсолютной величине коэффициент корреляции между парой факторов Х ₂– Х ₃ (выделен жирным шрифтом). Факторы Х ₂– Х ₃ таким образом, признаются коллинеарными.

2. Как было показано в пункте 1, факторы Х ₂– Х ₃ являются коллинеарными, а это означает, что они фактически дублируют друг друга, и их одновременное включение в модель приведет к неправильной интерпретации соответствующих коэффициентов регрессии. Видно, что фактор Х ₂ имеет больший по модулю коэффициент корреляции с результатом Y, чем фактор Х ₃: r_{y , x 2}=0,72516; r_{y , x 3}=0,53397; |r_y,x2|>|r_y,x3| (см. табл. 1). Это свидетельствует о более сильном влиянии фактора Х ₂ на изменение Y. Фактор Х ₃, таким образом, исключается из рассмотрения.

Для построения уравнения регрессии значения используемых переменных (Y, X ₁, X ₂, X ₄) скопируем на чистый рабочий лист (прил. 3). Уравнение регрессии строим с помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия» (меню «Сервис» ® «Анализ данных…» ® «Регрессия»). Панель регрессионного анализа с заполненными полями изображена на рис. 2.

Результаты регрессионного анализа приведены в прил. 4 и перенесены в табл. 2. Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» в табл. 2):

ŷ = 75.44 + 0.0447 · x₁ - 0.0453 · x₂ - 0.24 · x₄

Уравнение регрессии признается статистически значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено, составляет 1.04571·10^-45 (см. «Значимость F» в табл. 2), что существенно ниже принятого уровня значимости a=0,05.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторе Х ₁ ниже принятого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 2), что свидетельствует о статистической значимости коэффициентов и существенном влиянии этих факторов на изменение годовой прибыли Y.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторах Х ₂ и Х ₄ превышает принятый уровень значимости a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 2), и эти коэффициенты не признаются статистически значимыми.

р ис. 2. Панель регрессионного анализа модели Y (X ₁, X ₂, X ₄)

Таблица 2

Результаты регрессионного анализа модели Y (X ₁, X ₂, X ₄)

3.По результатам проверки статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, проведенной в предыдущем пункте, строим новую регрессионную модель, содержащую только информативные факторы, к которым относятся:

· факторы, коэффициенты при которых статистически значимы;

· факторы, у коэффициентов которых t ‑статистика превышает по модулю единицу (другими словами, абсолютная величина коэффициента больше его стандартной ошибки).

К первой группе относится фактор Х ₁ ко второй — фактор X ₄. Фактор X ₂ исключается из рассмотрения как неинформативный, и окончательно регрессионная модель будет содержать факторы X ₁, X ₄.

Для построения уравнения регрессии скопируем на чистый рабочий лист значения используемых переменных (прил. 5) и проведем регрессионный анализ (рис. 3). Его результаты приведены в прил. 6 и перенесены в табл. 3. Уравнение регрессии имеет вид:

ŷ = 75.38278 + 0.044918 · x₁ - 0.24031 · x₄

(см. «Коэффициенты» в табл.3).

р ис. 3. Панель регрессионного анализа модели Y (X ₁, X ₄)

Таблица 3

Результаты регрессионного анализа модели Y (X ₁, X ₄)

Уравнение регрессии статистически значимо: вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «Значимость F» в табл.3).

Статистически значимым признается и коэффициент при факторе Х ₁ вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 3). Это свидетельствует о существенном влиянии ВВП в паритетах покупательной способности X ₁ на изменение годовой прибыли Y.

Коэффициент при факторе Х ₄ (годовой коэффициент младенческой смертности) не является статистически значимым. Однако этот фактор все же можно считать информативным, так как t ‑статистика его коэффициента превышает по модулю единицу, хотя к дальнейшим выводам относительно фактора Х ₄ следует относиться с некоторой долей осторожности.

4.Оценим качество и точность последнего уравнения регрессии, используя некоторые статистические характеристики, полученные в ходе регрессионного анализа (см. «Регрессионную статистику» в табл. 3):

· множественный коэффициент детерминации

n

 ^{∑ (ŷ}_i - y⁾²

R²= ^{_ i=1 ____________ =0.946576}

 ⁿ

^∑(ŷ_i - y⁾²

 ⁱ⁼¹

R ² = показывает, что регрессионная модель объясняет 94,7 % вариации средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y, причем эта вариация обусловлена изменением включенных в модель регрессии факторов X ₁, X ₄;

· стандартная ошибка регрессии

показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,252208 лет.

Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по приближенной формуле:

S_рег

E_отн≈0,8 · — · 100%=0.8 · 2.252208/66.9 · 100%≈2.7

 − y

где  тыс. руб. — среднее значение продолжительности жизни (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; прил. 1).

Е _отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения годовой прибыли Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,7 %. Модель имеет высокую точность (при  — точность модели высокая, при  — хорошая, при  — удовлетворительная, при  — неудовлетворительная).

5.Для экономической интерпретации коэффициентов уравнения регрессии сведем в таблицу средние значения и стандартные отклонения переменных в исходных данных (табл. 4 ). Средние значения были определены с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ», стандартные отклонения — с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН» (см. прил. 1).

Таблица 4

Средние значения и стандартные отклонения используемых переменных

Переменная

Y

X ₁

X ₄

Среднее

66,9

29,75

40,9

Стандартное отклонение

9,6

28,76

34,8

1) Фактор X ₁ ( ВВП в паритетах покупательной способности )

Значение коэффициента b ₁=0,044918 показывает, что рост ВВП в паритетах покупательной способности на 1 %. приводит к повышению средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении на 0,044918 лет.

Средний коэффициент эластичности фактора X ₁ имеет значение

   x₁ 29.75

Е₁= b₁ · ― = 0.044918 · ____ ≈ 0.01997

 y 66.9

Он показывает, что при увеличении ВВП в паритетах покупательской способности на 1 % годовая прибыль увеличивается в среднем на 0,01997 %.

2) Фактор X ₄ ( коэффициент младенческой смертности )

Значение коэффициента b ₄=(-0,24031) показывает, что рост коэффициента младенческой смертности на 1 %. приводит к уменьшению средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении в среднем на -0,24031 лет.

Средний коэффициент эластичности фактора X ₄ имеет значение

 x₄ 40.9

Е₄ = b₄ · ― = - 0.24031 · ____ ≈ 0.1469

 y 66.9

Он показывает, что при увеличении коэффициента младенческой смертности на 1 % средняя ожидаемая продолжительность жизни увеличивается в среднем на 0,1469 %.

Средний коэффициент эластичности для фиктивных переменных лишен смысла, поэтому не рассчитывается.

Сравним между собой силу влияния факторов, включенных в регрессионную модель, на годовую прибыль, для чего определим их бета–коэффициенты:

         S_x1                 28.76

B₁ = b₁ · ― = 0.044918 · ____ ≈ 0.1346;

          S_y                                9.6

        S_x4 3               4.8

B₄ = b₄ · ― - 0.24031 · ____ ≈ - 0.8711

          S_y                                9.6

Сравнивая по абсолютной величине значения бета–коэффициентов, можно сделать вывод о том, что на изменение средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y сильнее всего влияет ВВП в паритетах покупательской способности Х ₁, далее по степени влияния следует коэффициент младенческой смертности Х ₄.

Определим дельта–коэффициенты факторов:

           r_y,x1           0.780235

Δ₁ = B₁ · ___ = 0.1346 · _______ ≈ 0.11094;

          R²                            0.946585

          r_y,x4 -          0.96876

Δ₄ = B₄ · ___ = - 0.8711 · _______ ≈ 0.8915;

           R²                           0.946585

где r_{y , x 1} =0,780235; r_{y , x 4}=(–0,96876); — коэффициенты корреляции между парами переменных Y – X ₁и Y – X ₄ соответственно (см. табл. 1); R ²=0,946585 — множественный коэффициент детерминации (см. табл. 3).

Сумма дельта–коэффициентов факторов, включенных в модель, должна быть равна единице. Небольшое неравенство может быть вызвано погрешностями промежуточных округлений.

Таким образом, в суммарном влиянии на среднюю ожидаемую продолжительность жизни при рождении Y всех факторов, включенных в модель, доля влияния ВВП в паритетах покупательной способности X ₁ составляет 11,094 %, коэффициента младенческой смертности Х ₄ — 89,15 %.

6.Рассчитаем прогнозное значение годовой прибыли, если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений в исходных данных. Максимальные значения факторов были определены с помощью встроенной функции «МАКС» (см. прил. 1). Прогнозные значения рассчитываются только для количественных факторов X ₁ и X ₄:

· фактор Х ₁: х₀₁=0,75*х_1max=0.75*100=75;

· фактор Х ₄: x₀₄=0.75*x_4max=0.75*124=93.

Среднее прогнозируемое значение (точечный прогноз) годовой прибыли государственной компании (x ₀₆=0) составляет:

Для частной компании (x ₀₆=1) этот показатель равен

Стандартная ошибка прогноза фактического значения годовой прибыли y ₀рассчитывается по формуле

Так как фиктивная переменная Х ₆ может принимать два значения — 0 или 1, то S_{y 0} определяется для обоих случаев:

· для государственных компаний (x ₀₆=0):

· для частных компаний (x ₀₆=1):

Построим интервальный прогноз фактического значения годовой прибыли y ₀ с доверительной вероятностью g=0,8. Доверительный интервал имеет вид:

,

где t _таб=1,321 — табличное значение t -критерия Стьюдента при уровне значимости  и числе степеней свободы  (p =4 — число факторов в модели) (см. Справочные таблицы).

Для государственных компаний:

 тыс. руб.

Таким образом, с вероятностью 80 % годовая прибыль государственных компаний при заданных значениях факторов будет находиться в интервале от 272,4 до 945,4 тыс. руб.

Для частных компаний:

 тыс. руб.

С вероятностью 80 % годовая прибыль частных компаний будет находиться в интервале от 499,1 до 1173,7 тыс. руб.

[1]Для копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+Print Screen (на некоторых клавиатурах — Alt+PrtSc).