 |
Фундаментальные свойства отношений
|
|
|
|
История
Реляционная модель данных (РМД) относится к теоретико-множественным моделям данных. Появление теоретико-множественных моделей в системах баз данных (БД) было предопределено настоятельной потребностью пользователей в переходе от работы с элементами данных, как это делается в теоретико-графовых моделях [1], к работе с некоторыми макрообъектами.
Простота и наглядность для пользователей-непрограммистов и серьезное теоретическое обоснование эффективности практического применения в прикладных задачах определили большую популярность реляционной модели. Развитие формального аппарата представления и манипулирования данными в рамках реляционной модели привело к тому, что реляционная модель данных стала широко использоваться в системах представления знаний.
Теоретической основной РМД стала теория отношений. Основу теории отношений заложили двое ученых – американец Чарльз Содерс Пирс (1839-1914) и немец Эрнст Шредер (1841-1902). В руководствах по теории отношений было показано, что множество отношений замкнуто относительно некоторых специальных операций, т.е. образует вместе с этими операциями абстрактную алгебру. Американский математик Э.Ф.Кодд заложил принципы РМД. В конце 1968 года он впервые осознал, что математические дисциплины можно использовать, чтобы привнести в область управления базами данных строгие принципы и точность. Именно таких принципов недоставало этой области в то время. Кодд впервые сформулировал понятия и ограничения реляционной модели, определив набор из
семи основных и одной дополнительной операций.
Предложения Кодда для систем баз данных оказались чрезвычайно эффективными и оказали весьма существенное влияние на все аспекты технологии построения баз данных.
|
|
|
Основные понятия и определения
Реляционная модель данных (РМД) – это способ рассмотрения данных, при котором данные воспринимаются пользователем как таблицы и в распоряжении пользователя имеются некоторые операторы, которые генерируют новые таблицы из старых.
Под таблицами здесь понимается структура данных, состоящая из строк и столбцов. В этой структуре каждый столбец содержит данные только одного типа, каждая строка состоит из набора значений составляющих ее столбцов.
Под операторами понимаются операции выборки, группировки, соединения и некоторые другие, результатом которых являются новые таблицы, полученные на основании старых.
Основной структурой данных в РМД является отношение (от англ. relation – отношение). Отсюда возникло название модели, основанной на отношениях: такую модель стали называть реляционной моделью данных.
Введем некоторые определения.
N -арным отношением R называют подмножество декартова произведения 
множеств 
.
Исходные множества 
называют доменами.
, (1)
где - полное декартово произведение множеств.
Полное декартово произведение множеств – набор всевозможных сочетаний из n элементов, где каждый элемент берется из своего домена.
Например, пусть имеются три домена (три некоторых множества):
- содержит наименования складов торговой фирмы;
- содержит наименования групп товаров;
- содержит наименования товаров, которыми торгует фирма.
Предположим, что содержимое доменов следующее:
= {Склад №1, Склад №2};
= {Стройматериалы, Бытовая химия};
= {Кирпич, Шифер, Мыло, Порошок}.
Тогда полное декартово произведение содержит набор из 16 троек (2x2x4), где первый элемент – один из складов фирмы, второй – название группы товаров, третий – наименование товара:
 =
| {<Склад №1, Стройматериалы, Кирпич>, <Склад №1, Стройматериалы, Шифер>, <Склад №1, Стройматериалы, Мыло>, <Склад №1, Стройматериалы, Порошок>, <Склад №1, Бытовая химия, Кирпич>, <Склад №1, Бытовая химия, Шифер>, <Склад №1, Бытовая химия, Мыло>, <Склад №1, Бытовая химия, Порошок>, <Склад №2, Стройматериалы, Кирпич>, <Склад №2, Стройматериалы, Шифер>, <Склад №2, Стройматериалы, Мыло>, <Склад №2, Стройматериалы, Порошок>, <Склад №2, Бытовая химия, Кирпич>, <Склад №2, Бытовая химия, Шифер>, <Склад №2, Бытовая химия, Мыло>, <Склад №2, Бытовая химия, Порошок>} |
|
|
|
Таким образом, получаем набор всевозможных сочетаний значений доменов 
в одном n -арном отношении.
Учитывая, что отношение R только подмножество полного декартова произведения доменов, то в общем случае оно всегда меньше, чем полное декартово произведение множеств. Так отношение R может содержать только 5 строк.
R = {<Склад №1, Стройматериалы, Кирпич>,
<Склад №1, Стройматериалы, Шифер>,
<Склад №2, Стройматериалы, Шифер>,
<Склад №2, Бытовая химия, Мыло>,
<Склад №2, Бытовая химия, Порошок>}.
Отношение имеет простую графическую интерпретацию. Оно может быть представлено в виде таблицы R, столбцы которой соответствуют доменам, входящим в отношение, а строки – наборам из 
значений, взятых из исходных доменов.
R
| Склад | Группа товаров | Товар |
| Склад №1 | Стройматериалы | Кирпич |
| Склад №1 | Стройматериалы | Шифер |
| Склад №2 | Стройматериалы | Шифер |
| Склад №2 | Бытовая химия | Мыло |
| Склад №2 | Бытовая химия | Порошок |
Наборы из n значений называют n -ками.
Представленная таблица (отношение в виде таблицы) обладает рядом свойств:
1. Таблица имеет столбцы, соответствующие доменам.
2. Каждый столбец имеет уникальное имя.
3. В таблице нет двух одинаковых строк.
4. Порядок строк и столбцов в таблице произвольный.
Домен – множество всех допустимых значений какого-либо свойства или признака объекта (рис.1.1). При этом значения признака соответствуют определенному типу данных. Примерами элементарных доменов являются целые числа, дробные числа, строки и т.д. Одному домену может соответствовать несколько атрибутов, а одному атрибуту – несколько доменов. Например, домен «Текстовая строка» определяет множество допустимых значений для таких атрибутов как «Наименование склада», «Наименование товара», «Единица измерения» и пр. В то же время атрибут «Наименование склада» может быть определен доменом «Наименование объектов», как текстовой строки размером 50 знаков.
|
|
|
Атрибутом отношения называют признак или свойство объекта, множество значений которого определяется доменом. Если домен входит в отношение, то отношение имеет атрибут, возможными значениями которого могут быть только значения из данного домена. Если отношение представить в виде таблицы, то атрибутами будут являться столбцы.
Кортеж – это конкретный набор значений доменов (n -ка), составляющих строку отношения.
Степень отношения – это количество атрибутов в отношении.
Первичный ключ отношения – это уникальный идентификатор кортежа в пределах отношения. Первичным ключом отношения может быть определенная совокупность атрибутов отношения, образующих уникальный в пределах отношения идентификатор. Первичный ключ может также создаваться искусственно путем добавления нового атрибута к отношению. При этом, значения добавленного атрибута также должны быть уникальны в пределах отношения. В этом случае степень отношения увеличивается на единицу, а такой атрибут называют суррогатным первичным ключом. Примером суррогатного ключа является атрибут «Номер строки» на рис.1.1.
Следует отметить, что в отношении не может быть одинаковых кортежей, это следует из математической модели: отношение – подмножество декартова произведения множеств, а в декартовом произведении множеств все n -ки различны.
Любое отношение является динамической моделью некоторого реального объекта внешнего мира. Для любой динамической модели необходимо знать ее состояние в какой-либо момент времени, необходимо также знать структуру отношения.
Рис.1.1. Пример отношения «Остатки товаров на складах»
Поэтому вводится понятие экземпляра отношения, которое отражает состояние данного объекта в текущий момент времени, и понятие схемы отношения, которое определяет структуру отношения.
|
|
|
Схемой отношения R называют перечень имен атрибутов данного отношения с указанием домена, к которому они относятся:
.
Если атрибуты принимают значения из одного и того же домена, то они называются q-сравнимыми, где q - множество допустимых операций сравнения, заданных для данного домена. Например, если домен содержит числовые данные, то для него допустимы все операции сравнения, тогда
q = {=, <>, >=, <=, <, >}.
Схемы отношения называют эквивалентными, если они имеют одинаковую степень (число атрибутов) и возможно такое упорядочивание имен атрибутов в схемах, что на одинаковых местах будут находиться сравнимые атрибуты, т.е. атрибуты принимающие значения из одного
домена.
- схема отношения R1
- схема отношения R2 после упорядочивания имен атрибутов.
Тогда, 
Фундаментальные свойства отношений
Остановимся теперь на некоторых важных свойствах отношений, которые следуют из приведенных ранее определений.
|
|
|
