 |
Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
|
|
|
|
Разбор задания № 7 по математике ЕГЭ профильный уровень.
Автор Багменова Т. А. учитель математики МБОУ СОШ № 14 г. Новочеркасска Ростовской области.
При решении заданий на применение производной при подготовке к ЕГЭ встречается большое разнообразие заданий, что наталкивает на необходимость разбить задания на группы сопроводив теоретическим материалом по теме «Производная».
Хочу поделиться моими наработками при подготовке учащихся к решению задания №7 профильного уровня.
Рассмотрим примеры заданий № 7 по теме «Производная» профильного уровня по математике, разбив их на группы.
1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда если производная функции больше нуля для всех x принадлежащих [a;b], то функция возрастает на [a;b], а если производная функции меньше нуля, то она убывает на этом отрезке.
Примеры:
1)
Решение.
В точках 
и точках 
функция убывает, следовательно производная функции в этих точках отрицательна.
Ответ: 2.
2)
Решение.
На промежутках (-2;2), (6;10) производная функции отрицательна, следовательна функция на этих промежутках убывает. Длина и того и другого промежутка 4.
Ответ: 4.
3)
Решение.
На отрезке [3;7] производная функции положительна, следовательна функция на этом промежутке возрастает, следовательно наименьшее значение функция принимает в точке 3.
Ответ: 3.
4)
Решение.
На отрезке [-2;3] производная функции отрицательна, следовательна функция на этом промежутке убывает, следовательно наибольшее значение функция принимает в точке -2.
Ответ: -2.
2. Если в точке 
производная функции меняется знак с «-» на «+», то это точка минимума функции; если в точке 
производная функции меняется знак с «+» на «-», то это точка максимума функции.
|
|
|
Пример:
Решение.
В точке х=3; х=13 производная функции меняется знак с «-» на «+», следовательно это точки минимума функции.
Ответ: 2.
3. Условие 
(x)=0 является необходимым условием экстремума дифференцируемой функции f(x). Так как в точках пересечения графика производной функции с осью Ох производная функции равна нулю, то данные точки являются точками экстремума.
Пример:
Решение.
Точек пересечения графика производной функции с осью Ох на заданном отрезке 4, следовательно точек экстремума 4.
Ответ: 4.
4. Производная функции равна нулю в точках экстремума функции. В данной задаче это точки где функция переходит с возрастания на убывания или наоборот.
Пример:
Решение.
В точках 
производная равна нулю.
Ответ: 4.
5. Найти значение производной функции в точке , это значит найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох или к прямой параллельной оси Ох. Если угол наклона касательной к оси Ох острый, то тангенс угла положительный, если угол наклона касательной к оси Ох тупой, то тангенс угла отрицательный.
Пример:
Решение.
Построим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза будет лежать на касательной, а один из катетов лежит на оси Ох или на прямой параллельной оси Ох, затем посчитаем длины катетов и вычислим тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Противолежащий катет равен 2, прилежащий катет равен 8, следовательно тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен 0,25. Угол наклона касательной к оси Ох тупой, следовательно тангенс угла наклона касасательной отрицательный, следовательно значение производной функции в точке 
равно -0,25.
Ответ: - 0,25.
Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
2) Значение производной функции f(x) в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y= f(x) в точке ( ; f( )).
|
|
|
Пример.
Решение.
Угловой коэффициент прямой равен 2. Так какзначение производной функции f(x) в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y= f(x) в точке (;f()), то найдем точки, в которых производная функции f(x) равна 2.Таких точек на данном графике 4. Следовательно количество точек в которых касательная к графику функции f(x) параллельна данной прямой или совпадает с ней равно 4.
Ответ: 4.
Используемая литература:
1. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень). 10 кл. – Просвещение. 2014 г.
2. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровень. Под редакцией И. В. Ященко.- М.: Издательство «Экзамен»,-2016.-640с.
|
|
|
