Анализ несущих систем методами теории упругости. Алгоритм метода конечных элементов. Пример решения задачи анализа несущей конструкции с помощью метода конечных элементов.

Для описания напряжённо-деформированного состояния элементар­ного объёма нагруженного тела в теории упругости применяют два подхо­да:

1)дифференциальная постановка задачи, т.е. описание взаимо­связи перемещений и, деформацийε, напряжений𝜎 и внешних нагрузокp с помощью систем дифференциальных уравнений в частных производных;

2) вариационная постановка задачи, т.е. отыскание указанных связей с помощью процедуры минимизации некого функционала, вклю­чающего и, ε, 𝜎, при его варьировании.

В качестве основных уравнений при дифференциальной постановке задачи теории упругости используют:

1) уравнения, описывающие состояние статического равновесия лю­бого элементарного объёма тела (конструкции), т.е. показывающие связь между собой всех внутренних силовых факторов;

2) граничные уравнения, т.е. показывающие связь внешних си­ловых факторов с внутренними на границах тела;

3) уравнения, описывающие связь деформаций и перемещений эле­ментарных объёмов тела;

4) уравнения, показывающие связь внутренних силовых факторов и деформаций.

При вариационной постановке задачи теории упругости, также как и при дифференциальной, в общем случае невозможно найти точное реше­ние. Поэтому для решения разнообразных практических задач в настоя­щее время широко применяются приближённые методы с использованием ЭВМ.

Все приближённые методы можно разделить на два класса:

1) методы решения для дифференциальной постановки задачи;

2) прямые методы, использующие вариационную постановку задачи.

К первой группе приближённых методов решения прямой задачитеории упругости можно отнести:

1) метод конечных разностей (МКР);

2) метод Бубнова - Галеркина;

3) метод Канторовича- Власова.

Ко второй группе относят:

1) метод Ритца;

2) метод Кастильяно;

3) метод конечных элементов (МКЭ);

4) методы граничных элементов (МГЭ).

Наибольшее распространение в настоящее время получил МКЭ. Этот метод начал развиваться с середины 50-х годов 20 века. Он относит­ся к классу сеточных методов, т.е. это приближённый метод определе­ния неизвестной функции путём отыскания её в отдельных точках области определения искомой функции. Это значит, что вся исследуемая конст­рукция (область определения функции) разбивается на отдельные части, которые называются конечными элементами. Каждый элемент имеет ха­рактерные точки, называемые узлами. Именно в них вначале и определя­ется неизвестная функция.

В качестве неизвестной функции в задачах теории упругости чаще всего выступает вектор перемещений .

Узлы соединяются связями, т.е. линиями, которые обозначают границы элементов и образуют так называемую сетку.

В качестве области определения искомой функции может быть:

1) для линейных, т.е. одномерных задач - оси стержней;

2) для плоских (двумерных) задач - поверхности;

3) для объёмных (трёхмерных) задач - объёмы.

В части стратегии решения задачи МКЭ использует подход Рунге, в соответствии с которым вся область определения функции делится на элементы (подобласти). Правда, Рунге использовал для нахождения иско­мой функции конечно-разностные операторы (метод конечных разностей) при дифференциальной постановке задачи.

МКЭ в части постановки задачи является усовершенствованным ме­тодом Ритца. Это значит, что каждый компонент перемещений элемента задаётся в виде суммы произведений:

(3.90)

(3.91)

(3.92)

где n - количество обобщённых перемещений (степеней свободы конст­рукции);

-обобщённое перемещение узловой точки, т.е. константа, под­лежащая определению;

, , - базисные функции формы деформации элемента вдоль осей X,Y,Z соответственно, которыми задаются таким образом, чтобы удовле­творялись граничные условия.

Первым этапом МКЭ является задание границ исследуемого объек­та, т.е. его "вырисовывание" с необходимой для данной, конкретной задачи детализацией.

Вторым этапом является разбиение объекта на конечные элементы, нумерация узлов и элементов, определение координат каждого узла. При этом необходимо стремиться, чтобы стороны каждого элемента, были примерно одинаковы и достаточно точно описывали границы объекта. В этом случае погрешность вычисления перемещений, напряжений и де­формаций будет минимальна.

При наличие сложного по конфигурации объекта исследования раз­бивку производят в несколько этапов. Сначала объект разделяется на крупные области простой конфигурации, например, призмы, цилиндры и т.п. Затем производится разбивка каждой простой, ранее определённой области на конечные элементы. Далее производится слияние узлов на гра­ницах смежных областей, что необходимо для получения единой конечно-элементной модели исследуемой конструкции. Под слиянием узлов пони­мается задание единых узлов на границах областей, то есть там, где после разбивки расположены узлы, относящиеся к разным простым областям, но с одинаковыми или близкими координатами, В результате после слияния узлы на границах областей будут относится к элементам как одной, так и другой смежной области.

В зависимости от типа решаемой задачи - линейная, плоская или объёмная, разбивку осуществляют на соответствующие конечные элемен­ты:

1) для линейных задач - на стержни;

2) для плоских - на фигуры (треугольники, многоугольники и т.п.);

3) для объёмных - на тела (параллелепипеды, пирамиды и т.п.).

Каждый тип конечного элемента имеет свой набор степеней свобо­ды для каждого узла и своё математическое описание базисных, функций форм деформаций.

В зависимости от типа используемых базисных функций форм де­формаций элемента различают:

1) симплекс - элементы, у которых используются линейные базис­ные функции;

2) комплекс - элементы, у которых базисные функции нелинейные;

3) мультиплекс - элементы, каждый из которых состоит из несколь­ких простых симплекс- или комплекс-элементов. Иногда мультиплекс - элементы называют суперэлементами или интегрированными элементами.

Разбивка в МКЭ осуществляется от границ тела к центру. Этим дос­тигается строгое выполнение граничных условий, что является важным преимуществом метода конечных элементов, например, перед методом конечных разностей, где объект исследования "накрывается" регулярной сеткой. В результате в МКР весьма тяжело обеспечить удовлетворение граничных условий при сложной конфигурации конструкции.

При разбивке области определения функции производится: нумера­ция узлов и элементов. При этом необходимо стремиться, чтобы, нумера­ция осуществлялась вдоль наименее короткой стороны объекта исследо­вания. В результате будет обеспечиваться экономия времени на вычисле­ние искомой функции.

Следующим (после разбивки) этапом метода конечных элементов является построение матрицы жёсткости для каждого элемента в его ло­кальной (местной) системе координат. Если же тип и размеры конечных элементов во всей области определения функции одинаковы, то можно использовать для всех элементов матрицу жёсткости, сформированную для первого элемента.

После этого производится вычисление сил, действующих в. узлах в каждом элементе, а затем - формирование единой матрицы сил объекта исследования в глобальной (общей) системе координат. Этим обеспечива­ется объединение элементов в единый ансамбль. Если направление коор­динатных осей местной и глобальной систем координат одинаково, то преобразования локальных координат не требуется. При этом каждый компонент матриц сил, сформированных в местных системах координат, расставляется на своё место в соответствии с номером обобщённой координаты в единой конструкции. Если же имеет место поворот осей местной системы координат ХУ по отношению к глобальнойXY, например, при использовании треугольных конечных элементов, то осуществляется пре­образование координат каждого элемента по зависимостям:

Следующим этапом МКЭ является фор­мирование вектора внешних нагрузок ,т.е. выявление внешних нагрузок, действую­щих на каждый узел.

После сложения единой матрицы сил и вектора внешних нагрузок получаем систему алгебраических уравнений, которая в матричной форме имеет вид

гдеR - матрица жёсткости объекта исследования; - вектор узловых перемещений.

В развёрнутом виде выражение можно записать:

(3.96)

где - элемент единой (глобальной) матрицы жёсткости исследуемой конструкции;

- искомое i-e перемещение узловой точки.

После решения полученной системы уравнений имеем узловые пе­ремещения в глобальной системе координат. Это есть перемещения ка­ждого узла вдоль каждой координатной оси.

Затем, зная координаты каждого узла, вычисляются их перемещения в местной системе координат элемента .Эти преобразова­ния необходимы для определения компонент напряжений в каждом эле­менте по зависимости

гдеD- матрица жёсткости материала конечного элемента;

V f - матрица первых производных (операторов Гамильтона) базисных функций форм деформаций конечного элемента.

В заключении определяется поле деформаций по выражению: .

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: