Числа с фиксированной запятой

Представление чисел в ЭВМ

Представление чисел с фиксированной и плавающей запятой

При представлении числа в двоичном коде с цифрами 0,1 в каждом разряде записываются цифры 0 или 1. Так как в ЭВМ «запись» числа осуществляется с помощью технических устройств, то для представления его в такой форме необходимо располагать устройствами с двумя надежно различными состояниями, которым могут быть сопоставлены значения 0 или 1. Комбинация таких устройств, число которых соответствует количеству разрядов записываемого числа, может быть использована для представления чисел в ЭВМ.

В качестве таких устройств могут быть использованы триггеры. Набор триггеров, предназначенных для представления чисел в ЭВМ, а также для выполнения над ними некоторых логических преобразований, называется регистром. Разумеется, число разрядов, отведенное для записи числа, соответствующее числу триггеров, в ЭВМ всегда конечно. Выбор количества разрядов для представления чисел в ЭВМ является одним из самых ответственных этапов конструирования вычислительной машины и обуславливается целым рядом требований, среди которых одно из важнейших – необходимая точность вычислений.

В ЭВМ применяются две основные формы представления чисел: полулогарифмическая – с плавающей запятой и естественная – с фиксированным положением запятой.

При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой закрепляется в определенном месте относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для всех чисел, изображаемых в данной разрядной сетке. Обычно запятая фиксируется перед старшим разрядом или после младшего. В первом случае в разрядной сетке могут быть представлены только числа, которые по модулю меньше 1, во втором – только целые числа.

Использование представления чисел с фиксированной запятой позволяет упростить схемы машины, повысить ее быстродействие, но представляет определенные трудности при программировании. В настоящее время представление чисел с фиксированной запятой используется как основное только в микроконтроллерах.

В универсальных ЭВМ основным является представление чисел с плавающей запятой. Широкий диапазон представления чисел с плавающей запятой удобен для научных и инженерных расчетов. Для повышения точности вычислений во многих ЭВМ предусмотрена возможность использования формата двойной длины, однако при этом происходит увеличение затрат памяти на хранение данных и замедляются вычисления.

Рассмотрим подробнее эти два формата.

 

Числа с фиксированной запятой

Формат для чисел с запятой, фиксированной перед старшим разрядом. В этом формате могут быть с точностью до представлены числа (правильные дроби) в диапазоне

.

Первые ЭВМ были машинами с фиксированной запятой, причем запятая фиксировалась перед старшим разрядом числа.

В настоящее время, как правило, форму с фиксированной запятой применяют для представления целых чисел (запятая фиксирована после младшего разряда).

Используют два варианта представления целых чисел: со знаком и без знака. В первом случае один из разрядов отводится для хранения знака, а во втором – все разряды разрядной сетки служат для представления модуля числа. В ЭВМ применяются оба указанных варианта представления целых чисел, причем каждый из вариантов реализуется как в формате 32-разрядного машинного слова этих машин, так и в формате 16-разрядного полуслова.

При выполнении арифметических действий над правильными дробями могут получаться двоичные числа, по абсолютной величине больше или равные единице, что называется переполнением разрядной сетки. Аналогичная ситуация возможна и для целых чисел. Для исключения возможности переполнения приходится масштабировать величины, участвующие в вычислениях.

Достоинство представления чисел в форме с фиксированной запятой состоит в простоте выполнения арифметических операций.

Недостатки – в необходимости выбора масштабных коэффициентов и в низкой точности представления с малыми значениями модуля (нули в старших разрядах модуля приводит к уменьшению количества разрядов, занимаемых значащей частью модуля числа).

 

Числа с плавающей запятой

При использовании плавающей запятой число состоит из двух частей: мантиссы m, содержащейзначащие цифры числа, и порядка p, показывающего степень, в которую надо возвести основание числа q, чтобы полученное при этом число, умноженное на мантиссу, давало истинное значение представляемого числа:

(5.1)

Мантисса и порядок представляются в двоичном коде. Обычно число дается в нормализованном виде, когда его мантисса является правильной дробью, причем первая значащая цифра (единица) следует непосредственно после запятой: например, где m =0,1010; p= 10; q= 2

Порядок указывает действительное положение запятой в числе. Код в приведенном формате представляет значение числа в полулогарифмической форме: .

 

m m – 1 1 p p – 1 1

…

…

 

Знак Модуль мантиссы Знак Модуль порядка

числа порядка

 

Точность представления значений зависит от количества значащих цифр мантиссы. Для повышения точности числа с плавающей запятой представляются в нормализованной форме, при которой значение модуля мантиссы лежит в пределах . Признаком нормализованного числа служит наличие единицы в старшем разряде модуля мантиссы. В нормализованной форме могут быть представлены все числа из некоторого диапазона за исключением нуля.

Нормализованные двоичные числа с плавающей запятой представляют значения модуля в диапазоне:

,

где – максимальное значение модуля порядка.

Так, при p =7 –1= =63 и диапазон представления модулей нормализованных чисел:

,

Таким образом, диапазон чисел:

Для расширения диапазона представляемых чисел при фиксированной длине разрядной сетки (m+p) в качестве основания системы счисления выбирается . При этом число, представляемое в разрядной сетке, приобретает значения . Нормализованная мантисса 16-ричного числа с плавающей запятой имеет значения, лежащее в диапазоне . Признаком нормализации такого числа является наличие хотя бы одной единицы в четырех старших разрядах модуля мантиссы. Диапазон представления чисел в этом случае существенно расширяется, находясь при том же количестве разрядов в пределах от до .

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: