 |
Оригинал-функции и их своства
|
|
|
|
Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Л.1: Если f(x)— четная функция на [-a;a] то 
. Если f(x) — нечетная функция на 
Для четных функций 
Для нечетной функции доказательство аналогично Л.2: Произведение двух четных или двух нечетных функций есть четная функция, четной и нечетной — нечетная функция 
- четные функции 
Остальное доказывается аналогично. С помощью лемм 1, 2 получаем следующие коэффициенты Фурье: — для четной функции: 
— для нечетной функции: 
. Таким образом, ряд Фурье для четной функции 
, для нечетной функции 
Пример: Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2π, если на [-π;π] она имеет вид 
Решение:
Данная функция является четной (рис. 1). Поэтому
Рисунок1
№51
Ряд Фурье для непериодических функций.
Разложение в ряд Фурье в интервале [−L, L].
Рассмотрим кусочно-непрерывную f (x), заданную в интервале [− L, L]. Используя подстановку, 
преобразуем ее в функцию 
определенную и интегрируемую в интервале [−π, π]. Разложение в ряд Фурье для функции F (y) имеет вид 
Коэффициенты Фурье для данной функции определяются формулами 
Возвращаясь к первоначальным переменным, то есть полагая 
, получим следующие выражения для ряда Фурье исходной функции f (x): 
где 
Разложение в ряд Фурье в интервале [a,b]
Если функция f (x) определена в интервале [a,b], то ее разложение в ряд Фурье определяется той же самой формулой где 
, а коэффициенты вычисляются следующим образом: 
№52
Ряд Фурье для функций с периодом 2l.
Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = f(x).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
= 
= 
= 0, где n=1,2,...
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так: 
|
|
|
Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x). Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: 
, где n=1,2,...
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так: 
.
Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке 
, то 
, где 
, 
, 
.
Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо: доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.
№53
Ряд Фурье в комплексной форме.
экспонента от чисто мнимого аргумента определяется равенством 
. Отсюда немедленно вытекают формулы Эйлера 
справедливые для всех вещественных чисел 
. Предполагая, что функция f разлагается в ряд Фурье, заменим в нем синусы и косинусы по формулам Эйлера: 
где использованы обозначения
Вновь используя формулы Эйлера, преобразуем выражения для коэффициентов 
: 
Итак, мы видим, что для всех значений n коэффициенты ищутся по одной формуле 
При этом имеет место разложение 
называемое комплексной формой ряда Фурье.
№54
Оригинал-функции и их своства
Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:
1. f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;
2. f (t)=0 для всех отрицательных t;
3. f (t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М и 
, что |f(t)|<M 
для всех t. Изображением функции f (t) (по Лапласу) называется функция F(p) комплексного переменного p=s +it, определяемая равенством 
.
|
|
|
Тот факт, что F(p) есть изображение f (t), будем символически записывать так:
. Для любой функции-оригинала f (t) изображение определено в полуплоскости Rep> и является в этой полуплоскости аналитической функцией.
Из определения изображения следуют его простейшие свойства:
1. Линейность. Для любых комплексных постоянных a и b 
.
(здесь и далее считать f(t)=F(p), g(t)=G(p)).
2.Теорема подобия. Для любого постоянного a >0 
.
3. Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), fў (t), fІ (t),…, 
(t) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p), то 
, 
, 
,
где под f (k)(0), (k= 1, 2,…, n-1) понимается 
.
4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (-t) оригинала 
или вообще 
.
5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если f(t)=F(p), то 
.
6. Интегрирование изображения. Если интеграл 
сходится, то он служит изображением функции 
. 
7.Теорема смещения. Если f(t)=F(p), то для любого комплексного 
.
8.Теорема запаздывания. Если f(t)=F(p), то для любого t >0 
.
Важной для приложений является следующая:
Теорема единственности
Если две функции j(t) и j(t) имеют одно и то же L-изображение F(p), то эти функции тождественно равны. Роль теоремы в том, что, если при решении практической задачи мы каким-либо образом определили изображение искомой функции, а потом по изображению нашли начальную функцию, то на основании теоремы единственности мы заключаем, что найденная функция есть решение поставленной задачи и других решений не существует. Применяя определения 1, 2, и указанные выше свойства, получаем таблицу изображений основных элементарных функций. Используя определение преобразования Лапласа, нетрудно вывести формулу для изображения кусочно-линейной функции. Примерный вид графика кусочно-линейной функции приведен на рис. 1. Введем обозначения:
tk – точки разрыва функции f (t) или fў (t); 
= – 
– скачки функции в узлах “стыка”;
=tg 
– tg 
– скачки производной fў (t) в узлах “стыка”. Изображение кусочно-линейной функции имеет вид
Можно получить изображение кусочно-линейной функции непосредственной подстановкой ее уравнения в формулу из определения.
|
|
|
№55
|
|
|
