Формулы сокращенного умножения

3. Итого: доход банка с двух пришедших клиентов равен 118-114 = 4 тысячи у.е.

Пример: 15-го января Вика планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число,

- выплата должна производиться один раз в месяц со 2-ого по 14-е число каждого месяца,

- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Найдите наибольшее значение r при котором Вике в общей сумме придется выплатить меньше 1,6 млн.

Решение: для того чтобы решить экономическую задачу нужно аккуратно составить математическую модель событий.

Шаг первый: Изначальное событие, Вика берет в Долг – 1 млн

Шаг второй: Что происходит после этого? Через две недели (как раз к 1 февраля) ее долг возрастает на r процентов, то есть теперь она должна

Шаг третий: Вика выплачивает долг. Каким образом? Ну каким-то, сколько то она платит (естественно, ей выгодно поменьше платить, но! По условию договора, она должна платить, и платить так чтобы, осталось 0,8млн, поэтому ей видимо придется отдать банку - 1 ый платеж

Шаг четвертый: Дальше ситуация повторится, с учетом того, что мы знаем о начисляемых процентах, и остатках на начало каждого месяца - второй платеж, - третий платеж, - четвертый платеж, - пятый платеж, - шестой платеж и последний .

Шаг пятый: сложим вместе все платежи и вспомним, что нас просят по условию найти такое целое r, чтобы сумма всех платежей была , тогда откуда . Тогда наибольшим целым является r=20.

2.6.

2.7.

2.8.ЕГЭ. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год в счет погашения кредита вернул в банк от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

2.9.ЕГЭ. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на 2 процента по сравнению с концом предыдущего месяца,

-со 2ого по 14-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга

-15ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 339 тыс.рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?

Ответ: 411 тысяч

2.10. ЕГЭ. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 0,3 млн на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на 3 процента по сравнению с концом предыдущего месяца,

-со 2ого по 14-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга

-15ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года кредитования?

Ответ: 179250 рублей

2.11. 1 января 2015 года Иван взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита такая: 1-ого числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга, затем Иван переводит платеж в банк. На какое минимальное количество месяцев Иван может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 тыс. рублей?

Ответ: 6

2.12. Матвей хочет взять кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка – 10 процентов годовых. На какое минимальное количество лет может Матвей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 тысяч?

Ответ: 7

Метод интервалов

Решение неравенства, содержащих модуль, возможно с помощью таблицы интервалов.

Пример.

Что делать? Чтобы раскрыть модули, нужно сначала внести данные в таблицу. Обратите внимание, сначала внешний модуль третьей дроби мы не трогаем, то есть во вложенных модулях раскрываем сначала внутренний модуль!

	+	+
	-	+
	-	-

 

Теперь каждой строчке таблицы соответствует одно неравенство с одним модулем (внешний модуль третий дроби, который мы пока не раскрывали):

1.

Модуль знаменателя третьей дроби разделяет неравенство на два различных случая:

а)

тогда

б)

Каждое из неравенств решается обычным методом интервалов

2. модуль третьей дроби раскрывается единственным способом

Рассмотрим теперь

3.

На интервале раскрытие возможно двумя способами

а) :

Последнее неравенство представляет собой неравенство с дробью, в числителе и знаменателе которой отношение многочленов. Заметим, что знаменатель этой дроби является на интервале неположительной величиной, а числитель положительной (проверьте, почему?), поэтому в целом представленное неравенство решений не имеет.

2.13. ЕГЭ. Решить неравенство

Ответ:

2.14. ЕГЭ. Решите неравенство

Ответ:

2.15. ЕГЭ. Решите неравенство

Ответ:

 

3. Тригонометрия

Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем на ней окружность радиуса 1 с началом в центре координат. Тогда уравнение этой окружности имеет вид

Назовем абсциссу х на этом круге косинусом, а ординату у – синусом.

Введем следующее соглашение: определим некоторый угол , два луча которого изначально совпадают с осью абсцисс (угол АОА). Теперь один из лучей (луч ОА) начинает двигаться против часовой стрелки . Точка с координатами (х,у) на этом круге движется вместе с лучом, начиная от точки А (1,0) против часовой стрелки и это направление считается положительным, либо по часовой стрелке и это направление считается отрицательным. Движение точки в оба направления бесконечно. Координаты точки на этом круге полностью определены величиной угла поворота. Таким образом, мы определили отображение множества углов поворота в два различных множества, абсцисс х и ординат у, то есть определили две функции и . С учетом уравнения окружности получим выражение, называемое основным тригонометрическим тождеством

Рассмотрим два варианта измерения величины угла .

Первый вариант: разделим полный круг на 360 одинаковых кусочков и назовем один кусочек – градус. Тогда половина круга (называемая развернутый угол) – 180 градусов. Четверть круга – 90 градусов. Очевидно 30 градусов – это одна третья часть от четверти круга, 45 градусов это половина четверти круга и т.д.

Второй вариант:Рассмотрим угол, полученный изначальным поворотом угла АОА ровно на сегмент круга равный 1 и назовем этот угол радианом. Раз мы рассматриваем окружность радиуса 1, то длина такой окружности = , то есть полный поворот угла на 360 градусов соответствует углу в радиан. Таким образом, мы ввели две системы измерения углов и установили соответствие между ними. Исходя из определения функции синус эта функция нечетная, а косинус функция четная.

 

Если вы забыли значение тригонометрической функции какого-то из стандартных углов запомните схему равностороннего треугольника со стороной 2:

В этом треугольнике синус угла , как отношение противолежащего катета к гипотенузе равен , поэтому , аналогично:

Угол - это угол при биссектрисе, он равен , аналогично для этого угла нашего треугольника:

 

Группа 1: Группа 2:

Из набора тригонометрических формул обычно доказывается одна, например косинус разности. Доказательство основано на применении понятия скалярного произведения для двух единичных векторов в координатах на тригонометрическом круге:

С учетом того, что на тригонометрическом круге вектора единичные и

Функция называется периодической, если существует такое для которого выполняются два условия: 1) если , то и 2) для любого . Основным периодом периодической функции называется наименьший положительный период (если, конечно, он существует)

Основным периодом функций и является , а основным периодом и является

3.1.Сколько корней уравнения расположено на отрезке ?

Ответ: 5

3.2.Найдите период функции ?

Ответ:

3.3.Лицей Вторая школа. Найдите периоды функции

3.4.ЕГЭ. Найдите значение выражения

3.5.ЕГЭ. Найти , если и

3.6.ЕГЭ. Найти , если и

3.7.ЕГЭ. Найти

3.8.ЕГЭ. Решите уравнение и найдите его корни, принадлежащие отрезку

Если тригонометрическое уравнение представляет собой линейную комбинацию синусов и косинусов различных выражений вида , и , выбираем из них пару, которая обладает следующим свойством: или . Тогда к паре тригонометрических функций, содержащих и последовательным применением формул группы 1, уменьшаем аргументы тригонометрических функций.

Для того чтобы решить тригонометрическое (ровно как и любое другое!) уравнение нам доступны два метода:

1. Сведем уравнение заменой переменного к квадратному, и решим его если дискриминант отрицательный, то решений нет

2. Сведем уравнение к уравнению

Пример. МГУ. ДВИ 2017

Решите уравнение

"Методом пристального взгляда" видим, представим исходное уравнение в виде:

Теперь сократим уравнение на 2, и перенесем все слагаемые в одну сторону:

Применяя теперь формулу суммы косинусов, получим уравнение:

, теперь получим совокупность уравнений:

Множество решений третьего уравнения целиком входит во второе уравнение (почему? Докажите)

Ответ: ,

3.9.Решите уравнение

Ответ 3.3.

3.10. Решите уравнение

Ответ 3.4.

3.11. Решить уравнение

Ответ 3.5.

3.12. ЕГЭ. Решить уравнение и найти корни, принадлежащие интервалу

3.13. ЕГЭ. Решить уравнение и найти корни, принадлежащие интервалу

3.14. ЕГЭ. Решите уравнение и найти корни, принадлежащие интервалу

3.15. ЕГЭ. Решите уравнение и найти корни, принадлежащие интервалу

3.16. ЕГЭ. Решите уравнение и найти корни, принадлежащие интервалу

3.17. ЕГЭ. Решите уравнение и найти корни, принадлежащие интервалу

3.18. ЕГЭ. Решите уравнение и найти корни, принадлежащие интервалу

3.19. ЕГЭ. Решите уравнение и найти корни, принадлежащие интервалу

3.20. ЕГЭ. Решить уравнение и найти корни, принадлежащие интервалу

3.21. ЕГЭ. Решить уравнение

3.22. ЕГЭ. Решить уравнение

3.23. ЕГЭ. Решить уравнение

3.24. ЕГЭ. Решить уравнение и найти его корни, принадлежащие интервалу

3.25. Ларин. Решить уравнение и найти его корни, принадлежащие отрезку

Ответ: ,

3.26. Решить уравнение и найти его корни, принадлежащие отрезку

3.27. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

Ответ:

3.28. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

3.29. Ларин. Известно, что . Найдите

3.30. Решить уравнение

Вычисление тригонометрических выражений предполагает полет вашего воображения, потому что наш единственный шанс найти эту величину, это сведение к стандартным тригонометрическим углам.

Пример. Найти

Наша цель: выразить число 18, как некоторую линейную комбинацию стандартных тригонометрических углов (то есть 30, 45, 60, 90 и т.д.) Например, так: 18 * 5 = 90, очевидно что

Обратите внимание, на следующее фундаментальное математическое утверждение: к алгебраическому равенству, не выходя за границы ОДЗ можно применить любую математическую функцию. Поэтому:

Теперь применяя формулы приведения получим:

В результате заменой переменного получим квадратное уравнение: . - положительная величина, так как 18 градусов принадлежит первой координатной четверти, отсюда

Ответ:

3.31. Докажите таблицу значений тригонометрических функций нестандартных углов

3.32. Найти , если известно

3.33. ЕГЭ. Найдите значение выражения

3.34. ЕГЭ. Найдите значение выражения

3.35. ЕГЭ. Найдите значение выражения

3.36. ЕГЭ. Найдите значение выражения

Ответ: -4

3.37. Физтех, 2016. Найдите значение выражения

3.38. МГУ, факультет почвоведения.

Найдите и , если известно, что и

3.39. Вычислите

3.40. Вычислить

Указание: домножить на

3.41. Вычислить

3.42. Ларин

А) Найдите значение выражения

Б)Докажите, что

В)Найдите значение выражения

Ответ: а) 1 в)

Экстремумы

Для определения наименьшего или наибольшего значения функции на отрезке , воспользуемся следствием из теоремы Ферма (если функция дифференцируема на интервале и принимает на нем наибольшее или наименьшее значение в точке тогда производная в этой точке равна нулю ). Тогда для нахождения наибольшего (наименьшего) значения достаточно проверить следующие факты: 1) функция дифференцируема на интервале (то есть нет разрывов и есть производная внутри интервала) 2) производная бывает равна нулю? Если нет, сразу проверяем значения функции на концах интервала (в точках а и б), определяем, где наибольшее и где наименьшее

3) производная равна нулю в некоторой точке, тогда если в этой точке знак производной поменялся с плюса на минус, в точке максимум, если с минуса на плюс, то минимум. Рекомендую запомнить внешний вид параболы (у которой всегда экстремум в вершине!) - производная меняет знак с плюса на минус, значит в точке – максимум. - производная меняет знак с минуса на плюс, значит в вершине минимум.

3.43. ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

3.44. ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

3.45. ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

3.46. ЕГЭ. Найдите точку минимума функции

принадлежащую промежутку

3.47. ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

3.48. ЕГЭ. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Ответ: 7

3.49. ЕГЭ. Найдите точку минимума функции

Ответ: -10

3.50. ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Ответ: 3

3.51. ЕГЭ. Най