 |
T-критерий для несвязанных (независимых) измерений
|
|
|
|
Для оценки достоверности различий в выборках, то есть фактически для их сравнения, при работе с данными, измеренными в метрических шкалах, чаще всего используют t-критерий Стьюдента. Это мощный параметрический критерий, дающий достоверные результаты даже если выборка мала. Данный критерий встречается в 2-х вариантах: для связанных выборок (о нем речь пойдет в следующем разделе) и для несвязанных. При работе с обоими вариантами критерия используется одна и та же таблица критических значений, но формулы расчета отличаются.
Формула t-критерий Стьюдента для несвязанных выборок имеет следующий вид:
Допустим, школьники в двух разных классах в течение года занимались по двум различным методикам. Известно, что начальный уровень в этих классах был примерно одинаков. В конце учебного года были сделаны замеры показателей интеллекта. Насколько различается уровень умственного развития в этих двух классах? Данные заносятся в таблицу.
| Класс А | Класс Б | |
| n | 24 | 20 |
| M | 108 | 101 |
| s | 10 | 11 |
Гипотезы:
Н0: достоверность различий между показателями интеллекта у школьников класса А и класса Б значимо не отличается от нуля.
Н1: достоверность различий между показателями интеллекта у школьников класса А и класса Б значимо отличается от нуля.
Подстановка значений в формулу дает следующий результат:
Для того, чтобы воспользоваться таблицами критических значений необходимо вычислить степень свободы. Для данного критерия df = n1+n2-2. У нас df = 42.
| df | р = 0,1 | р = 0,05 | р = 0,01 | р = 0,001 |
| 42 | 1,682 | 2,018 | 2,698 | 3,538 |
Эмпирическое значение занимает промежуточное положение между р-уровнями р = 0,05 и р = 0,01. Таким образом, tэмп > tкр (p ≤ 0,05) 
H0, Þ Н1! ст. зн.
Мы можем уверенно опровергнуть нулевую гипотезу и констатировать, что обнаружена достоверность различий на уровне статистической значимости.
^
|
|
|
U-критерий Манна-Уитни
Непараметрический U-критерий Манна-Уитни позволяет оценить достоверность различий в независимых выборках, если данные в них представлены в ранговой шкале. Данный критерий следует применять и в том случае, если данные представлены в метрических шкалах, но не укладываются в кривую нормального распределения. При этом следует обратить на ограничения в использовании критерия: в каждой выборке должно быть не менее 3 и не более 60 наблюдений.
Обе выборки объединяются, осуществляется ранжирование по принципу «меньшему значению – меньший ранг», затем объединенная выборка снова расщепляется, но с сохранением значений рангов присвоенных при объединенном ранжировании.
В качестве примера предлагается проанализировать первые 20 значений из Таблицы I Приложения с целью выяснить: существуют ли для мальчиков и девочек достоверные различия между результатами субтестов на осведомленность.
Формулируются статистические гипотезы.
Н0: разница между показателями субтеста осведомленности у мальчиков и девочек значимо не отличается от нуля.
Н1: разница между показателями субтеста осведомленности у мальчиков и девочек значимо отличается от нуля.
| Исходная таблица | Ранжирование | объединенной | выборки | ||
| пол | осведомленность | пол | осведомленность | Ранг | |
| ж | 12 | ж | 7 | 1 | |
| ж | 10 | ж | 8 | 2 | |
| м | 11 | м | 9 | 3,5 | |
| ж | 14 | м | 9 | 3,5 | |
| ж | 12 | ж | 10 | 5,5 | |
| ж | 10 | ж | 10 | 5,5 | |
| м | 9 | м | 11 | 7,5 | |
| ж | 14 | м | 11 | 7,5 | |
| ж | 14 | ж | 12 | 10 | |
| ж | 15 | ж | 12 | 10 | |
| ж | 13 | м | 12 | 10 | |
| м | 9 | ж | 13 | 12,5 | |
| ж | 16 | м | 13 | 12,5 | |
| ж | 14 | ж | 14 | 16 | |
| м | 11 | ж | 14 | 16 | |
| ж | 7 | ж | 14 | 16 | |
| м | 13 | ж | 14 | 16 | |
| ж | 8 | м | 14 | 16 | |
| м | 12 | ж | 15 | 19 | |
| м | 14 | ж | 16 | 20 |
Повторное расщепление с сохранением рангов и подсчет ранговых сумм
|
|
|
| Осв М | Ранг М | Осв Ж | Ранг Ж |
| 14 | 16 | 16 | 20 |
| 13 | 12,5 | 15 | 19 |
| 12 | 10 | 14 | 16 |
| 11 | 7,5 | 14 | 16 |
| 11 | 7,5 | 14 | 16 |
| 9 | 3,5 | 14 | 16 |
| 9 | 3,5 | 13 | 12,5 |
| 12 | 10 | ||
| 12 | 10 | ||
| 10 | 5,5 | ||
| 10 | 5,5 | ||
| 8 | 2 | ||
| 7 | 1 | ||
| Sм = 60,5 | Sж = 149,5 |
Значение U определяется по формуле:
где n1 – объем первой выборки;
n2 – объем второй выборки;
Тх – большая из ранговых сумм;
nx – объем группы с большей суммой рангов.
В нашем случае Uэмп = (13*7) + 
- 149,5 = 32,5
Согласно таблицам критических значений, при n1=13 и n2=7, Uкр (для p ≤ 0,05) = 20 и Uкр (для р ≤ 0,01) = 13.
Критерий Манна-Уитни отличается от большинства других критериев тем, что для опровержения нулевой гипотезы эмпирическое значение должно быть меньше или равно критическому (подобная закономерность типична также для Т-критерия Вилкоксона и критерия знаков G). То есть, используется следующий принцип: Uэмп ≤ Uкр Þ Н1!
В нашем случае Uэмп = 32,5. То есть, Uэмп ≥ Uкр (p ≤ 0,05) Þ Н0! Таким образом, достоверность различий между показателями осведомленности у мальчиков и у девочек не установлена.
^
Задания для самостоятельной работы.
1.
Определить достоверность различий между показателями среднего балла интеллекта у мальчиков и у девочек. Значения брать из Таблицы I Приложения. Использовать t-критерий Стьюдента.
2.
Определить достоверность различий между показателями успеваемости у мальчиков и у девочек. Значения брать из Таблицы I Приложения. Использовать t-критерий Стьюдента.
3.
Определить достоверность различий между показателями субтеста «арифметика» у мальчиков и у девочек. Значения брать из Таблицы I Приложения. Использовать U-критерий Манна-Уитни.
4.
Определить достоверность различий между показателями субтеста «понятливость» у мальчиков и у девочек. Значения брать из Таблицы I Приложения. Использовать U-критерий Манна-Уитни.
^
Тема 10 Оценка достоверности различий при повторных измерениях
|
|
|
