 |
Краткие теоретические сведения.
|
|
|
|
1.1. Математической основой цифровой электроники и вычислительной техники является алгебра логики или булева алгебра (по имени английского математика Джона Буля).
В булевой алгебре независимые переменные или аргументы (X) принимают только два значения: 0 или 1. Зависимые переменные или функции (Y) также могут принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Функция алгебры логики (ФАЛ) представляется в виде:
Y = F (X1; X2; X3... XN).
Данная форма задания ФАЛ называется алгебраической.
1.2. Основными логическими функциями являются:
- логическое отрицание (инверсия)
Y = 
;
- логическое сложение (дизьюнкция)
Y = X1 + X2 или Y = X1 V X2;
- логическое умножение (коньюнкция)
Y = X1·X2 или Y = X1 L X2.
К более сложным функциям алгебры логики относятся:
- функция равнозначности (эквивалентности)
Y = X1·X2 + 
или Y = X1 ~ X2;
- функция неравнозначности (сложение по модулю два)
Y = 
+ 
или Y = X1 
X2;
- функция Пирса (логическое сложение с отрицанием)
Y = 
;
- функция Шеффера (логическое умножение с отрицанием)
Y = 
;
1.3. Для булевой алгебры справедливы следующие законы и правила:
- распределительный закон
X1 (X2 + X3) = X1·X2 + X1·X3,
X1 + X2·X3 = (X1 + X2) (X1 + X3);
- правило повторения
X·X = X, X + X = X;
- правило отрицания
X· = 0, X + = 1;
- теорема де Моргана: Чтобы получить дополнительную булеву функцию, инвертируйте каждую переменную и замените И на ИЛИ
= , = 
;
- тождества
X·1 = X, X + 0 = X, X·0 = 0, X + 1 = 1.
1.4. Схемы, реализующие логические функции, называются логическими элементами. Основные логические элементы имеют, как правило, один выход (Y) и несколько входов, число которых равно числу аргументов (X1; X2; X3... XN). На электрических схемах логические элементы обозначаются в виде прямоугольников с выводами для входных (слева) и выходных (справа) переменных. Внутри прямоугольника изображается символ, указывающий функциональное назначение элемента.
|
|
|
На рис. 2.1 ¸ 2.10 представлены логические элементы, реализующие рассмотренные ниже функции. Там же представлены так называемые таблицы состояний или таблицы истинности, описывающие соответствующие логические функции в двоичном коде в виде состояний входных и выходных переменных. Таблица истинности является также табличным способом задания ФАЛ.
На рис. 2.1 представлен элемент “НЕ.
Рисунок 2.1. Элемент “НЕ”, реализующий функцию логического отрицания Y =
Элемент “ИЛИ” (рис. 2.2) и элемент “И” (рис. 2.3) реализуют функции логического сложения и логического умножения соответственно.
Рисунок 2.2
Рисунок 2.3
Функции Пирса и функции Шеффера реализуются с помощью элементов “ИЛИ-НЕ” и “И-НЕ”, представленных на рис. 2.4 и рис. 2.5 соответственно.
Рисунок 2.4
Рисунок 2.5
Элемент Пирса можно представить в виде последовательного соединения элемента “ИЛИ” и элемента “НЕ” (рис. 2.6), а элемент Шеффера – в виде последовательного соединения элемента “И” и элемента “НЕ” (рис. 2.7).
На рис. 2.8 и рис. 2.9 представлены элементы “Исключающее ИЛИ” и “Исключающее ИЛИ - НЕ”, реализующие функции неравнозначности и неравнозначности с отрицанием соответственно.
Рисунок 2.8
Рисунок 2.9
1.5. Логические элементы, реализующие операции коньюнкции, дизьюнкции, функции Пирса и Шеффера, могут быть, в общем случае, n - входные. Так, например, логический элемент с тремя входами, реализующий функцию Пирса, имеет вид, представленный на рис. 2.10.
Рисунок 2.10
В таблице истинности (рис. 2.10) в отличие от таблиц (рис. 2.4) имеется восемь значений выходной переменной Y. Это количество определяется числом возможных комбинаций входных переменных N, которое, в общем случае, равно: N = 2 n, где n - число входных переменных.
|
|
|
1.6. Логические элементы используются для построения интегральных микросхем, выполняющих различные логические и арифметические операции и имеющих различное функциональное назначение. Микросхемы типа К155ЛН1 и К155ЛА3, например, имеют в своем составе шесть инверторов и четыре элемента Шеффера соответственно (рис. 2.11), а микросхема К155ЛР1 содержит элементы разного вида (рис. 2.12).
Рисунок 2.11
Рисунок 2.12
1.7. Функции алгебры логики любой сложности можно реализовать с помощью указанных логических элементов. В качестве примера рассмотрим ФАЛ, заданную в алгебраической форме, в виде:
. (1)
Упростим данную ФАЛ, используя вышеприведенные правила. Получим:
(2)
Проведенная операция носит название минимизации ФАЛ и служит для облегчения процедуры построения функциональной схемы соответствующего цифрового устройства.
Функциональная схема устройства, реализующая рассматриваемую ФАЛ, представлена на рис. 2.13.
Рисунок 2.13
Следует отметить, что полученная после преобразований функция (2) не является полностью минимизированной. Полная минимизация функции проводится студентами в процессе выполнения лабораторной работы.
2. Методические рекомендации к выполнению работы
Оборудование: Лабораторный стенд ЛКЭЛ – 4М 08 «Цифровая и цифро-аналоговая схемотехника»
2.1. Исследовать особенности функционирования логических элементов НЕ, 2ИЛИ, 2И, 2И-НЕ, 3И-НЕ, расположенных на панели стенда. Для исследования элемента НЕ, расположенного в левой части монтажного поля сигнал на вход подавать путем нажатия на черную кнопку. При этом свечение красного светодиода говорит о наличии «1» на входе и соответственно «0» на выходе. Для исследования остальных элементов за входной сигнал, как вариант, взять сигнал с гнезда, расположенного рядом со светодиодом. Построить таблицу истинности для каждого элемента, взяв за образец таблицу 1. Для измерений состояний и значений напряжений входа и выхода использовать осциллограф (вольтметром, расположенным на стенде).
|
|
|
2.1.1. Минимизировать функцию (2) используя различные варианты (можно один), разработать схему, исходя из наличия элементов на панели стенда, и реализовать ее на панели стенда. Результаты занести в таблицу 2.
2.1.2. По результатам исследований (п. 2.1.1) определить функциональное назначение элементов и проставить их обозначение на схеме в лабораторном отчете.
3. Содержание отчета.
3.1 Название и цель работы.
3.2 Схема выполнения экспериментов.
3.3 Заполненные таблицы 2.1 и 2.2.
3.4 Результаты измерений U0 и U1 (п. 2.1).
3.5 Выводы по работе.
4. Контрольные вопросы.
4.1 Какими значениями переменных оперирует алгебра логики?
4.2 Основные формы задания ФАЛ.
4.3 Вид основных логических функций в алгебраической форме.
4.4 Что такое “логический элемент”?
4.5 Какие логические функции выполняют элементы Пирса и Шеффера?
4.6 Чем определяется число возможных комбинаций входных переменных для произвольного логического элемента?
4.7 Дать определение СДНФ, СКНФ.
Таблица 2.1 Таблица 2.2
| X1 | X2 | Y |
| X1 | X2 | X3 | Y |
Лабораторная работа 3
|
|
|
